概率论复习资料.doc

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1、概率论与数理统计复习参考资料授课教师：杨峰（函授总站高级讲师）强烈建议同志们以综合练习为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！全书复习范围：第一、二、三、四、七、八、九、十一章各章复习范围：第一章 1.11.5节都要复习第二章 只要求2.1、2.2第三章 只要求3.1、3.2、3.2之方差第四章 该章重点在4.1、4.6，简单了解4.3、4.4第七章 简单了解总体、样本、样本容量、统计量（样本均值、样本（均）方差）这几个基本概念即可第八章 简单了解8.1，重点复习8.3第九章 重点复习9.3，其余不必第十一章 会求变量y相对于变量x的回归直线方程即可附录南邮印发综合练习题与答案中的部分错误之修正注意

2、：要打印的同志如果观察到本资料后面几页有些式子重叠或混乱，是因为您的计算机操作系统不同或所用Office软件（WORD）版本不同的缘故，又或者是有无安装“Microsoft 公式3.0”的问题。故建议您仔细观察、逐页打印，特别注意第八章后面的几页，如果有些式子还是重叠或混乱，可选中后按上、下箭头键自行移动修正至整齐后再打印。敬请留意！（我这个文档是在WIN98下用WORD2000编辑，个别对象是从我的Powerpoint课件中粘贴过来的）另：考试时允许携带计算器第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：典型例题：综合练习第一大题之1，其中第一个空应填：

3、第二大题之1（正确答案应选C）二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：典型例题：综合练习第二大题之2，答案D应为1.2 概率古典概型公式：P（A）=实用中经常采用“排列组合”的方法计算（未学过的同志请自学初等数学的这部分内容）补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？所含样本点数：所含样本点数：补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设Ai ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？所含样本点数：A1所含样本点数：A2所含样本点数

4、： A3所含样本点数：综合练习中的典型例题：综合练习第二大题之6、7、9第二大题之1、2注：由概率定义得出的几个性质：1、0P（A）12、P()=1，P() =01.3 概率的加法法则定理：设A、B是互不相容事件（AB=），则： P（AB）=P（A）+P（B）推论1：设A1、 A2、 An 互不相容，则P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An) 推论2：设A1、 A2、 An 构成完备事件组，则P(A1+A2+.+ An)=1推论3： P（A）=1P（）推论4：若BA，则P(BA)= P(B)P(A)推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A与B，有P(AB)=P

5、(A)+P(B)P(A B)补充对偶律：典型例题：综合练习第二大题之5、第三大题之31.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=（P(B)0）P(B/A)= （P(A)0）P（AB）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有时须与P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）中的P（AB）联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式： 逆概率公式： 典型例题：综合练习第一大题之2、3 第二大题之3、4 第三大题之4（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。

6、）1.5 独立试验概型事件的独立性： 贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式）：课本P24另两个解题中常用的结论1、定理：有四对事件：A与B、A与、与B、与，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。2、公式：典型例题：综合练习第一大题之4（第二个空答案应为）、5、7 第二大题之8第三大题之5第一章到此结束第二章 随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为x写成一行； 计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质1、（非负性） 2、（可加性和规范性）补例1：将一颗骰子连掷2次，以x 表示两次所得结果之和，试写出x的

7、概率分布。解：所含样本点数：66=36所求分布列为：1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36pk12111098765432x补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出3只球中最大号码，试写出x的概率分布。解：所含样本点数：=106/103/101/10p k543x所求分布列为：2、求分布函数F(x)：分布函数典型例题:综合练习第一大题之10第一个空（0.8），第二大题之10二、关于连续型随机变量的分布问题：xR，如果随机变量x的分布函数F（x）可写成F（x）=，则x为连续型。称概率密度函数。解题中应该知

8、道的几个关系式： 典型例题：综合练习第一大题之6（题目应为k=1,2,）、10（两个空答案分别应为0.8与2.3）与11第一个空、12综合练习第二大题之10、11、12、18综合练习第三大题之6、8、9、10、12第二章到此结束第三章 随机变量数字特征一、求离散型随机变量x 的数学期望Ex =？数学期望（均值） 典型例题：综合练习第一大题之10、11综合练习第二大题之13二、设x 为随机变量，f(x)是普通实函数，则=f(x)也是随机变量，求E=?xx1x2xkpkp1p2pk= f(x)y1y2yk以上计算只要求这种离散型的。补例1：设x的概率分布为：x1012pk求：，的概率分布；。解：因

9、为x1012pk=x12101=x21014所以，所求分布列为：=x12101pk和：=x21014pk当=x1时，E=E（x1）=2+(1)+0+1+=1/4当=x2时，E=E x2=1+0+1+4+=27/8三、求x 或的方差Dx =？ D=？实用公式=其中，=补例2：x202pk0.40.30.3求：E x 和D x 解：=20.4+00.3+20.3=0.22=（2）20.4+020.3+220.3=2.8=2=2.8（0.2）2=2.76综练三之13也是该类题第三章到此结束第四章 几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称概率分布或密度期望方差参数范围二项分布n

10、pn p q0P0泊松分布不要求0指数分布不要求0解题中经常需要运用的E x 和D x 的性质（同志们解题必备速查表）E x的性质D x 的性质典型例题：综合练习第一大题之8（第二个空应为0.27648）、9（题目应为（x）=又e的指数前面应带负号）、13、14综合练习第二大题之14、15、16、17综合练习第三大题之7、11、14、15（这四个题目是难点，下些功夫看看，特别15题）第四章到此结束第八章 参数估计8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择） 若总体参数的估计量为，如果对任给的0，有，则称是的一致估计； 如果满足，则称是的无偏估计； 如果和均是的无偏估计，若，则称是比有效的估计

11、量。8.3 区间估计：几个术语1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量及，对于给定的（01）满足：则称随机区间（，）是的100（1）的置信区间，和称为的100（1）的置信下、上限，百分数100（1）称为置信度。一、求总体期望（均值）E x 的置信区间1、总体方差已知的类型据，得1，反查表（课本P260表）得临界值；= 求d= 置信区间（-d，+d）补简例：设总体随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值的95%的置信区间。解：1=0.95，=0.05（U）=1=0.975，反查表得：U=1.96=0.3，n=4 d=0.29所以，总体均值的=0.0

12、5的置信区间为： （d，d）=（130.29，130.29）即（12.71，13.29）2、总体方差未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P262表）得；确定=和求d= 置信区间（-d，+d）典型例题：综合练习第三大题之16（综练后附答案，自看）补例1：课本P165之11 解：1=0.95，=0.05，又n=15，自由度n1=14查表得，t0.05(14)=2.145=1950，s=300d=166.28所以，该批电子管平均寿命的=0.05的置信上、下限为：上限=d=1950166.28=2116.28（小时）下限=d=1950166.28=178

13、3.72（小时）注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差的置信区间据和自由度n1（n为样本数），查表得临界值： 和确定=和上限 下限置信区间（下限，上限）典型例题：综合练习第一大题之15、16综合练习第三大题之18（一个综合性很强的题目，注意看看）第三大题之17（此题原书答案有误,全题修正如下）解：=0.05，又n=10，自由度n1=9查表得，=19=2.7=.（这里仍按答案进行，略）=575.29s2=+=681.6上限=252.44下限=35.87所以，总体方差的置信度为0.95的置信区间为（35.87，252.44）补例1：课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的

14、实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（0.04）。解：=0.04，又n=10，自由度n1=9查表得，=19.7=2.53=457.5=+=1240.28上限=4412.06下限=566.63所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63，4412.06） 第八章到此结束第九章 假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准四种类型：P169（熟练掌握类型、）一般思路：1、提出待检假设H02、选择统计量3、据检验水平，确定临界值4、计算

15、统计量的值5、作出判断检验类型：未知方差，检验总体期望(均值)根据题设条件，提出H0:= (已知)；选择统计量；据和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P262表）得；由样本值算出？和？从而得到；作出判断典型例题：综合练习第三大题之20补例：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2 ）为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（=0.05）解：H0:= 549选择统计量=0.05，n1=4，查表得：=2.776又=543

16、s2=57.5=1.772.776接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型：未知期望(均值)，检验总体方差根据题设条件，提出H0:= (已知)；选择统计量；据和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：和；由样本值算出？和？从而得到；若则接受假设，否则拒绝!典型例题：综合练习第三大题之19、21补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差=64，今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（=0.

17、05）解： H0:=64选择统计量=0.05，n1=9，查表得：=2.7=19又=575.2 s2=75.73=2.7=19接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。第九章到此结束第十一章 回归分析掌握求变量y相对于变量x的回归直线方程即可：计算=和=计算Lxx=和Lxy=（如果题目已经告诉Lxx和 Lxy的值，则不必自己计算）求回归系数=写出回归直线方程：=+x典型例题：综合练习第三大题之22、23第十一章到此结束南邮印发综合练习题与答案P713“习题答案及解答”部分错误之修正一、填空题部分答案修正：(红色为修正后的正确答案)4、0.3，0.58、0.2764810、0.8，2.3二、单

18、项选择题部分答案修正：(红色为修正后的正确答案)1、C三、计算题8、该题解的第三行“4x5”错误，正确应为4x7。同样道理，以下均须改正：第三行“x5”错误，正确应为x7；=5错误，正确应为=7。最后结论的F（x）中的“4x5” 和“x5”也应当分别更正为4x7和x7。13、原来的E=有误，应为E=17、该题全面修正见上面第八章复习内容18、见P11倒数第三行，前面应注明序号，表示解答第二个问题；因为倒数第五行已经注明了序号，表示解答第一个问题。 另外，倒数第一行中间的095应改为0.95.21、计算的式子中652.8是错误的，应按题目给的数字625.8计算，正确的计算式子是=9.78，其余不需要更改。22、该题部分符号有误，且公式不够详细，全题修正（或补充）如下：解：计算得=3，=4.2Lxy=（6+10+10.5+17.5+22）534.2=3Lxx=（23）2+（2.53）2+（33）2+（3.53）2+（43）2=12+0.52+02+0.52+12=2.5故=1.2=4.21.23=0.6故所求回归直线方程为：=0.6+1.2x23、该题部分数字计算有误，全题修正如下：解：=46.4=19.5计算得：=13104.56，=3957.2，=0.302=19.50.30246.4=5.49所以所求回归直线方程为：=5.49+0.302x复习参考资料到此结束