曲面及其方程 (2)精选课件.ppt

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1、关于曲面及其方程关于曲面及其方程(2)1第一页，本课件共有46页2问题的提出（Introduction)曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.第二页，本课件共有46页3曲面方程的定义曲面方程的定义(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程;(2)不不在曲面在曲面S上的点的坐标都上的点的坐标都不不满足方程满足方程;如果曲面如果曲面S有下述关系有下述关系:那么那么,就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念与三元方程与三元方程0),(=zyxF第三页，本课

2、件共有46页4凡三元方程都表示空间一曲面凡三元方程都表示空间一曲面是一个三元方程是一个三元方程,但不表示任何曲面但不表示任何曲面.错错,如如第四页，本课件共有46页5以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解所求方程为所求方程为球心在原点的球面方程球心在原点的球面方程例例特殊特殊是球面上任一点是球面上任一点,第五页，本课件共有46页6解解所求方程所求方程是曲面上任一点是曲面上任一点,例例的全体所组成的曲面方程的全体所组成的曲面方程.第六页，本课件共有46页7 研究空间曲面有研究空间曲面有(1)已知曲面已知曲面,(2)已知方程已知方程,两个基本问题两个基本问题(讨论旋转曲面讨论旋转曲面)

3、(讨论柱面讨论柱面,二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究图形研究图形.第七页，本课件共有46页8二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义绕其平面上的一条直线绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.此曲线称此曲线称称为称为旋转曲面旋转曲面.旋转一周所成的曲面旋转一周所成的曲面,母线母线.为方便为方便,作坐标面作坐标面,旋转轴取旋转轴取作坐标轴作坐标轴.(surface of revolution)常把曲线所在平面取常把曲线所在平面取以一条以一条平面曲线平面曲线母线母线轴轴第八页，本课件共有46页92 旋转曲面方程的求法旋转曲面方程的求法：把该曲线绕把该曲线绕z 轴旋转一周，

4、得一个以轴旋转一周，得一个以z轴为轴的旋轴为轴的旋转曲面。转曲面。坐标平面上有一已知曲线坐标平面上有一已知曲线C，1）设在）设在第九页，本课件共有46页10旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将得方程得方程代入代入第十页，本课件共有46页11旋转曲面方程旋转曲面方程.旋转一周的旋转一周的即为即为同理同理,旋转曲面方程旋转曲面方程为为旋转一周的旋转一周的绕绕z轴轴绕绕y轴轴第十一页，本课件共有46页12 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之总之,位于位于坐标面上坐标面上的曲线的曲线C,绕其上的绕其上的一个一个 坐标轴坐标轴转动转动,所成的旋转曲面方程可

5、以这所成的旋转曲面方程可以这样得到样得到:而用另两个的变量的平方和的平方根而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、加正、负号负号)替代曲线方程中另一个变量即可替代曲线方程中另一个变量即可.第十二页，本课件共有46页13所得旋转曲面称为所得旋转曲面称为圆锥面圆锥面.两直线的交点称为两直线的交点称为圆锥面的圆锥面的顶点顶点,两直线的夹角两直线的夹角圆锥面的圆锥面的半顶角半顶角.称为称为直线直线L绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周相交的直线旋转一周第十三页，本课件共有46页14解解 圆锥面方程圆锥面方程例：试建立顶点在坐标原点例：试建立顶点在坐标原点O,半顶角为半顶角为 的的圆锥面的方程圆锥面

6、的方程.旋转轴为旋转轴为z轴轴,面上面上,直线方程为直线方程为第十四页，本课件共有46页15圆锥面方程圆锥面方程 即即 圆锥面方程圆锥面方程(用得较多用得较多)第十五页，本课件共有46页16绕绕y轴轴旋转所得曲面方程及图形旋转所得曲面方程及图形.即即面上直线方程为面上直线方程为第十六页，本课件共有46页17 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转求生成的旋转曲面的方程曲面的方程.旋旋转转双双曲曲面面例例xoz坐标面上的双曲线坐标面上的双曲线(1)绕绕x轴轴旋转旋转绕绕z轴轴旋转旋转第十七页，本课件共有46页18旋旋转转椭椭球球面面 旋转抛物面旋转抛物面(2)

7、绕绕y轴和轴和z轴轴;(3)绕绕z轴轴.第十八页，本课件共有46页19定义定义三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的称为柱面的动直线动直线L称为柱面的称为柱面的准线准线,母线母线.(cylindrical surface)所形成的曲面称为所形成的曲面称为移动的直线移动的直线L 柱面柱面.准线准线母母线线第十九页，本课件共有46页20 例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形.在在xOy面面上上,解解现在现在空间直角坐标系空间直角坐标系中讨论问题中讨论问题.表一个表一个圆圆C.过点过点作平行作平行z轴的直线轴的直线L,设点设点 在圆在圆C上上

8、,对任意对任意z,点点的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线C,平行于平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标的坐标都满足此方程都满足此方程)0,(1yxM,222Ryx=+第二十页，本课件共有46页21因此因此,该方程的图形是以该方程的图形是以xOy面上圆为准线面上圆为准线,母线平行于母线平行于z轴的轴的柱面柱面.在在空间空间,就是就是圆柱面方程圆柱面方程.此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面.L第二十一页，本课件共有46页22平面平面表示母线平行于表示母线平行于z表示母线平行于表示母线平行于z轴轴抛物柱面抛物柱面柱柱面面举举例例 其准线是其准线是xOy面

9、面上的抛物线上的抛物线轴的柱面轴的柱面,的柱面的柱面,其准线是其准线是xOy面上面上的直线的直线第二十二页，本课件共有46页23从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）直角坐标系中表示平行于直角坐标系中表示平行于z轴的柱面轴的柱面,在空间在空间为为xOy面上的曲线面上的曲线C.其准线其准线第二十三页，本课件共有46页24四、二次曲面四、二次曲面 1.二次曲面的定义二次曲面的定义 相应地平面被称为相应地平面被称为三元二次方程三元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为球面、球面、二次曲面二次曲面.如如:双曲柱面等双曲柱面等)某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、圆柱面

10、、抛物柱面、一次曲面一次曲面.都是二次曲面都是二次曲面.第二十四页，本课件共有46页25实实 例例椭圆椭圆柱面柱面双曲双曲柱面柱面 抛物抛物柱面柱面 母线平行于母线平行于x轴轴母线平行于母线平行于z轴轴母线平行于母线平行于y轴轴第二十五页，本课件共有46页26现只研究几种常见的二次曲面的标准方程现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.称为称为二次曲面二次曲面的标准方程的标准方程.第二十六页，本课件共有46页272、二次曲面的研究方法：、二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截面法不能用描点法，而用截面法)1）对称性：关于坐标面，坐标轴）对称性：关于坐标面，坐标轴2）存在范围）存在范围3）曲面与

11、坐标轴、坐标面的关系）曲面与坐标轴、坐标面的关系4）曲面弯曲状况。）曲面弯曲状况。用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来用平行于坐标面的平面去截曲面由所得截痕来勾画曲面的大体形状。勾画曲面的大体形状。以下用以下用截面法截面法讨论上面几种特殊的二次曲面讨论上面几种特殊的二次曲面.第二十七页，本课件共有46页28(1)椭球面椭球面(椭圆面椭圆面)(ellipsoid)由方程可知由方程可知即即这说明椭球面包含在由平面这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内围成的长方体内.第二十八页，本课件共有46页29先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：去截这个曲面去截这个曲面,所得截痕

12、的方程是所得截痕的方程是这些截痕都是这些截痕都是椭圆椭圆.再用平行于再用平行于xOy面的平面面的平面这些截痕也都是这些截痕也都是椭圆椭圆.第二十九页，本课件共有46页30椭圆截面的大小椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化随平面位置的变化而变化.与平面与平面 椭圆椭圆.同理同理,的截痕也是的截痕也是第三十页，本课件共有46页31椭球面的几种特殊情况椭球面的几种特殊情况:旋转旋转椭球面椭球面由椭圆由椭圆方程可写为方程可写为绕绕z轴旋转而成轴旋转而成.第三十一页，本课件共有46页32球面球面方程可写为方程可写为spherical surface第三十二页，本课件共有46页33(2)抛物面抛物面（与与

13、 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：用平面用平面设设原点叫做椭圆抛物面的原点叫做椭圆抛物面的(paraboloid)去截这曲面去截这曲面,顶点顶点.(1)截痕为截痕为原点原点.用平面用平面去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为椭圆椭圆.截痕退缩为原点截痕退缩为原点;第三十三页，本课件共有46页34用坐标面用坐标面截痕为截痕为抛物线抛物线.(2)去截这曲面去截这曲面,用平面用平面它的轴平行于它的轴平行于 轴轴 顶点顶点去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为抛物线抛物线.第三十四页，本课件共有46页35用坐标面用坐标面(3)去截这曲面去截这曲面,及平面及平面截痕为截痕为抛物线抛物

14、线.椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：第三十五页，本课件共有46页36旋转抛物面旋转抛物面(由由 面上的抛物线面上的抛物线用平面用平面当当 变动时，这种圆的变动时，这种圆的中心中心都在都在 轴上轴上.特殊地特殊地方程变为方程变为而成的而成的)去截这曲面去截这曲面,截痕为截痕为圆圆.绕绕z轴旋转轴旋转第三十六页，本课件共有46页37（与与 同号）同号）双曲抛物面双曲抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：有两个异号的平方项有两个异号的平方项,另一变量另一变量特点是特点是:是一次项是一次项,无常数项无常数项.(马鞍面马鞍面)第三十七页，本课件共有46页38(4)双曲面双

15、曲面单叶双曲面单叶双曲面特点是特点是:(hyperboloid)平方项有一个取负号平方项有一个取负号,另两个取正号另两个取正号.第三十八页，本课件共有46页39类似地类似地,亦表示亦表示想一想想一想单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面.方程方程以上两方程的图形是与以上两方程的图形是与此图形此图形一样吗一样吗?第三十九页，本课件共有46页40双叶双曲面双叶双曲面 或或 特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.(biparted hyperboloid)它分成上、下两个曲面它分成上、下两个曲面.注注第四十页，本课件共有46页41 类似地类似地,或或亦表示亦表示以上两方程的图形是与以上两方程的

16、图形是与此图形此图形双叶双曲面双叶双曲面 或或方程方程双叶双曲面双叶双曲面.一样吗一样吗第四十一页，本课件共有46页42方程方程表示表示()(A)双曲柱面双曲柱面;(D)锥面锥面.(C)双叶双曲面双叶双曲面;(B)旋转双曲面旋转双曲面;B椭圆抛物面椭圆抛物面 双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面）马鞍面）填空填空设有曲面方程设有曲面方程则方程表示的曲面为则方程表示的曲面为方程表示的曲面为方程表示的曲面为选择选择第四十二页，本课件共有46页43 双叶双双叶双曲面曲面,它的对称轴在它的对称轴在 轴上轴上.y 上海交大上海交大,填空填空,(95级级)椭圆锥椭圆锥第四十三页，本课件共有46页44截痕法截痕法;(熟知这几个常见曲面的特性熟知这几个常见曲面的特性)椭球面、抛物面、双曲面椭球面、抛物面、双曲面.曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念旋转曲面的概念(轴、母线轴、母线)及求法及求法;柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线);五、小结五、小结第四十四页，本课件共有46页45作业作业习题习题8-3(31 8-3(31 页页)3.6.7.8.(1)(3)(5)11.第四十五页，本课件共有46页感谢大家观看第四十六页，本课件共有46页