必修一第二章 学生版.doc

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1、2.1.1 指数与指数幂的运算（1）掌握根式的概念；（2）规定分数指数幂的意义；（3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化；（4）理解有理指数幂的含义及其运算性质；（5）了解无理数指数幂的意义教学重点: 分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质教学难点: 根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂 学习过程中要注意幂的概念的发展过程，逐步深入，要注意方根根式的区别与联系，对于无理指数幂只要求了解相关的结论。一、 导入新课1 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3

2、复习初中整数指数幂的运算性质；4 初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；二、合作交流 新知探究（一）指数与指数幂的运算1根式的概念一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中1，且*当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的次方根用符号表示式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand）当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可

3、以合并成（0）由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作思考： =一定成立吗？（学生活动）结论：当是奇数时，_;当是偶数时，例1 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3有理指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）引导学生解决本课开头实例问题例2（教材P51例2、例3、例4、例5）4.无理指数幂结合教材P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义指出：一般地，无理

4、数指数幂是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂巩固练习思考：例3（新题讲解）从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？教材P54练习1-3本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则计算下列各题：（1） （2） （3） 2.1.2 指数函数及其

5、性质（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等教学重点: 指数函数的概念和性质。教学难点: 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质学习过程中要注意列表计算中结果的分析，为掌握指数函数的图象及性质奠定基础；注意底数对指数函数的单调性的影响。一、导入新课1、 上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（xN*，x20）能否构成函数？2、 一

6、种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？3、 上面的几个函数有什么共同特征？二、合作交流 新知探究1引导学生归纳指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R注意： 指数函数的定义是一个形式定义； 注意指数函数的底数的取值范围。2.帮助学生自主归纳总结指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？探究：1在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）（2）2从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什

7、么关系？可否利用的图象画出的图象？3在同一直角坐标系下画出函数、和的图象，观察图象你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？图象特征函数性质（三）典型例题例1已知指数函数的图象经过点（3，），求，的值。例2比较下列各题中两个值的大小：（1） 1.72.5 ，1.73 ；（2） 0.8-0.1 ，0.8-0.2；（3） 1.70.3 ，0.93.1问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式1. 课本P58 练习 2、3；2. 比较大小：（1） 34，43； （

8、2） 30.3，0.33 。3. _ ；1.2.求下列函数的定义域与值域：（1） （2） y=4x+2x+1+1.拓展提升2.2.1 对数(一)（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系；（3）掌握对数式与指数式的相互转化教学重点: 对数的概念，对数式与指数式的化。教学难点: 对数的运算性质对数的概念比较难理解，对数符号不太好掌握，学习时要注意对数是幂运算的逆运算，是由底和幂求幂指数的运算，抓住对数与指数相互间的联系，深刻理解对数与指数的关系，将有助于掌握对数概念；对于指数式与对数式的互化，简单对数值的计算，要多做些练习，以丰富对对数式的认识经验。一、导入新课1.（对数的起源）介绍对

9、数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；2. 尝试解决本小节开始提出的问题二、合作交流 新知探究1对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作： 底数， 真数， 对数式说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式思考：是否是所有的实数都有对数呢？两个重要对数： 常用对数（common logarithm）：以10为底的对数； 自然对数（natural logarithm）：以无理数为底的对数的对数2 对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数 幂底数对数 指数真数 幂例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1.教材P64练习1、2；

10、2. 阅读教材P63例2，指出其中求的依据；3.独立思考完成教材P74练习3、4，指出其中蕴含的结论1.引入对数的必要性；2.指数与对数的关系；3.对数的基本性质1.求下列各式中的x: 23.计算下列各题： 2.2.1 对数(二)1 掌握对数的运算性质，能运用对数的运算性质进行化简、求值和证明；2 通过探求对数的运算性质的推导过程，培养学生逻辑推理能力。教学重点: 对数运算性质的证明及应用；教学难点: 证明对数运算性质抓住对数与指数相互间的联系，利用指数式研究对数式的运算性质。对于指数式与对数式的互化，简单对数值的计算，要多做些练习，以丰富对对数式的认识经验，对数运算是指数运算的逆运算，结合对

11、数运算应注意培养自己的逆向思维能力。一、导入新课1复习回顾对数的定义及对数恒等式；2提出问题：幂运算的逆运算有怎样的性质呢？二、合作交流 新知探究1对数的运算性质探究：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题： 设，求； 设，试利用、表示（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质，并引导学生仿此推导其余运算性质）运算性质：如果，且，那么： ； ； = 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解的值？从而引入换底公式3 换底公式（，且；，且；）学生活动 根据对数的定义推导对数的换底公式 思考完成教材P62问题（即本小节开始提出的问题）； 利用换底公

12、式推导下面的结论（1）；（2）说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数1.教材79练习42.已知3.试求：的值。（对换5与2，再试一试）4.5.设,，试用、表示1.对数运算是指数运算的逆运算,将对数问题化归为指数问题是一重要的解题策；2.对数的运算性质是同底的基础上，化同底是运用对数的运算性质的前提。1.设,，试用、表示；来源:学。科。网Z。X。X。K2.设,，试用、表示；3.设、为正数，且，求证：拓展提升设正整数、（）和实数、满足：，求、的值课题：2.2.2对数函数（一）1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函

13、数是一类重要的函数模型；2.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法教学重点: 掌握对数函数的图象和性质;教学难点: 对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用学习过程中要注意对数运算是指数运算的逆运算，对数函数是指数函数的反函数，重视由反函数的关系利用指数函数的图像和性质来研究、理解、掌握对数函数的图像和性质，注意底数a的取值对对数函数的单调性的影响。一、导入新课问题1. 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方

14、法？问题2. 对数的定义及其对底数的限制？教材P70引例处理建议：在教学时，可以让学生利用计算器填写下表：碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P的取值，通过对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数” （进而引入对数函数的概念）二、合作交流 新知探究1引导学生归纳对数函数的定义定义：注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2.帮助学生自主归纳总结指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，

15、提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性探索研究：（1）在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（a） （b） （c） （d） （2）从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？（3）在同一直角坐标系下画出函数的图象，观察图象你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？（4）类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：图象特征函数性质（三）典型例题例1求下列函数的定义域： （1） y=logax2 (2) y=loga(4-x).例2

16、比较下列各组数中两个值的大小：（1） log23.4 , log28.5 ;（2） log0.31.8 ,log0.32.7;（3） loga5.1 ,loga5.9 (a0,且a1). 1. 教材73练习1、2、3；1. 对数函数的定义；2. 对数函数的图象和性质；3. 底数对对数函数图象的影响。1.求下列函数的定义域： （1） （2） 2试判断函数的单调性。3课题：2.2.2对数函数（二） 1.进一步理解对数函数的图象和性质；2.熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题；3.通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力教学重点: 对数函数的图象和性质.教学难点: 对数

17、函数的性质的综合运用学习过程中要注意对数形成复合函数问题关键在于将复合函数问题转化成基本函数问题，要注意等价性，研究函数的单调性在其定义域内讨论，注意底数a的取值对对数函数的单调性的影响。一回顾与总结1 函数的图象如图所示，回答下列问题（1） 说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么？（2）函数与且有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？（3）以的图象为基础，在同一坐标系中画出的图象 1 2 3 4（4）已知函数的图象，则底数之间的关系： 2 完成下表（对数函数且的图象和性质）图象定义域值域性质3 根据对数函数的图象和性质填空 已知函数，则当时， ；当时， ；当时， ；当时， 已知函数，则当时

18、， ；当时， ；当时， ；当时， ；当时， 二应用举例例1 比较大小： ，且； ，例2 已知恒为正数，求的取值范围例3求函数的定义域及值域 例4求函数的单调区间 1函数值域的求法；2. 利用函数单调性求函数最值的方法，复合函数最值的求法；3. 判断函数奇偶性和单调性的方法，规范判断函数奇偶性和单调性的步骤4. 复合函数单调性的求法及规律：“同增异减” （1）函数在2，4上的最大值比最小值大1，求的值；（2）求函数的最小值 （3）求函数的单调区间拓展提升（2003年上海高考题）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性 课题：2.2.2对数函数（三）1. 理解指数函数与对数函数的依赖关系

19、，了解反函数的概念；2. 通过作图，体会两种函数的单调性的异同教学重点:两种函数的内在联系，反函数的概念；教学难点: 反函数的概念。 学习过程中要注意对数运算是指数运算的逆运算，对数函数是指数函数的反函数，重视由反函数的关系利用指数函数的图像和性质来研究、理解、掌握对数函数的图像和性质。一导入新课材料一：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学

20、过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）这两个函数有什么特殊的关系？（4）用映射的观点来解释P和t之间的对应关系是何种对应关系？（5）由此你能获得怎样的启示？材料二：由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：表一 -3-2-101231248-3-2-101231248表二 二合作交流 新知探究反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为

21、一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对数函数互为反函数说明：（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型探究：以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？1.求下列函数的反函数：（1）； （2）2（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (ab) = f ( a ) + f ( b ) ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪

22、些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )f ( b ) ”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？1. 求反函数的方法；2. 并不是所有的函数都存在反函数；3. 互为反函数的两个函数的性质：（1）互换性 （2）单调性 （3）对称性。我们知道，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，那么，它们的图象有什么关系呢？运用所学的数学知识，探索下面几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！问题1：在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数的图象，你能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗？问题2：取图象上的几个点，说出它们关于直线的对称点

23、的坐标，并判断它们是否在的图象上，为什么？问题3：如果P0（x0，y0）在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数的图象上吗，为什么？问题4：由上述探究过程可以得到什么结论？问题5：上述结论对于指数函数，且及其反函数，且也成立吗？为什么？2.3 幂函数通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用教学重点: 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质教学难点: 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性一、导入新课探究：阅读教材P90的具体实例（1）（5），

24、思考下列问题：1它们的对应法则分别是什么？2以上问题中的函数有什么共同特征？二、合作交流 新知探究1引导学生归纳幂函数的定义一般地，形如 的函数称为幂函数，其中为常数探究：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 2. 引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律探究：幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象

25、在轴上方无限地逼近轴正半轴探究：观察图象，总结填写下表：定义域值域奇偶性单调性定点例题讲解例1如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为： 例2. 证明幂函数在上是增函数。1已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式2利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），1谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系？2幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些方面？1比较下列两个代数值的大小：（1），（2），2在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）和；（2）和拓展提升12若幂函数的图象与x轴、y轴无交点，且图象关于原点对称，求m的值。