《数图》第6章-小波变换课件.ppt

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1、数字图像处理基础数字图像处理基础 Digital Image Processing第六章第六章 小波变换小波变换1Digital Image Processing小波（小波（wavelete）变换：）变换：上一世纪上一世纪80年代以来发展起来的一种年代以来发展起来的一种局部化时频域分析局部化时频域分析方法，方法，具有傅立叶变换、具有傅立叶变换、Gabor变换等所不具备的优良特性：变换等所不具备的优良特性：如多尺度分解性、时频联合分析、方向选择、对象的自适应性等。如多尺度分解性、时频联合分析、方向选择、对象的自适应性等。以多尺度分解为核心特性，和人的视觉特性十分相似。以多尺度分解为核心特性，和人

2、的视觉特性十分相似。主要内容：主要内容：从傅里叶变换、短时傅里叶变换到小波变换的演变；从傅里叶变换、短时傅里叶变换到小波变换的演变；信号空间理论和多分辨率分析理论；信号空间理论和多分辨率分析理论；三种基本方式：连续小波变换三种基本方式：连续小波变换(CWT)、小波级数展开和离散小波变换、小波级数展开和离散小波变换(DWT)；将一维小波变换推广到二维；将一维小波变换推广到二维；小波变换在图像处理中的几种应用。小波变换在图像处理中的几种应用。2Digital Image Processing第第1 1节节 从傅立叶变换到小波变换从傅立叶变换到小波变换 （1）傅立叶变换的局限）傅立叶变换的局限1）傅

3、立叶积分变换：对连续非周期函数）傅立叶积分变换：对连续非周期函数f(x)(6.1)(6.2)2）傅立叶级数展开：对连续周期为）傅立叶级数展开：对连续周期为L的函数的函数f(t)(6.3)(6.4)3）离散傅立叶变换：对周期为）离散傅立叶变换：对周期为N的离散序列函数的离散序列函数f(n)(6.5)(6.6)傅立叶变换是一种映射，将时域信号映射到频域，形成傅立叶频谱，傅立叶变换是一种映射，将时域信号映射到频域，形成傅立叶频谱，确立了信号波形确立了信号波形f(t)和信号频谱和信号频谱F()之间的严格对应关系，之间的严格对应关系，有可能将时域内难以显现的特征在频域中十分清楚地凸显出来。有可能将时域内

4、难以显现的特征在频域中十分清楚地凸显出来。频域频域离散化，离散化，频域积分换为求和运算，频域积分换为求和运算，时域积分换为求和运算，时域积分换为求和运算，时域离散化，时域离散化，3Digital Image Processing傅立叶变换的不足之处：傅立叶变换的不足之处：1）时频分离）时频分离 傅立叶变换的傅立叶变换的f(t)与与F()间的彼此相对独立，没有将时、频信息组合在一个域：间的彼此相对独立，没有将时、频信息组合在一个域：频谱函数频谱函数F()中任意一个频率分量是全体时域函数中任意一个频率分量是全体时域函数f(t)的积分贡献，的积分贡献，时域函数时域函数f(t)中任意一个时间分量是全体

5、频谱函数中任意一个时间分量是全体频谱函数F()的积分贡献。的积分贡献。在频谱中不容易得到它的时间信息，在时域波形中不容易得到它的频谱信息。在频谱中不容易得到它的时间信息，在时域波形中不容易得到它的频谱信息。2）基函数非紧支）基函数非紧支 在线性变换中，变换系数在线性变换中，变换系数，表示，表示f(t)和和h(t)的相似程度。的相似程度。在傅立叶变换的基函数为复正弦波曲线，从在傅立叶变换的基函数为复正弦波曲线，从+到到-，非紧支集（，非紧支集（not compact）；）；不能有效地表示局部的、短暂的时变语音信号、图像信号、地震信号等。不能有效地表示局部的、短暂的时变语音信号、图像信号、地震信号

6、等。4Digital Image Processing(2(2）时频分析）时频分析 为克服傅立叶时频分析相对独立性的缺陷，为克服傅立叶时频分析相对独立性的缺陷，在傅立叶变换中加上宽度较窄的在傅立叶变换中加上宽度较窄的“窗函数窗函数”，如如Hanning窗、窗、Gabor窗等窗等。随着时间窗的移动，频域出现的是这一窗内信号的频率分量，随着时间窗的移动，频域出现的是这一窗内信号的频率分量，傅立叶频域自然就带上了时间信息，形成了时间和频率的二维表示。傅立叶频域自然就带上了时间信息，形成了时间和频率的二维表示。频率频率时间时间图图6.2 五线谱的时频表示五线谱的时频表示音乐五线谱表示，音乐五线谱表示，

7、一个生动的时频变化信号。一个生动的时频变化信号。5Digital Image Processing时频分析示例时频分析示例t1t2t时窗时窗低频分量多低频分量多时窗时窗高频分量多高频分量多f(t)F()12t2t10对应对应t1时窗时窗图图6.1 傅立叶时频分析示意图傅立叶时频分析示意图对应对应t2时窗时窗6Digital Image Processing（3）Gabor变换变换 可移动的窗函数可移动的窗函数g(t-)和信号和信号f(t)相乘，得到加窗后信号的傅立叶频谱。相乘，得到加窗后信号的傅立叶频谱。(6.7)窗口函数窗口函数g(t)有多种选择，如选高斯函数，则为有多种选择，如选高斯函数，

8、则为 Gabor变换，变换，信号信号f(t)的的Gabor变换实际上是变换实际上是f(t)g(t-)的傅立叶变换：的傅立叶变换：(6.8)Gabor反变换：反变换：(6.9)2t tg(t)2 G()图图6.3 Gabor窗口函数的时域和频域波形窗口函数的时域和频域波形 信号的信号的Gabor变换：变换：实际上是实际上是f(t)中以中以为中心、宽度为为中心、宽度为2t 的局部时间内的频谱特性，的局部时间内的频谱特性，窗口宽度窗口宽度2t 决定了决定了Gabor变换的时间分辨率；变换的时间分辨率；窗口频宽窗口频宽2决定了决定了Gabor变换的频域分辨率。变换的频域分辨率。Gabor变换特性变换特

9、性:通过窗函数可以反映信号在任意局部范围内的频域特性。通过窗函数可以反映信号在任意局部范围内的频域特性。Gabor变换中：变换中：信号的时间分辨率和频率分辨率，它是由窗口函数决定的，信号的时间分辨率和频率分辨率，它是由窗口函数决定的，一旦窗函数选定，其时窗宽度一旦窗函数选定，其时窗宽度t和频窗宽度和频窗宽度就已确定，就已确定，既不随时间移动既不随时间移动改变，也不随频率改变，也不随频率高低而改变。高低而改变。8Digital Image Processing（4）时宽与频宽）时宽与频宽 在时频分析中，希望增强时域和频域的局部分析能力，即在时频分析中，希望增强时域和频域的局部分析能力，即t 和和

10、尽量小。但尽量小。但选定了选定了固定的窗函数固定的窗函数后，后，Gabor分析受到分析受到Heisenberg 测不准原理限制：测不准原理限制：(6.10)固定时窗限制了频窗变窄，在整个时频面上，时窗和频窗的宽度不变。固定时窗限制了频窗变窄，在整个时频面上，时窗和频窗的宽度不变。要克服这一限制，做到要克服这一限制，做到自适应改变可移动的窗函数的宽度自适应改变可移动的窗函数的宽度：分析高频信号时，分析高频信号时，时域变化剧烈，可采用窄时窗，频域窗口较宽，提高频域分辨力；时域变化剧烈，可采用窄时窗，频域窗口较宽，提高频域分辨力；分析低频信号时，分析低频信号时，时域变化缓慢，可采用宽时窗，频域窗口较

11、宽，提高时域分辨力。时域变化缓慢，可采用宽时窗，频域窗口较宽，提高时域分辨力。这样的思路，实际上就是引起小波变换的最基本的动因。这样的思路，实际上就是引起小波变换的最基本的动因。9Digital Image Processing（5）小波变换）小波变换(Wavelet Transform)用用“小波小波”（小波基）替代傅立叶变换的（小波基）替代傅立叶变换的“大波大波”（正弦基）。（正弦基）。小波基函数种类多，有频率的变化，有位置的变化，适应各种瞬时信号。小波基函数种类多，有频率的变化，有位置的变化，适应各种瞬时信号。小波的两个特征，小波的两个特征，“小小”与与“波波”。“小小”具有快衰减性，在

12、时间域上具有紧支集（具有快衰减性，在时间域上具有紧支集（compact）或近似紧支集；）或近似紧支集；“波波”具有波动性，其振幅正负相间的震荡形式，频谱的直流分量为零。具有波动性，其振幅正负相间的震荡形式，频谱的直流分量为零。通过通过伸缩伸缩和和平移平移运算对信号逐步进行多尺度细化：运算对信号逐步进行多尺度细化：达到高频处时间细分，低频处时间粗分，自动适应时频信号分析的要求，达到高频处时间细分，低频处时间粗分，自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节，小波变换称为可聚焦到信号的任意细节，小波变换称为“数学显微镜数学显微镜”。(a)正弦基函数正弦基函数(b)小波基函数小波基函数图图6.

13、4 傅立叶和小波基函数的对比傅立叶和小波基函数的对比10Digital Image Processing第第2 2节节 信号空间信号空间 1.距离空间距离空间 空间两元素之间距离的定义：空间两元素之间距离的定义：设集合设集合X中任意两个元素中任意两个元素x与与y都对应一个实数都对应一个实数 ，且满足下面，且满足下面3个条件：个条件：非负性：非负性：对称性：对称性：三角不等式：三角不等式：则则 为为x与与y之间的距离，称之间的距离，称X是以是以 为距离的距离空间。距离是标量。为距离的距离空间。距离是标量。常见的几种距离定义如下，它们都符合距离定义的三项要求：常见的几种距离定义如下，它们都符合距离

14、定义的三项要求：1）n 维实数空间维实数空间R n 中欧氏距离：中欧氏距离：(6.11)11Digital Image Processing2）n 维实数空间维实数空间R n 中最大绝对距离定义：中最大绝对距离定义：(6.12)3）连续函数空间连续函数空间Ca,b中的距离定义：中的距离定义：(6.13)4）平方可积函数空间中的距离定义：平方可积函数空间中的距离定义：(6.14)5）平方可和离散序列空间平方可和离散序列空间 中距离定义：中距离定义：(6.15)以上式中以上式中x、y皆为皆为n 维矢量维矢量12Digital Image Processing2.线性空间线性空间 设设X为一非空集合

15、，若在为一非空集合，若在X中规定了线性运算（元素的加法和元素的乘法），中规定了线性运算（元素的加法和元素的乘法），且满足相应的加法的结合律及数乘的分配律，则称且满足相应的加法的结合律及数乘的分配律，则称X为一线性空间。为一线性空间。（1）线性赋范空间）线性赋范空间 在线性空间中定义在线性空间中定义“长度长度”（范数，（范数，normal）概念，使其可度量：）概念，使其可度量：设设X为线性空间，若对于任意为线性空间，若对于任意 有一确定的非负实数有一确定的非负实数 与之对应，与之对应，且满足：且满足：非负性：非负性：常数相乘：常数相乘：三角不等式：三角不等式：则称则称 为为 x 的范数，的范数，

16、X为线性赋范空间。为线性赋范空间。13Digital Image Processing如在如在Rn空间，几种常见范数空间，几种常见范数 1范数范数 2范数范数 范数范数 由范数可以诱导距离，令由范数可以诱导距离，令 ，因此线性赋范空间一定是距离空间。，因此线性赋范空间一定是距离空间。（2）巴拿赫空间）巴拿赫空间（Banach）若空间若空间X中任一柯西中任一柯西(Cauchy)序列都有极限，且此极限都在序列都有极限，且此极限都在X中，中，则该空间是完备的则该空间是完备的(completed)，完备的线性赋范空间称之为巴拿赫空间。，完备的线性赋范空间称之为巴拿赫空间。柯西序列柯西序列 是指当是指当

17、 时，时，。(Euclid范数范数)14Digital Image Processing（3）内积空间）内积空间 在线性赋范空间引入在线性赋范空间引入内积内积（“角度角度”）概念，定义如下：）概念，定义如下：设设X为复数域为复数域C上的线性空间，若在上的线性空间，若在Descartes积空间积空间XX中定义一个中定义一个 实函数实函数 ，对任意对任意 ，都有惟一的，都有惟一的 与之对应，与之对应，且满足：且满足：非负性：非负性：对称性：对称性：分配性：分配性：则称函数则称函数 为为X 中的内积，定义了内积的空间中的内积，定义了内积的空间X 称之为称之为内积空间内积空间。15Digital Im

18、age Processing连续函数内积：连续函数内积：离散序列内积：离散序列内积：在内积空间中，如果定义范数为在内积空间中，如果定义范数为 ，则是由内积诱导的范数；，则是由内积诱导的范数；如果定义距离为如果定义距离为 ，则此内积空间必为线性，则此内积空间必为线性 赋范空间。赋范空间。（4 4）希尔伯特空间）希尔伯特空间（Hilbert）完备的内积空间称之为希尔伯特空间：完备的内积空间称之为希尔伯特空间：若内积空间若内积空间X按范数按范数 完备，则称完备，则称X为为Banach空间。空间。16Digital Image Processing3.正交基和框架正交基和框架（1）正交基）正交基 1）

19、函数序列张成的空间）函数序列张成的空间 设设 为一函数序列，为一函数序列，X表示表示 所有可能的线性组合所有可能的线性组合张成张成的集合，即的集合，即 （6.16）称称X为由函数序列为由函数序列 张成的线性空间，对任意函数张成的线性空间，对任意函数 ，都有，都有 （6.17）2）基底（）基底（basis）若若 是线性无关的，使得对任意是线性无关的，使得对任意 ，上式中系数，上式中系数 取唯一值，取唯一值，则我们称则我们称 为空间为空间X的一个基底。的一个基底。17Digital Image Processing3）完备标准正交基）完备标准正交基若内积空间若内积空间X中，对任意中，对任意 ，若，

20、若 ，则称，则称 为正交的，为正交的，用用 表示表示。依次类推，若内积空间。依次类推，若内积空间X中的基底满足中的基底满足 ，当，当c=1时，时，（6.18）则称则称 为为X中的中的标准（归一化）正交基标准（归一化）正交基。进一步：进一步：对于对于X中的标准正交基中的标准正交基 ，若，若 ，n=1,2,n，则必有，则必有 。换言之，换言之，X 中不再存在非中不再存在非0元素，它与所有的元素，它与所有的 正交，正交，则称则称 为为 X 中的中的完备标准正交基完备标准正交基。18Digital Image Processing4）双正交基）双正交基 有时有时X中的基底中的基底 之间并不满足正交关系

21、，可引入对偶基之间并不满足正交关系，可引入对偶基 ：（6.19）基底和其对偶基元素之间相互正交，对任意基底和其对偶基元素之间相互正交，对任意 ，可用它们展开：，可用它们展开：（6.20）正交性存在于基正交性存在于基 和对偶基和对偶基 之间双正交基。之间双正交基。e1=(1,0)x2e2=(2,3)g2=(0,1/3)g1=(1,-2/3)x1图图6.5 二维空间的双正交基示例二维空间的双正交基示例19Digital Image Processing（2）框架）框架（frame）对一函数序列对一函数序列 ，如各个元素互不独立，则称之为，如各个元素互不独立，则称之为“框架框架”；框架展开系数有一个

22、能量限制，必须满足下述定义：框架展开系数有一个能量限制，必须满足下述定义：设设Hilbert空间空间H中的一个函数序列中的一个函数序列 ，若对于任意，若对于任意 ，存在实数存在实数 ，使得下述不等式成立：，使得下述不等式成立：（6.21）则称则称 为框架，为框架，A、B为框架的上下界。为框架的上下界。(6.22)紧框架一般并非正交，当紧框架一般并非正交，当A=B=1时，紧框架退化为标准正交基。时，紧框架退化为标准正交基。若若A=B，为紧框架为紧框架函数函数g(t)的框架的框架展开不是唯一的。展开不是唯一的。20Digital Image Processing第第3 3节节 多分辨率分析多分辨率

23、分析 多分辨率分析多分辨率分析（MRA，Multi-Resolution Analysis）现代信号处理中的一个重要的概念。现代信号处理中的一个重要的概念。例如，不同比例的地图就形成了一套典型的多分辨率图形：例如，不同比例的地图就形成了一套典型的多分辨率图形：全国地图，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要特征，但无法分辨细节；全国地图，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要特征，但无法分辨细节；城市地图，可以分清局部细节（街道、广场和公园等），但无法看到大特征。城市地图，可以分清局部细节（街道、广场和公园等），但无法看到大特征。再如，照相机镜头不同拉伸（再如，照相机镜头不同拉伸（zoom）时

24、形成的一套多分辨率照片：）时形成的一套多分辨率照片：当镜头拉远时，我们看到的大场面，能够分辨大的特征，但看不清细节；当镜头拉远时，我们看到的大场面，能够分辨大的特征，但看不清细节；当镜头拉近时，能够看清细节，但看不清大特征。当镜头拉近时，能够看清细节，但看不清大特征。小波基函数：小波基函数：a1时，时域变宽，便于表现大特征；时，时域变宽，便于表现大特征；a1时，波形拉宽，当时，波形拉宽，当0a1时，波形缩窄。时，波形缩窄。b为平移因子，标度波形在水平方向平移的位置。为平移因子，标度波形在水平方向平移的位置。平移因子平移因子b的存在，使得在小波变换以后在变换域中也保留了时间标注。的存在，使得在小

25、波变换以后在变换域中也保留了时间标注。38Digital Image Processing【例例6.4】Marr小波基函数，小波基函数，又称墨西哥草帽函数，实际上是高斯函数的二阶导数。又称墨西哥草帽函数，实际上是高斯函数的二阶导数。0.867 -2 -1 0 1 2 x0 sFT图图6.10 Marr小波及其频谱小波及其频谱 39Digital Image Processing（2）一维连续小波变换）一维连续小波变换（CWT）一维一维CWT：（6.54）a 表示伸缩，表示伸缩，1/a相当于频率的概念，相当于频率的概念，b 表示平移，相当于时间的概念。表示平移，相当于时间的概念。一维的函数经小波

26、变换以后，变为二维的小波系数函数，是一维的函数经小波变换以后，变为二维的小波系数函数，是a、b的函数。的函数。一维连续小波反变换（一维连续小波反变换（ICWT）：）：（6.55）式中式中 相当于频率的增量。相当于频率的增量。在小波变换中，正反变换核相同。在小波变换中，正反变换核相同。40Digital Image Processing（3）二维连续小波变换）二维连续小波变换 2D-CWT：（6.56）2D-ICWT：二维基本小波，二维基本小波，bx、by分别表示在分别表示在x方向和方向和y方向的位移。方向的位移。41Digital Image Processing（4）连续小波变换的性质）连续

27、小波变换的性质 1）线性叠加）线性叠加 若若 ，则，则 （6.57）2）时移不变）时移不变 若若f(x)的的CWT为为 ，则，则f(x-x0)的的CWT为为 （6.58）3）尺度转换）尺度转换 若若f(x)的的CWT为为 ，则，则 的小波变换为的小波变换为 （6.59）4）内积定理（）内积定理（Moyal 定理）定理）若若f1(x)和和g(x)的的CWT分别为分别为 和和 ，则两个函数的内积为则两个函数的内积为 （6.60）42Digital Image Processing 2.金字塔分解金字塔分解 在小波变换和三个方面技术：金字塔分解，带通滤波器组，子带滤波。在小波变换和三个方面技术：金字

28、塔分解，带通滤波器组，子带滤波。拉普拉斯金字塔图像分析：拉普拉斯金字塔图像分析：将将MM原图像原图像(V0层层)首先分解为首先分解为(M/2M/2)的的V1层图像，层图像，V1层图像分解为层图像分解为(M/4M/4)的的V2层图像，层图像，一直分解到最后一层（一个像素）。，一直分解到最后一层（一个像素）。金字塔分解实际上就是图像的多分辨率分析，每一层图像都表示某一个分辨率：金字塔分解实际上就是图像的多分辨率分析，每一层图像都表示某一个分辨率：越小（高层）的图像分辨率越粗，细节成分越少，表征图像的大特征；越小（高层）的图像分辨率越粗，细节成分越少，表征图像的大特征；越大（低层）的图像分辨率越细，

29、细节成分越多，表征图像的小特征。越大（低层）的图像分辨率越细，细节成分越多，表征图像的小特征。金字塔方式分解在下采样之前，采用金字塔方式分解在下采样之前，采用G-LPF对图像进行滤波，限制滤波后图像带宽。对图像进行滤波，限制滤波后图像带宽。一幅图像的金字塔分解的结果为一幅图像的金字塔分解的结果为f0+f1+f2+，分解后总的容量为：分解后总的容量为：43Digital Image Processing金字塔分解示意图金字塔分解示意图f0 10241024f1 512512f2 256256f3 1281282:1行列行列下采样下采样易找到易找到大特征大特征易找到易找到细节细节图图6.11 金字

30、塔分解示例金字塔分解示例V0V1V2V344Digital Image Processing 二级分解二级分解/综合方法：和小波变换的多尺度分解综合方法：和小波变换的多尺度分解/综合方法的思路一致，综合方法的思路一致，导致了一种小波变换的快速算法。导致了一种小波变换的快速算法。G-LPF2：1G-LPF2：1f 0f 0Hf 0Lf 1f 1Hf 1Lf 2图图6.12 拉普拉斯金字塔图像分解过程拉普拉斯金字塔图像分解过程45Digital Image Processing3.滤波器族滤波器族（1）小波变换的带通等效）小波变换的带通等效 小波基函数小波基函数 共轭翻转函数共轭翻转函数 （6.6

31、1）CWT （6.62）小波变换小波变换 小波基函数小波基函数 *共轭翻转函数共轭翻转函数 “小波变换小波变换”变成了变成了“带通滤波组带通滤波组”。a=1，2，n 时滤波器组合在一起形成了小波变换。时滤波器组合在一起形成了小波变换。图图6.13 一维带通滤波器组一维带通滤波器组46Digital Image Processing（2）二维滤波器组）二维滤波器组（2-D filter banks）2D-CWT可用一组二维带通滤波器组来替代，可用一组二维带通滤波器组来替代，滤波器组的所有的输出组成了的二维小波变换的结果，滤波器组的所有的输出组成了的二维小波变换的结果，2D-CWT的结果是三维函数

32、，存在冗余度，主要价值在图像的分解和分析。的结果是三维函数，存在冗余度，主要价值在图像的分解和分析。带通滤波器带通滤波器的冲激响应的冲激响应输入图像输入图像滤波输出滤波输出叠层叠层图图6.14 二维滤波器组二维滤波器组47Digital Image Processing4.子带滤波子带滤波 子带滤波最初用于音频，后来发展应用到图像处理领域。子带滤波最初用于音频，后来发展应用到图像处理领域。信号频谱低带信号频谱低带+高带高带 分别处理分别处理 处理后处理后信号频谱低带信号频谱低带ed+高带高带ed。分别针对信号不同频带的特点进行处理，比对整体信号进行处理有效。分别针对信号不同频带的特点进行处理，

33、比对整体信号进行处理有效。分解以后的子带还可以进一步再分解，如此进行下去，就是小波分解方法。分解以后的子带还可以进一步再分解，如此进行下去，就是小波分解方法。（1）子带分解和综合）子带分解和综合图图6.15 双子带编码和重建双子带编码和重建2:1G0(z)分解分解G0(z)1:2G1(z)半长度半长度2:1:1G1(z)1:2H0(z)F(z)H1(z)Y(z)K1(z)K0(z)综合综合G0(z)G1(z)48Digital Image Processing x(i)的的2抽取信号抽取信号 x(i)的的2插值信号插值信号 （6.63）（6.64）可得：可得：（6.65）（6.66）输入和输出

34、的关系（参照图输入和输出的关系（参照图6.15）：）：（6.67）12 Z变变换换 Z变变换换49要使要使F(z)=Y(z)，方法之一是（，方法之一是（6.67）式中以下）式中以下2条件同时成立：条件同时成立：第第2项：项：，保证没有频谱混叠；，保证没有频谱混叠；第第1项：项：，保证重建信号为，保证重建信号为F(z)。正交镜像滤波器（正交镜像滤波器（QMF，Quadrature Mirror Filter），在），在0sN区间满足：区间满足：和和SN/2对称对称s0sN/2H1sNH0图图6.16 镜像滤波器镜像滤波器第第2项项0第第1项项2H0和和H1之间之间为镜像的关系为镜像的关系50Di

35、gital Image Processingf(i)1D-FWT分解分解N点点1D-IFWT综合综合h0(i)2:1h1(i)2:1h0(i)2:1h1(i)2:1h0(i)2:1h1(i)2:1h0(i)1:2h1(i)1:2h0(i)1:2h1(i)1:2h0(t)1:2h1(i)1:2g1(2i)g1(4i)g1(8i)f(i)低低 N/2点点低低 N/4点点低低N/8点点高高N/2点点高高N/4点点高高N/8点点图图6.17 Mallat快速小波变换算法快速小波变换算法（2）从子带滤波到小波变换）从子带滤波到小波变换 Mallat定义了一种采用双子带编码的快速小波变换算法（定义了一种采

36、用双子带编码的快速小波变换算法（FWT），），如上图，如上图，又称为又称为“鱼骨算法鱼骨算法”（herring bone algorithm）。）。51Digital Image Processing第第5 5节节 离散小波变换离散小波变换 1.参数的离散化参数的离散化（1）离散小波变换）离散小波变换（DWT，Discret Wavelet Transform）对小波连续变换的参数对小波连续变换的参数a、b离散化，如离散化，如 a=a0j，b=ka0jb0。离散化小波函数：离散化小波函数：（6.68）离散小波变换为：离散小波变换为：（6.69）离散小波反变换为：离散小波反变换为：（6.70）5

37、2Digital Image Processing（2）二进小波）二进小波（Dyadic Wavelet）设设a0=2，则，则a=2j，设，设b0=1，则，则b=2 jk，形成二进制平移和伸缩。，形成二进制平移和伸缩。二进小波函数：二进小波函数：（6.71）二进小波变换：二进小波变换：（6.72）二进小波反变换：二进小波反变换：（6.73）53Digital Image Processing二进小波基函数的示例二进小波基函数的示例 b=4b=4b=3b=2b=2b=1b=0b=0b=0a=1a=1/2a=1/2a=1/2a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4j=0-k=0j=-1-

38、k=0j=-1-k=4j=-1-k=8j=-2-k=0j=-2-k=4j=-2-k=8j=-2-k=12j=-2-k=16x0 1 2 3 4 5图图6.18 二进小波示意图二进小波示意图54（3）正交二进小波）正交二进小波 如果二进小波函数如果二进小波函数 满足：满足：（6.74）则称为正交小波集。则称为正交小波集。如果任一函数如果任一函数 f(x)，可由正交小波基的线性组合表示，也可称作小波级数：，可由正交小波基的线性组合表示，也可称作小波级数：（6.75）f(x)的小波系数的小波系数55Digital Image Processing（3）正交小波基几例）正交小波基几例 1）Haar正交

39、小波基正交小波基:（6.76）2）Meyer正交小波基，其傅里叶变换为：正交小波基，其傅里叶变换为：（6.77）3）二阶）二阶Marr正交小波基正交小波基:（6.78）4）Morlet复正交小波基复正交小波基:（6.79）频谱频谱 （6.80）56Digital Image Processing 2.二维多分辨率分析二维多分辨率分析 用一维张量乘积构造的二维尺度空间，各维变量是相互独立的。用一维张量乘积构造的二维尺度空间，各维变量是相互独立的。二维二维j 尺度空间为：尺度空间为：（6.81）如果如果 是是 Vj 的标准正交基，的标准正交基，则则 是是 的标准正交基。的标准正交基。（6.82）对

40、应的尺度和小波函数57由由 构成的张量积二维构成的张量积二维MRA：1）2）（6.84）3）（6.85）4）图图6.19 二维二维MRA空间示意图空间示意图（6.86）（6.83）58Digital Image Processing3.二维离散小波变换二维离散小波变换 二维尺度向量二维尺度向量 二维尺度函数二维尺度函数 可分离可分离 一维尺度函数一维尺度函数 小波函数小波函数 4个基本小波个基本小波:由此可建立二维二进小波函数集：由此可建立二维二进小波函数集：（6.87）59Digital Image Processing（1）二维小波正变换）二维小波正变换 NN的图像的图像f1(x,y)，N

41、=2 i，二维离散小波变换的第一层分解（，二维离散小波变换的第一层分解（j=1）如下：）如下：（6.88）（6.89）（6.90）（6.91）当当j=2时，时，可以一直分解下去。，可以一直分解下去。具体运算时，在行和列两个方向上的间隔抽样后依次做下去。具体运算时，在行和列两个方向上的间隔抽样后依次做下去。60Digital Image Processing【例例6.6】图像的三层小波分解实际过程如图图像的三层小波分解实际过程如图6.20所示。所示。(a)一层小波分解的计算一层小波分解的计算h0(-x)h1(-x)h0(-x)h1(-x)h0(-x)h1(-x)f1(x,y)W10(x,y)W1

42、1(x,y)W12(x,y)W13(x,y)列处理列处理 丢奇数行丢奇数行行处理行处理 丢奇数列丢奇数列2:12：12：161Digital Image Processing图图6.20 图像小波分解的示例图像小波分解的示例2：12：1W20 W12 W11 W13 W22 W21 W23 j=2层次层次W40 W12 W11 W13 W22 W21 W23 j=3层次层次(b)三层小波分解的示意图三层小波分解的示意图f1(x,y)W10 W12 W11 W13 j=1层次层次2：1原图像原图像62Digital Image Processing 图图6.20 图像小波分解的示例图像小波分解的

43、示例(c)二层小波分解结果二层小波分解结果63Digital Image Processing（2）二维小波逆变换）二维小波逆变换 二维小波逆变换（二维小波逆变换（IDWT）过程和正变换相反，其中一层的计算如图）过程和正变换相反，其中一层的计算如图6.21所示。所示。4f1(x,y)W10(m,n)列插列插0行插行插0卷积行卷积行卷积列卷积列图图6.21一次小波反变换示意图一次小波反变换示意图h0(m)h1(m)h0(m)h1(m)h0(n)h1(n)W11(m,n)W12(m,n)W13(m,n)1:21:21:21:21:21:2644.双正交小波变换双正交小波变换 可以证明：除了可以证明

44、：除了Haar小波外，不存在实的、规范正交的小波函数，小波外，不存在实的、规范正交的小波函数，同时具有紧支性以及对称、反对称性。同时具有紧支性以及对称、反对称性。在小波变换中，看重小波函数的紧支性和对称性，宁可适当牺牲正交性，在小波变换中，看重小波函数的紧支性和对称性，宁可适当牺牲正交性，往往采用双正交小波替代正交小波。往往采用双正交小波替代正交小波。小波正变换用小波基小波正变换用小波基 反变换用对偶基反变换用对偶基 小波分解小波分解 ，小波重建，小波重建 小波分解小波分解 ，小波重建，小波重建两者之间双正交两者之间双正交两种两种方法方法任选任选65Digital Image Processi

45、ng（1）一维双正交小波变换）一维双正交小波变换 一维双正交小波变换，一维双正交小波变换，4个离散滤波器，个离散滤波器，滤波器需满足下述条件：滤波器需满足下述条件：（6.92）（6.93）用用4个滤波器实现个滤波器实现f(x)双正交小波变换中的一次分解与重建的过程。双正交小波变换中的一次分解与重建的过程。2个高通个高通滤波器滤波器2个低通个低通滤波器滤波器分解分解 重建重建 f(x)f(x)图图6.22 双正交变换示意图双正交变换示意图66（2）二维双正交小波变换）二维双正交小波变换 将一维双正交变换的方法直接推广到二维：将一维双正交变换的方法直接推广到二维：正变换采用的正变换采用的4个二维小

46、波基函数个二维小波基函数 反变换采用的反变换采用的4个二维对偶基函数个二维对偶基函数67Digital Image Processing第第6 6节节 小波的选取及应用小波的选取及应用 1.1.小波的选取小波的选取 小波基函数的选择：小波基函数的选择：小波变换不是固定基函数的变换，不一定是正交变换，不强求是小波变换不是固定基函数的变换，不一定是正交变换，不强求是“单单”正交基；正交基；只要符合一定的条件就可以用作小波变换的基函数，其选择具有很大的灵活性；只要符合一定的条件就可以用作小波变换的基函数，其选择具有很大的灵活性；并非所有的小波基都适合于图像处理，不同的基函数对处理的效果有很大影响。并

47、非所有的小波基都适合于图像处理，不同的基函数对处理的效果有很大影响。选择考虑：选择考虑：考虑待处理信号本身的特点：图像，视频，考虑待处理信号本身的特点：图像，视频，考虑到应用的场合：压缩，去噪，恢复，融合，检测，考虑到应用的场合：压缩，去噪，恢复，融合，检测，68Digital Image Processing（1 1）正交性）正交性 小波变换：原始图像与小波基函数、尺度函数的内积运算。小波变换：原始图像与小波基函数、尺度函数的内积运算。如如Mallat算法，小波基际上就是正交或双正交镜像滤波器算法，小波基际上就是正交或双正交镜像滤波器(QMF)。规范正交小波基规范正交小波基，图像多尺度分解得

48、到的各子带数据分别落在相互正交的子，图像多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子 空间，此特性有利于小波分解系数的精确重构。空间，此特性有利于小波分解系数的精确重构。但大部分正交小波基是不是紧支的，不利于滤波计算，但大部分正交小波基是不是紧支的，不利于滤波计算，因此，在图像处理中常选用因此，在图像处理中常选用双正交小波基：双正交小波基：双正交只要求两个小波系之间正交，要求放宽，范围加大，不增加计算负担。双正交只要求两个小波系之间正交，要求放宽，范围加大，不增加计算负担。如如Mallat方法，双正交是指：低通分析滤波器方法，双正交是指：低通分析滤波器 和和 高通重建滤波器高通重建滤波器 正

49、交，正交，低通重建滤波器低通重建滤波器 和和 高通分析滤波器高通分析滤波器 正交。正交。69Digital Image Processing（2 2）紧支集）紧支集 紧支集：紧支集：小波基函数小波基函数(t)在有限区域外皆为在有限区域外皆为0；急降：急降：当当t时，时，(t)快速衰减快速衰减或具有指数规律衰减。或具有指数规律衰减。紧支性的好处：紧支性的好处：紧支宽度越窄或衰减越快，小波的局部化特性越好；紧支宽度越窄或衰减越快，小波的局部化特性越好；紧支小波分解可以用紧支小波分解可以用FIRFIR滤波器实现，运算精度较高。滤波器实现，运算精度较高。非紧支撑小波在运算时必须截短。非紧支撑小波在运算

50、时必须截短。但：一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，但：一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多在一个域是紧支的，另一个域是急衰的。最多在一个域是紧支的，另一个域是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。70Digital Image Processing（3 3）对称性）对称性 人类视觉系统对图像的边缘比较敏感，希望滤波器是紧支、对称或反对称；人类视觉系统对图像的边缘比较敏感，希望滤波器是紧支、对称或反对称；非对称滤波器的非线性相位特性易导致图像边缘的错位；非对称滤波器的非线性相位特性易导致图像边缘的错位；大多数的实际图像处理要求滤波器具备线性