江苏省高三一轮数学复习专题材料专题6_立体几何初步.doc

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1、专题6 立体几何初步苏州工业园区第三中学 秦卫东【课标要求】1课程目标几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。通过立体几何初步的教学，使学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的过程。三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行

2、论证。了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法2复习要求（1）复习中要注意以常见的空间几何体（长方体、三棱锥、四棱台、圆柱、球等）为载体，进行识图与画图的训练，使学生了解三视图与直观图的画法，初步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能（2）点、线、面的位置关系是立体几何初步中的重点内容，应让学生了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，并能解决一些简单的推理论证及应用问题（3）对有关线面平行、垂直关系的性质定理要求进行证明，使学生体会证明的过程和方法；而线面平行、垂直关系的判定定理只要求直观感知、操作确认，但复习中要求作为推理的依据（4）关于空间中的“角”与“距离”，只要求了解异面直线所成的角

3、、直线与平面所成的角、二面角及其平面角和点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念对于这些角与距离的度量问题，只要在长方体模型中进行说明即可，具体计算不作要求（5）复习中应重视自然语言、图形语言和符号语言之间相互转化的训练（6）要注意联系平面图形的知识，利用类比、联想等方法，辨别平面图形和立体图形的异同，理解两者的内在联系，务必让学生领会，将空间问题转化为平面问题是处理立几问题的重要思想3复习建议立体几何是传统内容中变化最大的增加了三视图，距离的计算不要求，角对文科考生不要求，对理科考生只在40分内容中考，且方法统一（用空间向量计算），这样，传统的以距离、角（特别

4、是二面角）为主体的命题思路被打破了从07-08新课程高考试题分析，复习中应该重视以下几个方面的问题：（1）明确考试内容的变化：删除内容（或在选修课内体现的）：异面直线所成的角的计算；直线与平面所成角的计算；三垂线定理及其逆定理；二面角及其平面角的计算；多面体及欧拉公式；原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）增加内容：简单空间图形的三视图；专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想象能力特别是“三视图与直观图”是新增内容，尽管08江苏高考未出现，但在未来的高考中将会是命题的一个热点，复习中应多加重

5、视（2）明确考试说明的变化：空间几何体: 3个小节均属A级要求；平面及其基本性质考查要求由B修改为A；直线与平面垂直的判定与性质考查要求由C修改为B，表面积和体积公式考查要求由B修改为A；考试说明中对立几部分整体要求下降（3）尽管教材对证明（立几推理）的要求弱化（对判定定理不要求证明），但我们在复习中仍然应该予以重视，因为这是必然出现的题型在空间位置关系的证明上，高考还会一如既往的重点考查，可能在考查方式上会寻求突破，如：将位置关系通过三视图呈现，加强对空间想象能力的考查；在设问方式上创新，变传统证明为判断型探究型问题，适当增加难度，体现了能力立意（4）要重视与三视图有关的题目的训练要关注这样

6、几个命题方向：读图，由三视图还原几何体，进而研究这个几何体的体积、表面积及其中的线、面位置关系等；补图，即告诉几何体，并作出三视图的一部分，补全三视图；体积、表面积的计算应该成为立体几何考查的重心之一要注意研究这样几个方面的问题：一是求体积、面积的体现能力的一些求法，如通过图形变换、等价转换的方法求体积、面积；二是注意动图形（体）的面积、体积的题型的研究，如不变量与不变性问题（定值与定性）、最值与最值位置的探求等；三是注意由三视图给出的几何体的相关问题的研究（5）要注意通过问题的载体适度提高难度，如通过组合体（由教学要求中的常见几何体组成，如圆柱内接棱柱、棱锥；球内接棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等）

7、提出位置关系、面积与体积等方面的问题（6）不断强化将空间问题转化为平面问题是处理立几问题的重要思想【典型例题】例1（填空题）（1）已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面，有下列命题：若； 若；若； 若；其中正确的命题个数是 解析：本题考查了直线和平面的基本位置关系，传统空间位置关系的判断依然是高考小题考查的重点，解决此类问题，可用手中的笔与桌子等一些具体模型 答案：，正确；，错误（2）（08宁夏海南改编）已知平面平面，= l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，一定成立的是 （1） ABm（2）ACm（3） AB（4） AC解析：容易判断（1）、（2

8、）、（3）三个答案都是正确的，对于（4），虽然，但不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握（3）（08广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为 （1） （2） （3） （4）解析：解题时结合图1，图2在几何体右边放一个平面（垂直于面EG）把平面图形的投影转化为点，线在面上的投影答案：（1）俯视图 主视图左视图2322（4）（08山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_ 解析：从三视图可以看出

9、该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为（5）（08宁夏海南文科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _解析：正六边形周长为，得边长为，故其主对角线为，从而球的直径 球的体积（6）有一跟长为6cm，底面半径为05cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在同一母线的两端，则铁丝的长度最少为 cm解析：此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开答案：（7）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 解析：把从三视图进行复原，得如

10、图， 2020主视图20左视图101020俯视图（8）在矩形ABCD中，AB3，AD4，P在AD上运动，设，将沿BP折起，使得面ABP垂直于面BPDC， AC长最小时的值为 解析：本题是立体几何中的最值问题，建立数学模型，用函数解决是一种重要方法。过A作AHBP于H，连CH，在，在，时，AC长最小；（9）（08宁夏海南理科）某几何体的一条棱长为，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图，设长方体的高宽高分别为，由题意得：，所以，当且仅当时取等号，故

11、a+b的最大值为（10）在DEF中有余弦定理： 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的三个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式 解析：根据类比猜想得出其中为侧面为与所成的二面角的平面角证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：，同乘以，得 ： 即 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此在平时的复习中要注意类比的思想方法ABCDEF例2（08江苏）如图，在四面体中，点分别是的中点求证：（1）直线面；（2）平面面证明：（1）E,F分别是的中点EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面A

12、CD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是BD的中点，CFBD又EFCF=F, BD面EFC， BD面BCD，面面例3（08宁夏海南文科）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG解析：(1)如图：（）所求多面体的体积（）证明：如图，在长方体中，连接，则，因为E，C分别为中点，所以，从而，又, 所以平面EFG例4如图l，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD

13、，ABC=600，E是BC的中点如图2，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点 (1)求证：AEBD； (2)求证：平面PEF平面AECD；ABCDE图1ABCDEFP图2(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由（1）证明：连接，取中点，连接在等腰梯形中，AB=AD，E是BC的中点，与都是等边三角形 平面，平面。平面，（2）证明：连接交于点，连接，且，四边形是平行四边形。N是线段的中点。P是线段的中点， 平面 平面ABCDA1B1C1D1EF（3）与平面不垂直证明：假设平面，则平面，平面，平面 ，这与矛盾与平面不垂直例5 如图，在

14、正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点（1）求证：EF平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1平面CB1D1（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由（1）证明：连结BD 在长方体中，对角线E、F为棱AD、AB的中点， 又B1D1平面，平面， EF平面CB1D1 （2） 在长方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1B1D1又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1 又 B1D1平面CB1D1，平面

15、CAA1C1平面CB1D1（3）最小值为 如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为 FCPGEABD例6（08广东理科）如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于 （1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积解：（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即 ;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,即,的面积俯视图主视图【新题备选】1用单位立方

16、块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为_答案： 与2如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是_(1) (2) (3) (4) 答案：2如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写

17、出所有真命题的代号）答案：、4 在平面上,设，是三角形ABC三条边上的高P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为，,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论 _ 解： 设，三棱锥A-BCD四个面上的高P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为，我们可以得到结论:【专题训练】一、（填空题）1已知，是平面，是直线，给出下列命题：若，则； 若，则；如果、n是异面直线，那么相交；若，且，则且其中正确命题的个数是 2已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出如下命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则； （4）若则。其中正确命题的序号是 3已知三条不重合的直线两个

18、不重合的平面，有下列命题：若，则； 若，且，则；若则；若，则其中正确的序号为_ 4平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件 ；充要条件 xyO-2（写出你认为正确的两个充要条件）5如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是 6过圆锥高的三等分点，作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分面积之比为_7（07宁夏）已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上， 底面，则球的体积与三棱锥体积之比是 _主视图左视图俯视图8由大小相同的正方体木块堆成的几何体

19、的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ABCDD1A1C1B1QPMNR9正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=3，BB1=4长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥RPQMN的体积是_ 10已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得到这个几何体的体积是_cm3 112112俯视图左视图主视图11 已知一正方体的棱长为，表面积为；一球的半径为表面积为，若，则= _12、如图,长方体ABCD的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到点，沿着表面爬行的最短距离是_13已知PA，P

20、B，PC两两互相垂直，且PAB、PAC、PBC的面积分别为15cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为 cm214如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_ _ 二解答题15在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2,E为棱CC1的中点(1) 求三棱锥E-ABD的体积；(2) 求证：B1D1AE；(3) 求证：AC/平面B1DE16一个多面体的直观图和三视图如图，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点（

21、1）求证：（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP/平面FMC,并给出证明ACBDSAABDS主视图左视图俯视图图117、已知一几何体的三视图如图1，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，（1）求点A到面SBC的距离；（2）有一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长与高取何值时，棱柱的体积最大，并求出这个最大值。18如图，在四棱锥P-ABCD中，CD/AB , ADAB , AD = DC = AB , BCPC(1)求证：PABC ；(2)试在线段PB上找一点M，使CM / 平面PAD，并说明理

22、由19如图，已知正三棱柱中，,点D为的中点(1)求证：；(2)求证：BCDA20如图，在直四棱柱中，已知，（1）求证：；（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由【专题训练参考答案】12个 2(4) 3 4 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形（任意两个） 5 61:3:5 7 8 5 9 6 10 11 12 13 26 14 （1）（3）15解：（1）平面ABD， V=CESABD= （2）连结A1C1，在正方体中 B1D1A1C1，B1D1CC1，A1C1 CC1=C1B1D1面A1C1CA， AE面A1C1CA B1D1AE （3）解法

23、一：连结AC1，取AC1的中点为H，取AC的中点O，连接HO，HO/EC且HO=EC 四边形HOCE为平行四边形，OC/HE即AC/HE连接BD1，易知四边形A1BCD1为平行四边形，则H为BD1和A1C的交点HE平面B1DE又AC平面B1DE，AC/平面B1DE 解法二：延长BC与B1E延长线交于F，连DF，E为棱CC1中点，B1C1EFCECF=C1B1=CBCF/AD且CF=ADADFC为平行四边形AC/DFAC平面B1DE，DF平面B1DE，AC/平面B1DE 16 证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中ADDF,DF=AD=DC（1）连接DB，可知B、N、D共线，且ACDN

24、又FDAD，FDCD，FD面ABCD，FDAC，AC面FDNGNAC（2）点P在A点处证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA G是DF的中点，GS/FC,AS/CM， 面GSA/面FMC GA/面FMC 即GP/面FMC17（1）3提示： （2）底面边长为4，高为2，体积最大，最大体积为32 提示：设底面边长为x，则，V，求导后可得18解：（1）连，在四边形ABCD中， 设，在中，在中， ，又， (2)当为的中点时，取的中点，连结则 ， ，19 证明：（1）在正三棱柱ABCA1B1C1中， 连结A1B，设AB1A1B=O连结ODDA1BC1中，A1D=DC1，A1O=OB，ODBC1OD平面AB1D BC1平面AB1DBC1平面AB1D（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1B1D平面A1B1C1中，D为A1C1中点，B1DA1C1AA1A1C1=A1，B1D平面AA1C1C DA1AA1AC ADA1=CA1A DA1C+CA1A=90，ADA1+DA1C=90，A1CADADB1D=D，BCDAA1C平面AB1D20（1）证明：在直四棱柱中，连结，四边形是正方形又，平面平面， 平面，且，平面，又平面， （2）连结，连结，设，连结，平面平面，要使平面，BCDAME须使，又是的中点是的中点又易知，即是的中点综上所述，当是的中点时，可使平面