分析力学--第2章-动力学普遍方程和拉格朗日方程课件.ppt

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1、 第二章第二章 动力学普遍方程和拉各动力学普遍方程和拉各朗日方程朗日方程1.动力学普遍方程动力学普遍方程2.拉格朗日方程拉格朗日方程3.动能的广义速度表达式动能的广义速度表达式4.拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分5.碰撞问题的拉格朗日方程碰撞问题的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的应用举例拉格朗日方程的应用举例.引言1：非自由质点系的动力学问题12摆摆长长不不定定，如如何何确确定定其摆动规律？其摆动规律？K混沌摆问题混沌摆问题多杆摆问题多杆摆问题.引言2：惯性力的概念达朗伯（1717-1785）通过引入惯性力的概念，建立了著名的达朗伯原理（用静力学建立平衡方程的方法处理动力学问题）；约翰约

2、翰伯努利（伯努利（1667-1748）于）于1717年精确表述了年精确表述了虚位移原理虚位移原理（建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中的（建立虚位移、虚功的概念，用动力学的方法研究静力学中的平衡问题）；平衡问题）；拉格朗日（拉格朗日（1736-1813）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广）应用达朗伯原理，把虚位移原理推广到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，进到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力学普遍方程，进一步导出了拉格朗日方程。一步导出了拉格朗日方程。.vPMl其加速度为其加速度为令令R=P+T则则ma=R=P+T摆锤摆锤M在受到在受到P、T的同时，将给施力体

3、的同时，将给施力体（地心和绳子）一对应的反作用力，（地心和绳子）一对应的反作用力，反作用力的合力为反作用力的合力为TR=R=ma 此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力反作用力”，称为，称为惯性力惯性力。a n PTPTPTa na na n 图示圆锥摆摆长为图示圆锥摆摆长为l，摆锤，摆锤M的质量的质量m，在水平面内作匀速圆周运动，速度为，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为，锥摆的顶角为2，摆锤摆锤 M 受力如图。受力如图。RvRvRvR.结论：质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的

4、乘积，方向与其加速度方向相反。若用若用Fg表示惯性力，则有表示惯性力，则有 Fg=ma说明：说明：1.此力是不是真实的力！此力是不是真实的力！2.此力作用于施力给质点的物体上！此力作用于施力给质点的物体上！3.此力又称为牛顿惯性力！此力又称为牛顿惯性力！.引言3：达朗伯原理一、质点的达朗伯原理设质点设质点M的质量为的质量为m，受力有，受力有主动力主动力F、约束反力约束反力FN，加速度为加速度为a，则根据牛顿，则根据牛顿第二定律，有第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma=F+FNFg=ma令令则则F+FN+Fg=0形式上的平衡方程形式上的平衡方程结论：在质点运动的

5、任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性力Fg，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。.二、质点系的达朗伯原理设质点系由设质点系由n个质点组成，个质点组成，第第i个质点质量为个质点质量为mi，受力有主动力，受力有主动力Fi，约束反力，约束反力FNi，加速度为，加速度为ai，假想地加上其惯性力，假想地加上其惯性力Fgi=miai，则根据质点的达朗伯原理，则根据质点的达朗伯原理，Fi、FNi与与Fgi应组成形式上的平衡应组成形式上的平衡力系，即力系，即对整个质点系来说对整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力与作用于该质点系的主动力、约束反力将组

6、成形式上的平衡力系。Fi+FNi+Fgi=0（i=1，2，n）MO(Fi)+MO(FNi)+MO(Fgi)=0Fi+FNi+Fgi=0质点系的质点系的达朗伯原理达朗伯原理即即或或.1.动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物。动力学普遍方程是虚位移原理与达朗伯原理简单结合的产物。设质点系由设质点系由n个质点组成，第个质点组成，第i个质点质量为个质点质量为mi，受主动力受主动力Fi，约束反力，约束反力FNi，加速度为，加速度为ai，虚加上虚加上其惯性力其惯性力Fgi=miaiFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi则根据达朗伯原理

7、，则根据达朗伯原理，Fi、FNi 与与Fgi，应组成形式上的平衡力系，即应组成形式上的平衡力系，即Fi+FNi+Fgi=0若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有若质点系受理想约束作用，应用虚位移原理，有.或或动力学普遍方程动力学普遍方程表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上表明：在理想约束条件下，在任意瞬时，作用于质点系上的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和等于零。等于零。则则动力学普遍方程动力学普遍方程的坐标分解式为的坐标分解式为若若.例例1.两均质轮质量皆为两均质轮质量皆为m1，半径皆为，半径皆为r，对轮心的转

8、动惯量为，对轮心的转动惯量为J；中心用质量为；中心用质量为m2的连杆连接，在倾角为的连杆连接，在倾角为的斜面上的斜面上纯滚动纯滚动纯滚动纯滚动。求连杆的加速度。求连杆的加速度。.研究整个系统，进行受力分析；研究整个系统，进行受力分析；解：解：设杆的加速度为设杆的加速度为a，则，则m2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMga s sm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMga s sm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMga s sFg1=m1a，Fg2=m2a，给连杆以平行于斜面向下给连杆以平行于斜面向下的虚位

9、移的虚位移 s，则相应地两则相应地两轮有转角虚位移轮有转角虚位移 ，且且根据动力学普根据动力学普遍方程，得遍方程，得:于是于是解得解得.(a)(b).2.拉格朗日方程拉格朗日方程将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出将动力学普遍方程用广义坐标表示，即可推导出第二类拉格第二类拉格朗日方程朗日方程。n个质点的系统受到个质点的系统受到k 个如个如下形式的完整约束下形式的完整约束fi,又若系统中又若系统中质量为质量为mj的第的第j个质点受主动力个质点受主动力Fj，则系统的运动满足，则系统的运动满足3n个方程个方程如左，称为如左，称为第一类拉格朗日方程第一类拉格朗日方程，i称为拉各朗日未定乘子。称为

10、拉各朗日未定乘子。*第一类拉格朗日方程用到的较少第一类拉格朗日方程用到的较少.拉格朗日拉格朗日1736 1813,法籍法籍意大利人，数学家、意大利人，数学家、力学家、天文学家，力学家、天文学家，十九岁成为数学教十九岁成为数学教授，与欧拉共同创授，与欧拉共同创立变分法，是十八立变分法，是十八世纪继欧拉后伟大世纪继欧拉后伟大的数学家。的数学家。.设质点系由n个质点组成，具有s个完整理想约束，则有N=3n-s个自由度（广义坐标）。用用q1，q2，qN表示系统的广义坐标，第表示系统的广义坐标，第i个质点质量为个质点质量为mi，矢径为矢径为ri。则。则 ri=ri(q1，q2，qN，t)对上式求变分得对

11、上式求变分得动力学普遍方程可写成动力学普遍方程可写成其中其中.根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广义坐标的变分的变分 qk是任意的，为使上式恒成立，须有是任意的，为使上式恒成立，须有(k=1，2，N)广义力广义力广义惯性力广义惯性力以广义坐标表示的达朗伯原理以广义坐标表示的达朗伯原理.对式对式中广义惯性力进行变换：中广义惯性力进行变换：.将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材将下列两个恒等式（有关证明请参阅教材P46）（广义速度）广义速度）得得

12、所以所以代入第一项中的括号内代入第一项中的括号内代入第二项中的括号内代入第二项中的括号内.得到得到这就是这就是第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程，是一个方程组，该方程组，是一个方程组，该方程组的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方程，方程，揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）则广义力则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式可写成质点系势能表达的形式于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成于是，对保守系统，拉格朗日方

13、程可写成.用函数用函数L表示系统的动能表示系统的动能T与势能与势能V之差，即之差，即 L=TVL称为称为拉格朗日函数或动势拉格朗日函数或动势。则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为则在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为若作用于质点系的主动力为有势力及非有势力两部分构成时.用拉格朗日方程的意义用拉格朗日方程的意义1.拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中的重要方程。的普遍方程，是分析力学中的重要方程。2.拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量，是拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本量

14、，是用广义坐标表示的运动微分方程。用广义坐标表示的运动微分方程。3.拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能；拉格朗日方程形式简洁，运用时只需要计算系统的动能；对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。对于保守力系统，只需要计算系统的动能和势能。.用拉格朗日方程概述用拉格朗日方程概述1.静力学静力学：对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚：对受完整约束的多自由度的平衡问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约衡方程。这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的

15、约束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。2.动力学：动力学：对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以对受完整约束的多自由度的动力学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组根据能量原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方独立的运动微分方程。这种用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。程，称为拉格朗日第二类方程，简称为拉格朗日方程。.用拉格朗日方程解题的步骤用拉格朗日方程解题的步骤1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；确定系统的

16、自由度数（广义坐标数）；2.选广义坐标；选广义坐标；3.计算系统的动能计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；，且用广义速度来表示动能；4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；计算广义力（对保守系统可计算势能）；5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。.rRMMO AM例例1 位于水平面内的行星轮机构中，质量为位于水平面内的行星轮机构中，质量为m1的均质细杆的均质细杆OA，可绕，可绕O轴转动，另一端装有质量为轴转动，另一端装有质量为m2、半径为、半径为r的均质的均质小齿轮，小齿轮沿半径为小齿轮，小齿轮沿半径为R的的固定固定大齿轮大齿轮纯滚动纯滚

17、动。当细杆受。当细杆受力偶力偶M的作用时，求细杆的角加速度的作用时，求细杆的角加速度 。.解：解：研究整个系统，选广义坐标研究整个系统，选广义坐标，则则 系统的动能为系统的动能为ARMrOT T=T TOAOA+T T轮轮 P P P行星轮瞬心为行星轮瞬心为P，角速度为角速度为vAvAvA.OAvAR Mr又关于广义坐标又关于广义坐标 的的广义力为广义力为代入代入Lagrange方程：方程：于是得于是得.O例例2 质量为质量为m的质点悬在不计质量的软线上，线的另一端的质点悬在不计质量的软线上，线的另一端绕在半径为绕在半径为R的的固定圆柱固定圆柱上。设在平衡位置时，线的下垂上。设在平衡位置时，线

18、的下垂部分长度为部分长度为l。求此摆的运动微分方程。求此摆的运动微分方程。Rml l l.RlOmm系统的动能为系统的动能为选选=0处为系统势能的零势点，则处为系统势能的零势点，则V=mg（l+Rsin）（）（lR）cos 系统的动势为系统的动势为 解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标解：此摆为单自由度保守系统，选广义坐标，.已求得已求得将式上式代入保守系统的拉氏方程将式上式代入保守系统的拉氏方程得摆的运动微分方程得摆的运动微分方程.O O O例例3 3 已知质量为已知质量为m1的三棱柱放在光滑水平面上，质量为的三棱柱放在光滑水平面上，质量为m2的均质圆柱体的均质圆柱体O由静止沿三棱柱的斜面

19、向下纯滚动。求由静止沿三棱柱的斜面向下纯滚动。求三棱柱的加速度。三棱柱的加速度。OO.(设圆柱设圆柱o o的半径为的半径为r r)选选x1、x2为广义坐标，为广义坐标，x1x2O圆柱中心的速度为圆柱中心的速度为 圆柱的角速度为圆柱的角速度为vO解：解：系统具有两个自由度，系统具有两个自由度，o1o2所以，系统的动能为所以，系统的动能为则三棱柱速度为则三棱柱速度为加速度为加速度为x2vOx2vOx2vO.x2x1x2Oo1o2m1gFNm2gx1联立解得：联立解得：代入代入L程：程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系统关于广义坐标系统关于广义坐标x1、x2的广义力的广

20、义力分别为：分别为：.例例4 4 图示均质杆图示均质杆AB质量为质量为m1，长为，长为3l，B端铰接一质量为端铰接一质量为m2，半径为，半径为r的均质圆盘。杆的均质圆盘。杆AB在在O处为铰支，两弹簧的刚处为铰支，两弹簧的刚性系数均为性系数均为k；杆在水平位置平衡。求系统的微幅振动的固；杆在水平位置平衡。求系统的微幅振动的固有频率。有频率。Okkllll2rACB.解：解：系统具有两个自由度，且为保守系统。系统具有两个自由度，且为保守系统。选选 1、2为广义坐标，为广义坐标，OkkllllACB2r12则杆的角速度为则杆的角速度为圆盘的角速度为圆盘的角速度为 所以，系统的动能为所以，系统的动能为

21、12 12.系统的势能为系统的势能为OkACkllll2rB 2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l 1 重力与振动方向相同，重力与振动方向相同，系统受力如图，系统受力如图，系统的动势为系统的动势为F1F2F1F2F1F2 取平衡位置处为零势点，取平衡位置处为零势点，弹性力变形从平衡位置处计弹性力变形从平衡位置处计算，可以不计重力势能！算，可以不计重力势能！.代入保守系统的拉氏方程代入保守系统的拉氏方程可见，圆盘的角加速度为零！可见，圆盘的角加速度为零！圆盘作平动！系统的固有频率为圆盘作平动！系统的固有频率为得得所以所以OkACkllll2rB 2m

22、1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l 1l 1F1F2F1F2F1F2.例例5 5 杆杆OA与与AB以铰链相连，且以铰链相连，且OA=a，AB=b，O悬挂于圆悬挂于圆柱铰链上柱铰链上，A、B处质点质量分别为处质点质量分别为 m1和和m2，各处摩擦及，各处摩擦及两杆质量均不计，求系统微幅摆动的微分方程。两杆质量均不计，求系统微幅摆动的微分方程。m1bam2OAB.vAvAvAvAbaOAB 1 2则则解解 系统具有两个自由度，系统具有两个自由度，选选 1、2为广义坐标，为广义坐标，系统动能为系统动能为vAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA 1

23、2vAvB 2 1vBA 1 2vAvB 2 1vBA 系统作微幅摆动，系统作微幅摆动，cos(2 1)1.1 2 2 1系统受力如图。系统受力如图。m2g求系统关于广义坐标求系统关于广义坐标 2的广义力：的广义力：1 1 2XOYOm2gm1g2m1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1 12 2b2b2b 2a1a1a 1a1a1a 1给给1，则，则给给2，则，则求系统关于广义坐标求系统关于广义坐标 1的广义力：的广义力：.代入代入Lagrange方程：方程：化简得化简得.3.动能的广义速度表达式动能的广义速度表达式质点系的动能质点系的动能 拉格朗日方程是关于广义

24、坐标的二阶微分方程组。应拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组。应用拉格朗日方程时用拉格朗日方程时,须先计算出以广义坐标和广义速度表示须先计算出以广义坐标和广义速度表示的系统的动能。为便于应用拉格朗日方程的系统的动能。为便于应用拉格朗日方程,一般可将质点系一般可将质点系的动能表示为广义速度的代数齐次式结构的形式。的动能表示为广义速度的代数齐次式结构的形式。.由由于于r是是广广义义坐坐标标及及时时间间的的函函数数,所所以以akj,bk,c也也是是广广义义坐坐标标及及时间的函数。时间的函数。令令.于是于是,动能动能T可表示为可表示为 再设再设 可见可见,T2是广义速度的二次齐次式是广义速度的二

25、次齐次式,T1是广义速度的一次齐是广义速度的一次齐次式，次式，T0是广义速度的零次齐次式。这样是广义速度的零次齐次式。这样,质点系的动能质点系的动能T可可看成是由以上三种不同次的广义速度的代数齐次式构成看成是由以上三种不同次的广义速度的代数齐次式构成.4.拉格朗日方程的初积分拉格朗日方程的初积分(首次积首次积分）分）求解二阶微分方程组的积分时常会遇到数学上的困难求解二阶微分方程组的积分时常会遇到数学上的困难,但对于保守系统但对于保守系统,在某些条件下在某些条件下,却很容易求得其初积分却很容易求得其初积分,使方使方程组的求解变得简单起来程组的求解变得简单起来.现在现在,我们在上一节阐明的动能的我

26、们在上一节阐明的动能的广义坐标表达式的基础上广义坐标表达式的基础上,来讨论拉格朗日方程的初积分。来讨论拉格朗日方程的初积分。由由于于势势能能函函数数 V 仅仅是是广广义义坐坐标标和和时时间间的的函函数数，因因此此它它是是广广义义速速度的零次函数。设度的零次函数。设 L2=T2，L1=T1，L0=T0-V拉格朗日函数可表示为拉格朗日函数可表示为 L=T V=T2+T1+T0 V显显然然，L2，L1和和L0分分别别是是广广义义速速度度的的二二次次齐齐次次函函数数、一一次次齐齐次次函数和零次齐次函数，得函数和零次齐次函数，得 L=L2+L1+L0.1广义能量积分广义能量积分初积分之一初积分之一将主动

27、力为有势力时的拉格朗日方程式乘以将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以 ，并将这，并将这N个个式子相加，得式子相加，得其中其中带入上式得：带入上式得：当拉格朗日函数不显含时间当拉格朗日函数不显含时间t（则（则 ），即），即时有：时有：带入上式得：带入上式得：.从而有：从而有：E 为积分常数为积分常数再根据欧拉齐次式定理再根据欧拉齐次式定理(P56)有：有：带入上式得：带入上式得：（2L2+L1）-（L2+L1+L0）=E即即L2-L0=E.进一步得到：进一步得到：这一结果称为以拉格朗日变量表示的这一结果称为以拉格朗日变量表示的广义能量积分广义能量积分，又称，又称雅可比积分雅可比积分。*由于约束

28、是非定常的，系统的机械能并不守恒。由于约束是非定常的，系统的机械能并不守恒。*为广义能量为广义能量系统称为广义保守系统。系统称为广义保守系统。.2能量积分能量积分如果约束是定常的如果约束是定常的，则，则可知可知 bk=0,c=0,因此得因此得 T1=0，T0=0，于是得于是得 T=T2广义能量积分变为广义能量积分变为这一结果称为以拉格朗日变量表示的这一结果称为以拉格朗日变量表示的能量积分能量积分，上式即为，上式即为保守系统的机械能守恒定律保守系统的机械能守恒定律表示式。这就是能量积分的物表示式。这就是能量积分的物理意义。理意义。.3循环积分循环积分初积分之二初积分之二拉格朗日函数一般是广义坐标

29、、广义速度和时间的函数。拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间的函数。若若 L 中中不不显显含含与与某某一一广广义义速速度度对对应应的的广广义义坐坐标标，则则该该坐坐标标称称为为循环坐标循环坐标，或称，或称可遗坐标可遗坐标。即：即：则：则：所以：所以：其中其中Cj 为积分常数。上式称为为积分常数。上式称为循环积分循环积分，或称，或称可遗积分可遗积分。当。当然，系统有几个循环坐标就有几个循环积分。然，系统有几个循环坐标就有几个循环积分。由于由于L=T-V，而且势能，而且势能 V 中不显含广义速度，因此中不显含广义速度，因此其中其中 称为广义动量称为广义动量.5.碰撞问题的拉各朗日方程碰撞问题

30、的拉各朗日方程由拉格朗日方程式来推导碰撞问题的拉各朗日方程由拉格朗日方程式来推导碰撞问题的拉各朗日方程以以 dt 乘上式乘上式,并对碰撞时间并对碰撞时间 t 积分积分,即即其中左边第一项其中左边第一项 表示在碰撞时间内广义动量表示在碰撞时间内广义动量发生的变化发生的变化.左边第二项是动能相对广义坐标的改变量左边第二项是动能相对广义坐标的改变量,是有限量是有限量.设它在碰撞时设它在碰撞时间内的最大值为间内的最大值为M,根据中值定理根据中值定理由于碰撞时间极短由于碰撞时间极短,所以所以与第一项相比可以略去与第一项相比可以略去.为广义力为广义力Qj 在碰撞时间内的在碰撞时间内的广义冲量广义冲量,以以

31、 表示表示,即即则则即碰撞过程中即碰撞过程中,广义动量的增量等于相应的广义冲量广义动量的增量等于相应的广义冲量.6.拉格朗日方程的应用举例拉格朗日方程的应用举例*应用拉格朗日方程解题的步骤：应用拉格朗日方程解题的步骤：1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；确定系统的自由度数（广义坐标数）；2.选取广义坐标；选取广义坐标；3.计算系统的动能计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；，且用广义速度来表示动能；4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；计算广义力（对保守系统可计算势能）；5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。6.求解运动微分方程，得到用广义坐标表示的系统的运求解运动微分方程，得到用广义坐标表示的系统的运动规律。动规律。.本章结束！本章结束！.作业（P79）：2-1,2-3,2-6,2-10,2-16,2-25,2-28,2-36.