正弦定理和余弦定理高考数学总复习高中数学课时训.doc

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1、 正弦定理和余弦定理1.（2008陕西理，3）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=，b=，B=120,则 a= .答案 2.（2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为 .答案 或3.下列判断中不正确的结论的序号是 .ABC中，a=7，b=14，A=30,有两解ABC中，a=30,b=25,A=150，有一解ABC中，a=6,b=9，A=45，有两解ABC中，b=9,c=10,B=60,无解答案 4.在ABC中，A=60，AB=5，BC=7，则ABC的面积为 .答案 105.（2008浙江理，13）在

2、ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA= .答案 例1 在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c=.当A=120时，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.例2 在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求ABC的面积.解 （1）由余弦定理知：cosB=，cosC=.

3、将上式代入=-得:=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B为三角形的内角，B=.（2）将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.例3 （14分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值.解 （1）cosA=-, 2分又A（0，180），A=120. 4分（2）由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc（当且仅当c=b时取等号），3-bc2bc(当且仅当c=b

4、时取等号）. 6分即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1. 8分（3）由正弦定理得：2R, 10分= 11分= 12分= 13分=. 14分例4 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a2sin（A-B）-sin（A+B）=b2-sin（A+B）-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin

5、2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.1.（1）ABC中，a=8,B=60,C=75,求b;(2)ABC中，B=30,b=4,c=8,求C、A、a.解 （1）由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.(2)由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,

6、a=4.2.已知ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化简得：tan=2.从而tanC=-.3.（2008辽宁理，17）在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=.（1）若ABC的面积等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.解 （1）由余弦定理

7、及已知条件，得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于，所以absinC=，所以ab=4.联立方程组 解得.（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时，A=，B=，a=，b=.当cosA0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得所以ABC的面积S=absinC=.4.已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断ABC的形状.解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8

8、cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=.0B,B=.a，b，c成等差数列，a+c=2b.cosB=，化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=，ABC是等边三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0，2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0，即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.cosB=,0B,B=,a,b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+

9、sin=，sinA+sin-cos=.化简得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC为等边三角形.一、填空题1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是 三角形.答案 等腰2.在ABC中，A=120,AB=5,BC=7，则的值为 .答案 3.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且面积SABC=（b2+c2-a2），则A= .答案 454.在ABC中，BC=2，B=，若ABC的面积为，则tanC为 .答案 5.在ABC中，a2-c2+b2=ab,则C= .答案 606.ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C= .答案 45或1357.在A

10、BC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=,c=,则B= .答案 8.某人向正东方向走了x千米，他右转150，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是 .答案 或2二、解答题9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若a=b,判断ABC的形状.（1）证明 因为a2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在ABC中，由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.（2）解 因为a=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30,A=2B=60,C=90.

11、所以ABC为直角三角形.10.（2008全国理，17）在ABC中，cosB=-，cosC=.（1）求sinA的值； （2）ABC的面积SABC=，求BC的长.解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得ABACsinA=. 由(1)知sinA=,故ABAC=65.又AC=AB,故AB2=65,AB=.所以BC=.11.已知a、b、c是ABC的三边长，关于x的方程ax2-2 x-b=0 (acb)的两根之差的平方等于4，ABC的面积S=10，c=7.（1）求角C；（2）求a，b的值

12、.解 （1）设x1、x2为方程ax2-2x-b=0的两根，则x1+x2=，x1x2=-.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=4.a2+b2-c2=ab.又cosC=,又C(0,180),C=60.(2)由S=absinC=10，ab=40. 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60).72=(a+b)2-240.a+b=13.又ab 由，得a=8,b=5.12.（2008广东五校联考）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大小；（2）求ABC的面积.解 （1）A+B+C=180,由4sin2-cos2C=,得4cos2-cos2C=,4-(2cos2C-1)=,整理,得4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=,0C180,C=60.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+b2-ab,7=(a+b)2-3ab，由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,SABC=absinC=6=.