高等代数CAIppt课件何为高等代数.ppt
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1、高等代数高等代数高等代数高等代数CAICAI课件课件课件课件 编编编编 (第四版第四版第四版第四版).第一章第一章 基本概念基本概念.第二章第二章 多项式多项式.第三章第三章 行列式行列式.第四章第四章 线性方程组线性方程组.第五章第五章 矩阵矩阵.第六章第六章 向量空间向量空间.第七章第七章 线性变换线性变换.第八章第八章 欧氏空间欧氏空间.第九章第九章 二次型二次型广东教育学院数学系广东教育学院数学系广东教育学院数学系广东教育学院数学系 代数与几何教研室代数与几何教研室代数与几何教研室代数与几何教研室1谢谢观赏2019-8-26 何谓高等代数大家知道,初等代数是研究数及代表数的文字的代数运
2、算(加法、减法、乘法、除法、乘方、开方)的理论和方法,也就是研究多项式(实系数与复系数)的代数运算的理论和方法.而多项式方程及多项式方程组的解(包括解的公式和数值解)的求法及其分布的研究恰为初等代数研究的中心问题,以这个中心问题为基础发展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数理论就是所谓的高等代数.2谢谢观赏2019-8-26 本课程的意义、内容及学习要求高等代数是大学数学中的一门重要基础课程,从内容上看,它是中学代数里有关内容的继续和提高。其中许多理论对于加深中学数学教材的理解有着直接的指导意义,因此作为一个合格的中学数学教师,学好这门课程是非常必要的。此外,高等代数的思想和方法已经渗透到数
3、学的各个领域,在数学分析、几何、计算技术等学科有广泛的应用,所以,学好这门课程也有助于学好其它数学课程,并且高代是考研的一门必考课程。3谢谢观赏2019-8-264谢谢观赏2019-8-26第一章第一章 基本概念基本概念*第一节第一节 集合集合*第二节第二节 映射映射*第三节第三节 数学归纳法数学归纳法*第四节第四节 整数的一些整除性质整数的一些整除性质*第五节第五节 数环和数域数环和数域5谢谢观赏2019-8-26 第一节第一节 集合及映射集合及映射章节名称:集合及映射教学目的与要求:了解集合的概念和表示,运算;理解并掌握映射的定义,合成,单射满射等的定义,掌握双射的等价刻画重点:证明映射是
4、单射、满射的方法6谢谢观赏2019-8-26一、一、集合集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合集合;常用大写字母常用大写字母A A、B B、C C 等表示集合;等表示集合;当当a a是集合是集合A A的元素时,就说的元素时,就说a a 属于属于A A,记作,记作:;当当a a不是集合不是集合A A的元素时,就说的元素时,就说a a不属于不属于A A,记作:,记作:1 1、概念、概念组成集合的这些事物称为集合的组成集合的这些事物称为集合的元素元素 用小写字母用小写字母a a、b b、c c 等表示集合的元素等表示集合的元素 7谢谢观赏2019-8
5、-26 关于集合没有一个严谨的数学定义,只是有关于集合没有一个严谨的数学定义,只是有一个描述性的说明集合论的创始人是一个描述性的说明集合论的创始人是1919世纪中期世纪中期德国数学家康托尔(德国数学家康托尔(G GCantorCantor),他把集合描述为:),他把集合描述为:所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合集合中的那些事物就称为集合的元素即,集合中的元中的那些事物就称为集合的元素即,集合中的元素具有:确定性、互异性、无序性素具有:确定性、互异性、无序
6、性.Remark:8谢谢观赏2019-8-26集合的表示方法:集合的表示方法:描述法描述法:给出这个集合的元素所具有的特征性质:给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法列举法:把构成集合的全部元素一一列举出来:把构成集合的全部元素一一列举出来.例例1例例2 N ,2Z 例例3 Mx|x具有性质具有性质P Ma1,a2,an9谢谢观赏2019-8-262 2、集合间的关系、集合间的关系 如果如果B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素,则称中的元素,则称B是是A的的子集子集,记作,记作,(读作,(读作B包含于包含于A)当且仅当当且仅当 空集空集:不含任何元素的集合,记为:不含任何元素的
7、集合,记为注意注意:,空集是任意集合的子集空集是任意集合的子集 如果如果A、B两集合含有完全相同的元素,则称两集合含有完全相同的元素,则称 A与与 B相等相等,记作,记作AB.AB当且仅当当且仅当 且且 10谢谢观赏2019-8-263 3、集合间的运算、集合间的运算 交交:;并并:显然有,显然有,1、证明等式、证明等式:证:显然,证:显然,又又 ,从而从而,例题:例题:故等式成立故等式成立11谢谢观赏2019-8-262、已知、已知 ,证明:证明:又因又因 ,又因又因,证证:1)此即,此即,因此无论哪一种情况,都有因此无论哪一种情况,都有 .此即,此即,但是但是12谢谢观赏2019-8-26
8、二、映射二、映射设设M、M是给定的两个非空集合,如果有是给定的两个非空集合,如果有 一个对一个对应法则应法则,通过这个法则,通过这个法则对于对于M中的每一个元素中的每一个元素a,都有都有M中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素a与它对应与它对应,则称则称 为为称称 a为为 a 在映射在映射下的下的象象,而,而 a 称为称为a在映射在映射下的下的M到到M的一个的一个映射映射,记作,记作:或或原象原象,记作,记作(a)a 或或1、定义、定义13谢谢观赏2019-8-26 设映射设映射 ,集合集合称之为称之为M在映射在映射下的下的象象,通常记作,通常记作 Im 集合集合M 到到M 自身的映射称为自
9、身的映射称为M 的一个的一个变换变换 显然,显然,注注 14谢谢观赏2019-8-26例例4判断下列判断下列M 到到M 对应法则是否为映射对应法则是否为映射 1)Ma,b,c、M1,2,3,4:(a)1,(b)1,(c)2:(a)1,(b)2,(c)3,(c)4:(b)2,(c)4 (不是不是)(是是)(不是不是)2)MZ,MZ,:(n)|n|,:(n)|n|1,(不是不是)(是是)15谢谢观赏2019-8-26:(a)a0,4)MP,M ,(,(P为数域)为数域):(a)aE,(E为为n级单位矩阵)级单位矩阵)5)M、M为任意两个非空集合,为任意两个非空集合,a0是是M中的一个中的一个固定元
10、素固定元素.(是是)(是是)6)MMPx(P为数域)为数域):(f(x)f(x),(是是)3)M ,MP,(P为数域)为数域):(A)|A|,(是是)16谢谢观赏2019-8-26例例5M是一个集合,定义是一个集合,定义I:I(a)a,即即 I 把把 M 上的元素映到它自身,上的元素映到它自身,I 是一个映射,是一个映射,例例6 任意一个在实数集任意一个在实数集R上的函数上的函数 yf(x)都是实数集都是实数集R到自身的映射,即,函数可以看成是到自身的映射,即,函数可以看成是称称 I 为为 M 上的上的恒等映射恒等映射或或单位映射单位映射 映射的一个特殊情形映射的一个特殊情形 17谢谢观赏20
11、19-8-262 2、映射的乘积、映射的乘积设映射设映射 ,乘积乘积定义为:定义为:(a)(a)即相继施行即相继施行和和的结果,的结果,是是 M 到到 M 的一个的一个 映射映射 对于任意映射对于任意映射 ,有,有 设映射设映射,有有注:注:注:注:18谢谢观赏2019-8-263 3、映射的性质、映射的性质:设映射设映射1)若)若,即对于任意,即对于任意,均存在,均存在(或称(或称 为为映上的映上的););2)若)若M中不同元素的象也不同,即中不同元素的象也不同,即(或(或),),则称则称是是M到到M的一个的一个单射单射(或称(或称为为11的的););3)若)若既是单射,又是满射,则称既是单
12、射,又是满射,则称为为双射双射,,使,使 ,则称,则称是是M到到M的一个的一个满射满射(或称(或称为为 11对应对应)19谢谢观赏2019-8-26例例7判断下列映射的性质判断下列映射的性质1)Ma,b,c、M1,2,3:(a)1,(b)1,(c)2(既不单射,既不单射,也不是满射也不是满射):(a)3,(b)2,(c)12)M=Z,MZ,:(n)|n|1,(是满射,但不是单射是满射,但不是单射)3)M,MP,(,(P为数域)为数域):(A)|A|,(是满射,但不是单射是满射,但不是单射)(双射双射)20谢谢观赏2019-8-264)MP,M P为数域为数域,E为为n级单位矩阵级单位矩阵:(a
13、)aE,(是单射,但不是满射是单射,但不是满射):(a)a0,(既不单射,也不是满射既不单射,也不是满射)6)MMPx,P为数域为数域:(f(x)f(x),(是满射,但不是单射是满射,但不是单射)7)M是一个集合,定义是一个集合,定义I:I(a)a,8)M=Z,M2Z,:(n)2n,(双射双射)(双射双射)5)M、M为任意非空集合,为固定元素为任意非空集合,为固定元素 21谢谢观赏2019-8-26对于有限集来说,两集合之间存在对于有限集来说,两集合之间存在11对应对应的充要条的充要条 件是它们所含元素的个数相同;件是它们所含元素的个数相同;对于有限集对于有限集A及其子集及其子集B,若,若BA
14、(即(即B为为A的真子集),则的真子集),则 A、B之间不可能存在之间不可能存在11对应;对应;但是对于无限集未必如此但是对于无限集未必如此.注:注:如例如例7中的中的8),),是是11对应,但对应,但2Z是是Z的真子集的真子集 M=Z,M2Z,:(n)2n,22谢谢观赏2019-8-264 4、可逆映射、可逆映射定义定义定义定义:设映射:设映射若有映射若有映射使得使得则称则称为为可逆映射可逆映射,为为的的逆映射逆映射,若若为可逆映射,则为可逆映射,则1也为可逆映射,且也为可逆映射,且 (1)1注:注:为可逆映射,为可逆映射,若,若的逆映射是由的逆映射是由唯一确定的唯一确定的记作记作123谢谢
15、观赏2019-8-26 为可逆映射的充要条件是为可逆映射的充要条件是为为11对应对应证:证:若映射若映射为为11对应,则对对应,则对均存在唯一的均存在唯一的,使,使(x)y,作对应作对应 即即;即即为可逆映射为可逆映射 则则是一个是一个M到到M的映射的映射,且对且对 24谢谢观赏2019-8-26即即,所以所以为满射为满射.其次,对其次,对,则,则 即即为单射为单射.所以所以为为11对应对应反之,设反之,设 为可逆映射,则为可逆映射,则 25谢谢观赏2019-8-26练习:练习:1.找一个找一个R到到R的的11对应对应,规定,规定解:解:则则 是是R到到R的一个映射的一个映射.若若,则,则,是
16、单射是单射,存在,存在,使,使故故 是是11对应对应 是满射是满射 26谢谢观赏2019-8-262、令、令,问:,问:1)g 是不是是不是R到到R的双射?的双射?g 是不是是不是 f 的逆映射?的逆映射?2)g是不是可逆映射?若是的话,求其逆是不是可逆映射?若是的话,求其逆 解:解:1)g是是R到自身的双射到自身的双射 ,若,若 ,则,则 ,g是单射是单射 并且并且 ,即,即g是满射是满射 又又 ,g不是不是 f 的逆映射的逆映射 事实上,事实上,2)g是可逆映射是可逆映射27谢谢观赏2019-8-263、设映射、设映射,证明:,证明:1)如果)如果 h 是单射,那么是单射,那么 f 也是单
17、射;也是单射;2)如果)如果 h 是满射,那么是满射,那么 g 也是满射;也是满射;3)如果)如果 f、g 都是双射,那么都是双射,那么 h 也是双射,并且也是双射,并且这与这与h是单射矛盾,是单射矛盾,f 是单射是单射证:证:1)若)若 f 不是单射,则存在不是单射,则存在 于是有于是有28谢谢观赏2019-8-262)h 是满射,是满射,即,即,g 是满射是满射又又3),因为,因为 g 是满射,存在是满射,存在,使使又因为又因为 f 是满射,存在,使是满射,存在,使h是满射是满射29谢谢观赏2019-8-26若若,由于,由于 f 是单射,有是单射,有又因为又因为 g 是单射,有是单射,有即
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