数值分析第五版章课件.ppt

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1、数值分析第第5 5版版 编编2023/2/21第1章 数值分析与科学计算引论数值分析与科学计算引论数值分析研究对象、作用与特点数值分析研究对象、作用与特点数值计算的误差数值计算的误差误差定性分析与避免误差危害误差定性分析与避免误差危害数值计算中算法设计的技术数值计算中算法设计的技术数学软件数学软件2023/2/22第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件1 1 研究对象研究对象 用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及

2、软件实现 实际问题实际问题 数学模型数学模型 数值计算方法数值计算方法 程序设计（数学软件）程序设计（数学软件）上机计算求出结果上机计算求出结果应用数学应用数学计算数学即数值分析计算数学即数值分析数值分析（计算方法）数值分析（计算方法）的研究对象的研究对象(理论与计算结合理论与计算结合)插值与函数逼近（插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（）数值微分与数值积分（4）非线性方程数值解（非线性方程数值解（7）数值线性代数（）数值线性代数（5、6、8）常微与常微与偏微分方程的数值解偏微分方程的数值解（9）等）等1.1 1.1 数值分析的对象、作用与特点数值分析的对象、作用与特点2023/2/2

3、3第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件例例 考虑线性方程组数值解问题考虑线性方程组数值解问题相关理论与精确解法相关理论与精确解法根据方程的特点研究算法及相关理论根据方程的特点研究算法及相关理论纯数学纯数学计算数学计算数学3 数值分析特点数值分析特点 面向计算机提供有效算法；面向计算机提供有效算法；TSP问题问题 可靠的理论分析（精度、收敛、稳定）可靠的理论分析（精度、收敛、稳定）;好的计算复杂性（时、空）好的计算复杂性（时、空）;阿基米德、刘徽、祖冲之阿基米德、刘徽

4、、祖冲之 数值实验数值实验 B.C.3 A.D.3 A.D.52 数值分析作用数值分析作用 科学研究的手段：科学理论、科学实验与科学研究的手段：科学理论、科学实验与科学计算科学计算2023/2/24第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件1.2 1.2 数值计算的误差数值计算的误差1 误差分类误差分类模型误差模型误差:数学模型数学模型 实际问题实际问题观测误差观测误差:由观测产生由观测产生截断误差截断误差/方法误差方法误差:近似解近似解 精确解精确解舍入误差舍入误差:计

5、算机字长的限制计算机字长的限制(不讨论不讨论)2 误差与有效数字误差与有效数字记记x为准确值，为准确值，x*为为 x的一个近似值的一个近似值 定义定义1 称称 为近似值为近似值 的绝对误差，简称的绝对误差，简称误差误差。强近似值强近似值:当当弱近似值弱近似值:当当2023/2/25第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件误差限误差限:误差绝对值的上界误差绝对值的上界(不能完全反映近似值的好坏不能完全反映近似值的好坏)相对误差相对误差:相对误差限相对误差限:(可反映出近似

6、程度的好坏可反映出近似程度的好坏)定义定义2 有效数字有效数字 若近似值若近似值 的误差限是某一位的半个单位，该位到的误差限是某一位的半个单位，该位到 的的 第一位非零数第一位非零数 字共有字共有n位，就说位，就说 有有n位有效数字。位有效数字。2023/2/26第1章 数值分析与科学计算引论注注:有效位数与小数点后有多少位无关；有效位数与小数点后有多少位无关；m相同情况下，有效位数越多，误差限越小；相同情况下，有效位数越多，误差限越小；相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。研究对研究对象象作用特点作用特点数值计

7、算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件2023/2/27第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件3 数值运算的误差估计数值运算的误差估计2023/2/28第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件1.3 1.3 误差定性分析及避免误差危害误差定性分析及避免误差危害概率分析法概率分析法 向后

8、误差分析法向后误差分析法 区间分析法区间分析法1.病态问题与条件数病态问题与条件数病态问题病态问题输入输入(微小的扰动微小的扰动)输出输出(相对误差很大相对误差很大)条件数条件数2023/2/29第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件2.算法的数值稳定性算法的数值稳定性定定义义3 一一个个算算法法如如果果输输入入数数据据有有误误差差，而而在在计计算算过过程程中中舍舍入入误误差差不不增增长长，则则称称此此算算法法是是数数值值稳稳定定的的，否否则则称称此此算算法法为为不不

9、稳稳定定 的。的。例例1.1：P.2023/2/210第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件2023/2/211第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件3.误差危害的避免误差危害的避免（1）避免除数的绝对值远远小于被除数绝对值的除法；）避免除数的绝对值远远小于被除数绝对值的除法；（2）避免两相近数相减，引起有效数字严重损失；）避免两相近数相减，

10、引起有效数字严重损失；（3）防止大数吃小数；防止大数吃小数；（4）简化计算简化计算 步骤，减少运算次数；步骤，减少运算次数；秦九韶、秦九韶、Horner（5）数值稳定性。数值稳定性。2023/2/212第1章 数值分析与科学计算引论研究对研究对象象作用特点作用特点数值计算数值计算误差误差误差分析误差分析避免危害避免危害数值计算数值计算算法设计算法设计数学软件数学软件算法设计的三种基本技术算法设计的三种基本技术（1）化大为小的缩减技术）化大为小的缩减技术 Zeno悖论悖论 古希腊哲学家古希腊哲学家 结绳记数（结绳记数（13）10=（1101）2（2）化难为易的校正技术）化难为易的校正技术 用四则

11、运算计算开方用四则运算计算开方（3）化粗为精的松弛技术）化粗为精的松弛技术1.1.数值计算中算法设计的技术数值计算中算法设计的技术周易.系辞下说：“上古结绳而治，后世圣人（伏羲）易之以书契“。2023/2/213第1章 数值分析与科学计算引论谢谢谢谢!第一章习题第一章习题1,5,12,12023/2/214第1章 数值分析与科学计算引论第2章 插值法插值法引言引言拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值）插值均差与牛顿（均差与牛顿（Newton）插值）插值埃尔米特（埃尔米特（Hermite）插值）插值分段低次插值分段低次插值三次样条插值三次样条插值2023/2/215第2章 插值法引言引言拉

12、格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2.1 2.1 引言引言 在科学计算中经常要用较简单的函数来逼近较复杂的函数。按函数逼近问题提法的不同，通常有插值、函数逼近及曲线拟合等三种问题。（1）插值 设函数在点上的函数值分别为，求一简单函数 ，使 （2.1）0 0 2023/2/216第2章 插值法称点为插值节点，区间为插值区间，为被插值函数，为的插值函数。引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 由于多项式具有结构简单，数值计算和理论分析都很方便

13、的优点，因此通常取 为多项式。相应的插值法称为多项式插值。2023/2/217第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值（2）函数逼近 设 为定义在区间 上的某类函数构成的线性空间，为 的子集，对于 ，求 ，使 与 的差在某种度量意义下最小，这就是函数逼近问题。通常取为连续函数空间，而 通常是多项式、有理函数或三角多项式函数等。另一种是2-范数对应的函数逼近分别称为最佳一致逼近和最佳平方逼近。常用的度量标准有两种：一种是-范数2023/2/218第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿

14、插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值（3）曲线拟合 设已知函数 的数据点为，在某一函数类中求函数其中为待定系数，使在节点 处的误差的平方和最小。2023/2/219第2章 插值法引言引言拉格朗拉格朗日插值日插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2.2 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值n次插值多顶式：次插值多顶式：1 线性插值（一次）线性插值（一次）y O x xk xk+1 yk yk+12023/2/220第2章 插值法引言引言拉格朗拉格朗日插值日插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次

15、分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 x y O xk xk+1 1 利用函数的零点及一次多项式性质，由待定系数法可求得2023/2/221第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2 抛物插值（二次）抛物插值（二次）由待定系数法可求得：由待定系数法可求得：1 y O x2023/2/222第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2023/2/223第2章 插值法3 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式将线

16、性与抛物型插值推广到一般的情形将线性与抛物型插值推广到一般的情形引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2023/2/224第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2023/2/225第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值证明 设所求的插值多项式为 则由插值条件得关于 的线性方程组从而线性方程组有唯一解。这就证明了 的存在唯一性

17、。2023/2/226第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值4 插值余项与误差估计插值余项与误差估计2023/2/227第2章 插值法例2.1 已知 （1）用线性插值及抛物插值计算 的近似值；（2）并问它们各有几位有效数字；（3）求抛物插值的误差。解 先用线性插值计算，取 ，由线性插值公式得 所以而因此用线性插值所得 的近似值具有3位有效数字。引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2023/2/228第2章 插值法引言

18、引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值再用抛物插值计算，取由抛物插值公式得：所以因此用抛物插值所得 的近似值具有4位有效数字。线性插值仅用两个节点上的信息，精度自然较低，而抛物插值用了三个节点上的信息，精度通常会有所提高。2023/2/229第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值这又一次说明了用抛物插值所得的近似值具有4位有效数字。2023/2/230第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃

19、尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2.3 2.3 均差与牛顿插值均差与牛顿插值一阶均差一阶均差:二阶均差二阶均差:K阶均差阶均差:承袭性承袭性1 均差及其性质均差及其性质2023/2/231第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2 牛顿插值公式牛顿插值公式可克服可克服Lagrange插值法插值法无承袭性的缺点。无承袭性的缺点。2023/2/232第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插

20、值插值差商表一阶差商二阶差商三阶差商2023/2/233第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值一阶差商二阶差商例2.2解 的表达式中前两项为线性插值，加上第三项后为二次插值，与前例比较结果是相同的。2023/2/234第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 前面讨论插值问题只提函数值条件，没有导数条件。有些实际问题不但要求插值函数与被插值函数在节点上函数值相同，即“过点”，而且要求导数值也相同，即“相切”

21、，有时甚至要求高阶导数也相同。满足这种既要求函数值相同也要求导数值相同的插值多项式称为Hermite插值多项式。函数值的个数与导数值的个数可以不等也可以相等，下面分别用基于承袭性方法及基函数方法来讨论。2.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值2023/2/235第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 先考虑函数值的个数与导数值的个数不等的情形，以一个具体问题为例进行讨论。问题的提法为已知 ，求二次函数 ，使 这里给出了三个条件，可唯一地确定一个次数不超过二次的多项式。由于前两个条件可确定一个一次函数

22、，正是Lagrange插值函数 ，因此可令从而 由第三个条件得2023/2/236第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 再考虑函数值的个数与导数值的个数相等且具有 个节点的一般情形。2023/2/237第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2023/2/238第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值定理 满足插

23、值条件 的多项式 是存在唯一的。证明 存在性的证明已由前面的构造而得，下面证明唯一性。设 也是满足插值条件且次数不超过2n1的多项式，令。2023/2/239第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 与Lagrange插值余项定理类似地有下列Hermite插值余项定理，其证明方法也相似。定理2023/2/240第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 2023/2/241第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日

24、插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值例2.3 求满足条件 且次数不超过三的Hermite插值多项式解例2.4证：2023/2/242第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2.5 2.5 分段低次插值分段低次插值 插值多项式的次数是随着插值节点的增加而升高的，那么插值多项式的次数越高是否意味着逼近效果越好呢？2023/2/243第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样

25、条三次样条插值插值1 分段线性插值分段线性插值 用折线来逼近曲线。用折线来逼近曲线。2023/2/244第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2023/2/245第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值定理证明2023/2/246第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2 分段三次分段三次Hermite插值插值20

26、23/2/247第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2023/2/248第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值2.6 2.6 三次样条插值插值三次样条插值插值2023/2/249第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 由定义知在每个小区间上为次数不超过三次的多项式，有4个待定系数，共有n个小区间，故共有4n个

27、待定系数。1）已知两端点的一阶导数值，即2）已知两端点的二阶导数值，即3）S(x)为周期的周期函数时 求S(x)的方法有多种，现以S(x)的二阶导数表达S(x)为例。2023/2/250第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值 2023/2/251第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值对第一、第二种边界条件可得方程组对第三种边界条件可得方程组2023/2/252第2章 插值法引言引言拉格朗日拉格朗日插值插值

28、牛顿插值牛顿插值埃尔米特埃尔米特插值插值分段低次分段低次插值插值三次样条三次样条插值插值例2.4 给定数据表如下：012301230000求满足边界条件 的三次样条插值函数2023/2/253第2章 插值法第3章 函数逼近与曲线拟合函数逼近与曲线拟合函数逼近基本概念函数逼近基本概念正交多项式正交多项式最佳一致逼近最佳一致逼近最佳平方逼近最佳平方逼近曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法2023/2/254第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘3.1 3.1 函数逼近基本概念函数逼近基本概念

29、1 函数逼近与函数空间函数逼近与函数空间 函数逼近函数逼近:对函数类对函数类A中给定的函数中给定的函数f(x)A,要求在另要求在另一类简单的便于计算的函数类一类简单的便于计算的函数类B中求函数中求函数p(x)B,使使p(x)与与f(x)的误差在某种度量意义下最小。的误差在某种度量意义下最小。一般一般A Ca,b,B通常通常为多项式、有理函数和分段低次多项式。为多项式、有理函数和分段低次多项式。基本概念基本概念:线性相关、线性相关、线性无关、线性无关、基、坐标、基、坐标、n维空间、无限维空间。维空间、无限维空间。2023/2/255第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最

30、佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/256第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2 范数与赋范空间范数与赋范空间 2023/2/257第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘3 内积与内积空间内积与内积空间2023/2/258第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲

31、线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘内积空间内积空间X上可引入范数上可引入范数 满足范数的三满足范数的三 条性质条性质2023/2/259第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘3.2 3.2 正交多项式正交多项式1 正交函数族与正交多项式正交函数族与正交多项式2023/2/260第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/261第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项

32、式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘 2023/2/262第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2 勒让德（勒让德（Legendre）多项式多项式2023/2/263第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘性质1.Legendre多项式 在区间 上带权 正交，并且2023/2/264第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最

33、佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘3 切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）多项式多项式2023/2/265第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘性质 2023/2/266第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘4 其它常用正交多项式其它常用正交多项式1.第二类第二类Chebyshev多项式多项式2.拉盖尔（拉盖尔（Laguerre）多项式）多项

34、式3.Hermite多项式多项式2023/2/267第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘3.3 3.3 最佳一致逼近最佳一致逼近2023/2/268第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/269第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘3.4 3.4 最佳平方逼近最佳平方逼近问

35、题可转化为求问题可转化为求法方程法方程1 概念与计算概念与计算2023/2/270第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/271第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/272第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘 当n较大时，法方程的系数矩阵H是严重病态的，所以通

36、常采用正交函数特别是用正交多项式函数做基，以避免病态方程组的求解问题。2023/2/273第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2 用正交函数作最佳平方逼近用正交函数作最佳平方逼近2023/2/274第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/275第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘

37、最小二乘2023/2/276第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/277第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/278第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘3.5 3.5 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法1 最小二乘及其计算最小二乘及其计算2023/2/

38、279第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/280第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/281第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/282第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼

39、近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/283第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘113128.5864.545432143210 2023/2/284第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘,2023/2/285第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘5.03.52.01.60.

40、654321432101.60491.25280.69310.4700-0.510854321432102023/2/286第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2 用正交函数作最小二乘拟合用正交函数作最小二乘拟合2023/2/287第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/288第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/289第3章 函数逼近与曲线拟合基本概念基本概念正交正交多项式多项式最佳最佳一致逼近一致逼近最佳最佳平方逼近平方逼近曲线拟合曲线拟合最小二乘最小二乘2023/2/290第3章 函数逼近与曲线拟合此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！