第六节多元函数的极值及其求法优秀PPT.ppt
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1、第六节多元函数的极值及其求法第一页,本课件共有37页【实例】【实例】某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1 1元,元,外地牌子每瓶进价外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖元,外地牌子的每瓶卖y元,则每天可卖出元,则每天可卖出70 5x+4y瓶本地牌子瓶本地牌子的果汁的果汁,80+6x 7y瓶外地牌子的果汁,问:店主每天以什么价瓶外地牌子的果汁,问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?格卖两种牌子的果汁可取得最大收益?每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求求最大
2、收益即为求二元函数的最大值二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出进价:进价:1元元售价:售价:x元元进价:进价:1.2元元售价:售价:y 元元收益:收益:x 1元元/瓶瓶收益:收益:y 1.2元元/瓶瓶第二页,本课件共有37页播放播放二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值【实例实例】1 1、【二元函数极值的定义二元函数极值的定义】第三页,本课件共有37页【二元函数极值的定义二元函数极值的定义】【例【例1】椭圆抛物面椭圆抛物面(1)第四页,本课件共有37页(2)(3)【例【例2】【例【例3】圆锥面圆锥面双曲抛物面(马鞍面)双曲抛物面(马鞍面)第五页,本课件共有37页2、【多元函
3、数取得极值的条件多元函数取得极值的条件】【证证】第六页,本课件共有37页仿照一元函数,凡能使一阶偏导数仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零同时为零的点,均的点,均称为函数的称为函数的驻点驻点.驻点驻点可偏导函数极值点可偏导函数极值点【问题】【问题】如何判定一个驻点是否为极值点?如何判定一个驻点是否为极值点?【注意】【注意】驻点驻点极值点极值点举例举例第七页,本课件共有37页二元函数极值的判定定理二元函数极值的判定定理第八页,本课件共有37页【解】【解】(此为隐函数的极值问题)(此为隐函数的极值问题)第九页,本课件共有37页第十页,本课件共有37页第十一页,本课件共有37页(1)有界闭区域上的
4、连续函数有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法求最值的一般方法 将函数在将函数在D内内的所有驻点处的函数值及在的所有驻点处的函数值及在D的的边界边界上上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值者即为最小值.与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值数的最大值和最小值.3、【二元函数的最值二元函数的最值】分为分为(1)有界闭区域上的连续函数求最值有界闭区域上的连续函数求最值(2)实际问题求最值实际问题求最值第十二页,本课件共有37页【解】【解】如图如图,
5、第十三页,本课件共有37页第十四页,本课件共有37页【解】【解】由由【例【例6】(夹逼准则夹逼准则)第十五页,本课件共有37页(2)实际问题求最值)实际问题求最值实际问题中,若据问题的性质,知道最值一定在实际问题中,若据问题的性质,知道最值一定在D的的内部取得,而在内部取得,而在D内只有一个驻点,则可断定该驻点处内只有一个驻点,则可断定该驻点处的函数值就是实际所求的最值的函数值就是实际所求的最值【例例7】某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为 2 m3 的有盖长方体水箱。的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸,才能用料最省问长、宽、高各取怎样的尺寸,才能用料最省.【解】【解
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