《初中数学竞赛精品标准教程及练习58:观察法.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学竞赛精品标准教程及练习58:观察法.doc(4页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、 初中数学竞赛精品标准教程及练习(58)观察法一、内容提要数学题可以猜测它的结论(包括经验归纳法),但都要经过严谨的论证,才能确定是否正确.观察是思维的起点,直觉是正确思维的基础.观察法解题就是用清晰的概念,直觉的思维,根据题型的特点,得出题解或猜测其结论,再加以论证.敏锐的洞察力来自对概念明晰的理解和熟练的掌握.例如:用观察法写出方程的解,必须明确方程的解的定义,掌握方程的解与方程的系数这间的关系. 一元方程各系数的和等于零时,必有一个解是1;而奇次项系数的和等于偶次项系数的和时,则有一个根是1;n次方程有n个根,这样才能判断是否已求出全部的根,当根的个数超过方程次数时,可判定它是恒等式.对
2、题型的特点的观察一般是注意已知数据,式子或图形的特征,分析题设与结论,已知与未知这间的联系,再联想学过的定理,公式,类比所做过的题型,试验以简单的特例推导一般的结论,并探求特殊的解法.选择题和填空题可不写解题步骤,用观察法解答更能显出优势.二、例题例1. 解方程:x+=a+.解:方程去分母后,是二次的整式方程,所以最多只有两个实数根.根据方程解的定义,易知 x=a;或x=.观察本题的特点是:左边x, 右边a.(常数1相同).可推广到:若方程f(x)+(am0),则f(x)=a; f(x)=.如:方程x2+, x2+3x (8=10).都可以用上述方法解.例2. 分解因式 a3+b3+c33ab
3、c.分析:观察题目的特点,它是a,b,c的齐三次对称式.若有一次因式,最可能的是a+b+c;若有因式a+bc,必有b+ca, c+ab;若有因式a+b, 必有b+c, c+a; 若有因式bc,必有ca, ab.解:用a=bc 代入原式的值为零, 有因式a+b+c.故可设a3+b3+c33abc=(a+b+c)m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca).比较左右两边a3的系数,得m=1, 比较abc的系数, 得 n=1.a3+b3+c33abc=(a+b+c) (a2+b2+c2abbcca)例3. 解方程.分析:观察题目的特点猜想用自身迭代验证:x=.解:x=, 可化为x2x3=0, x=
4、. 经检验是增根.原方程只有一个实数根x=. 例4. 求证:.证明:把等式看作是关于x的二次方程,最多只有两个实数根;但x=a, x=b, x=c,都能使等式成立,且知abc,这样,方程 就有三个解;方程的解的个数,超过了方程的次数.原等式是恒等式. 证毕.例5. 选择题 (只有一个正确的答案) 1. 四边形ABCD内接于圆,边长依次为25,39,52,60,那么这个圆的直径长等于() (A)66.(B)65.(C)63.(D)62.2. 直角梯形ABCD的垂腰AB=7,两底AD=2,BC=3,如果边AB上的一点P,使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似. 这样的点P有
5、几个?答:( )(A) 1个. (B) 2个 . (C) 3个. (D) 4个.解:1. 选 (B); 2. 选 ( C).1. 观察数字的特征: 256065=51213 ; 395265=345 都是勾股数.直径等于65,故选( B )2. 观察 相似比可以是或.设AP为x, 则;或.解得:x=2.8 , x=1, 或 x=6 . 共有三解. 故选(C).三、练习58一. 填空题1. 三角形的三边长分别为192,256,320.则最大角等于_度.2. 化简 48(72+1)(74+1)(78+1)(7+1)+1=_.3. 方程x2(4+)x+3+=0 的两个解是_.4. 方程x3+2x2+
6、3x+2=0的实数根是_.5. 方程的实数解是_.6. 若x,y为实数且x+y=a, xy=b,则x2+y2=_.7. 方程的解是_. 8. 写出因式分解的结果: x37x2+36=_. (a+bc)3(a3+b3+c3)=_. 9. 方程(ax)3+(bx)3=(a+b2x)3的三个解是_,_,_.10. 方程组 的实数解是:11. 有一个五位正奇数x,将x的所有2都换成5,所有5都换成2,其他的数字不变,得到一个新五位数记作y,若x,y满足等式y=2(x+1),那么x是_12. 如左图试问至少要用几种颜色,才能给图中的各边正常着色. (正常着色是指使图中有公共顶点的相邻的边涂上不同的颜色)
7、 二. 选择题(只有一个正确的答案)1. 四边形的边 a, b, c, d, 满足等式 a4+b4+c4+d4=4abcd,那么这个四边形一定是 ( )(A) 矩形. (B) 菱形. (C) 等腰梯形. (D)不等边的四边形.2. 当k0时,函数y=kx+k与y=图象在同一直角坐标系内是( )3.实数a和b,ab0, a+b0, ab0,则a, b的大体位置是( ) 4. a=1+, b=1+, a, b都不等于0,那么 b= ( ). (A) a. (B) a. (C) a1. (D) 1a.5.a,b,c中至少有一个是零,可表示为( )(A) a+b+c0 (B) abc0. (C) a2+b2+c20. (D) ab+ca+bc0.三. 解方程:1.x2+2x+;2.;3.四. 求证:.五. 已知:x4+x3+x2+x+1=0.求:x1989+x1988+x1987+x1986的值.练习58参考答案:一.1.902.73.1,34.15.2 6. a22b,当a22b0时无解7.2,28.3(a+b)(b+c)(c+a)9. a,b, 10. x=y=z=w=二.BCCAC三.3,1,1,52(增根1)四.(仿例4)五.已知两边乘以x-1得x5=1, 原式=x1985(x4+x3+x2+x)=1(-1)=-1
限制150内