中值定理与导数的应用 31 中值定理32 罗必达法则.ppt

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1、第三章 中值定理与导数的应用 3.1 中值定理3.2 罗必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值3.5 函数的最大值和最小值3.6 曲线的凹凸与拐点3.7 函数图像的描绘3.8 曲率下页下页3.1 中值定理中值定理1.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理2.拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)定理定理3.柯西柯西（Cauchy）定理定理首页首页上页上页下页下页3.1 中值定理中值定理1.罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理定理定理1（罗尔定理）如果函数（罗尔定理）如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；(

2、3)f(a)=f(b),则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点使得使得首页首页上页上页下页下页例例1 验证函数验证函数定理的条件，并求出使定理的条件，并求出使的的值值.解解所以，在所以，在内，使得内，使得的的有两个有两个:3.1 中值定理中值定理上满足罗尔上满足罗尔首页首页上页上页下页下页2.拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)定理定理定理定理2（拉格朗日定理）（拉格朗日定理）如果函数如果函数f(x)满足：满足：(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导；内可导；则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点使得使得3.1 中值定理中值定理首页首页上页

3、上页下页下页格朗日定理的条件，并求格朗日定理的条件，并求 的值的值.例例2 验证函数验证函数在区间在区间0，1上满足拉上满足拉解解拉格朗日定理拉格朗日定理（舍）（舍）3.1 中值定理中值定理所以在区间0，1上连续；首页首页上页上页下页下页推论推论1如果函数如果函数f(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒为内的导数恒为 零，则零，则f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数内是一个常数.推论推论2如果函数如果函数f(x)和和g(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导,且且则则在区在区间间(a,b)内两个内两个函数至多相差一个常数，即函数至多相差一个常数，即 其中其中C为某个常数为某个常数.3.1

4、 中值定理中值定理（用拉格朗日定理证）首页首页上页上页下页下页则在则在(a,b)内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得3.柯西柯西（Cauchy）定理定理定理定理3（柯西定理）如果函数（柯西定理）如果函数f(x)和和g(x)满足满足:(1)在闭区间在闭区间a,b上连续；上连续；(2)在开区间在开区间(a,b)内可导，且内可导，且3.1 中值定理中值定理首页首页上页上页下页下页1.未定式未定式 型的极限求法型的极限求法 3.2 罗必达法则罗必达法则2.未定式未定式 型的极限求法型的极限求法 3.其他类型的未定式极限的求法其他类型的未定式极限的求法首页首页上页上页下页下页可以除外），可以除外），(

5、2)在点在点的某邻域内（点的某邻域内（点1.未定式未定式 型的极限求法型的极限求法 3.2 罗必达法则罗必达法则罗必达法则罗必达法则1 如果函数如果函数f(x)和和g(x)满足下述条件：满足下述条件：(1)均存在且均存在且(3)存在（或为无穷大），则有存在（或为无穷大），则有首页首页上页上页下页下页例例1 求求解解例例2 求求 解解3.2 罗必达法则罗必达法则首页首页上页上页下页下页例例3求求解解3.2 罗必达法则罗必达法则首页首页上页上页下页下页的某邻域内（点的某邻域内（点可以除外），可以除外），2.未定式未定式 型的极限求法型的极限求法 罗必达法则罗必达法则2如果函数如果函数f(x)和和g

6、(x)满足下述条件：满足下述条件：(1)(2)在点在点均存在且均存在且(3)存在（或为无穷大），则有存在（或为无穷大），则有3.2 罗必达法则罗必达法则首页首页上页上页下页下页例例4 求求解解3.2 罗必达法则罗必达法则首页首页上页上页下页下页例例5 求求解解例例6解解求求3.2 罗必达法则罗必达法则注意注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.首页首页上页上页下页下页例例7 求求解解例例8求求解解方法失效方法失效 3.2 罗必达法则罗必达法则首页首页上页上页下页下页3.其他类型的未定式极限的求法其他类型的未定式极限的求法例例9 求求解解例例10 求求解解

7、3.2 罗必达法则罗必达法则首页首页上页上页下页下页例例11求求解解3.2 罗必达法则罗必达法则首页首页上页上页下页下页3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法设函数设函数f(x)在区间在区间(a,b)内可导内可导.定理定理(1)如果在如果在(a,b)内，内，则函数，则函数f(x)在在(a,b)内单调增加内单调增加;(2)如果在如果在(a,b)内，内，则函数，则函数f(x)在在(a,b)内单调减少内单调减少.首页首页上页上页下页下页证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法首页首页上页上页下页下页表中表中“”表示单调增加，表示单调增加，“”表示单调减表示单调减少

8、少.例例1 判定函数判定函数的单调性的单调性.解解003.3 函数单调性判别法函数单调性判别法首页首页上页上页下页下页例例2 求函数求函数的单调区间的单调区间.解解x-1(-1,3)3003.3 函数单调性判别法函数单调性判别法首页首页上页上页下页下页例例3 求函数求函数的单调区间的单调区间.解解1不存在3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法首页首页上页上页下页下页例例4 求函数求函数的单调区间的单调区间.解解0-0+3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法首页首页上页上页下页下页（2）求导数，并求使）求导数，并求使 或或 不存在的点，不存在的点，得到各单调区间的分界点；得到各单调区间的分界

9、点；3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法综合以上几例，得到求函数单调区间的步骤如下：综合以上几例，得到求函数单调区间的步骤如下：（1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（3）讨论）讨论 在各区间内的符号，判断函数在各区间内的符号，判断函数 在各区间内的单调性在各区间内的单调性.注意注意 如果函数在某区间内，只有个别点的导数等于零或不存在，但该区间内其余各点的导数均大于（或小于）零，则函数在这个区间内仍是单调增加（或减少）的.首页首页上页上页下页下页例例5 证明证明:当当时，时，证证令令所以所以在在内是内是单调单调增加的且增加的且连续连续.3.3 函数单调性判别法函数单调性判别法首页首页上页

10、上页下页下页3.4 函数的极值函数的极值1.函数极值的定义函数极值的定义2.函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法首页首页上页上页下页下页3.4 函数的极值函数的极值概念引入概念引入首页首页上页上页下页下页3.4 函数的极值函数的极值1.函数极值的定义函数极值的定义定义定义设函数设函数在在的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义.（1）如果对于该邻域内的任意点）如果对于该邻域内的任意点，都有，都有（2）如果对于该邻域内的任意点）如果对于该邻域内的任意点，都有，都有函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值与极小值统称为函数的极值极值，使函数取得极值的点称为函数的使函数取得极值的点称为函数的极值

11、点极值点.首页首页上页上页下页下页取得极值，则函数在点取得极值，则函数在点可导，且在点可导，且在点2.函数极值的判定和求法函数极值的判定和求法定理定理1（必要条件）（必要条件）设函数设函数在点在点的导数的导数 使函数的导数为零的点叫作函数的使函数的导数为零的点叫作函数的驻点（或稳定点）驻点（或稳定点）3.4 函数的极值函数的极值注意注意首页首页上页上页下页下页3.4 函数的极值函数的极值定理引入定理引入首页首页上页上页下页下页在点在点的一个邻域内的一个邻域内定理定理2（第一充分条件）（第一充分条件）设函数设函数在点在点连续且可导（但连续且可导（但可以不存在）可以不存在）.（1）如果在）如果在的

12、邻域内，当的邻域内，当时，时，当当时，时，则函数，则函数取得极大值取得极大值（2）如果在）如果在的去心邻域内，的去心邻域内，时，时，当当时，时，则函数，则函数在点在点取得极小值取得极小值3.4 函数的极值函数的极值（3）如果在）如果在的邻域内，当的邻域内，当首页首页上页上页下页下页（2）求导数）求导数 ;3.4 函数的极值函数的极值综合上面两个定理，得到求函数极值的一般步骤如下：综合上面两个定理，得到求函数极值的一般步骤如下：（1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（3）求）求 的全部驻点或导数不存在的点；的全部驻点或导数不存在的点；（4）讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点，）讨论各驻点或

13、导数不存在的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；是极大值点还是极小值点；（5）求各极值点的函数值，得到函数的全部极值）求各极值点的函数值，得到函数的全部极值.首页首页上页上页下页下页例例1 求函数求函数的极值的极值.解解（1）函数的定义域为）函数的定义域为（2）（3）令）令得驻点得驻点3.4 函数的极值函数的极值（4）列表讨论如下）列表讨论如下:x-2(-2,1)100极大值21极小值6首页首页上页上页下页下页3.4 函数的极值函数的极值首页首页上页上页下页下页例例2 求函数求函数的极值的极值.（1）函数的定义域为）函数的定义域为解解（2）（3）令）令得驻点得驻点（4）列表讨论如下）列表讨

14、论如下:x-1(-1,0)0(0,1)1-0-0+0+极小值03.4 函数的极值函数的极值首页首页上页上页下页下页由上表知，函数的极小值为由上表知，函数的极小值为.驻点驻点不是极值点，如下图所示不是极值点，如下图所示.3.4 函数的极值函数的极值首页首页上页上页下页下页例例3 求函数求函数的极值的极值.解解（1）函数的定义域为）函数的定义域为（2）（3）令）令得驻点得驻点当当时，导数不存在时，导数不存在.（4）列表讨论如下）列表讨论如下:x0(0,1)1+不存在不存在-0+极大值极大值0极小值极小值3.4 函数的极值函数的极值首页首页上页上页下页下页由上表知，函数的极大值为由上表知，函数的极大

15、值为3.4 函数的极值函数的极值函数的极小值为函数的极小值为首页首页上页上页下页下页取得极小值取得极小值.在点在点定理定理3（第二充分条件）（第二充分条件）设函数设函数处具有二阶处具有二阶导数且导数且（1）如果）如果，则函数，则函数在点在点（2）如果）如果，则函数，则函数在点在点取得极大值取得极大值.3.4 函数的极值函数的极值注意注意 充分条件来判定.首页首页上页上页下页下页3.4 函数的极值函数的极值例例4 求函数求函数在区间在区间 上的极值上的极值.解解首页首页上页上页下页下页（1）求函数）求函数 的导数，并求出所有的驻点和导数不存的导数，并求出所有的驻点和导数不存在的点在的点.（3）比

16、较上述各函数值的大小，其中最大的就是）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是 在在闭区间闭区间a，b上的最大值，最小的就是上的最大值，最小的就是 在闭区间在闭区间a，b上的最小值上的最小值.3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值求函数求函数 在闭区间在闭区间a，b上的最大值与最小值的步骤为：上的最大值与最小值的步骤为：（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值.首页首页上页上页下页下页3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值例例1 求函数求函数 的最大值和的最大值和最小值最小值.解解令令 所以最大值为所以最大值为，最小值为，最小值为（2）

17、求出区间端点及各驻点的函数值分别是）求出区间端点及各驻点的函数值分别是（1）求函数的导数，得）求函数的导数，得 首页首页上页上页下页下页例例2用一块边长为用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截去一块面的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒，问截去的小正方形积相等的小正方形，做成无盖的铁盒，问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？边长为多少时，做出的铁盒容积最大？解解设截去的小正方形边长为设截去的小正方形边长为xcm，铁盒容积为，铁盒容积为Vcm3得得3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值首页首页上页上页下页下页令令 得得 又由问题得实际意义知

18、，函数又由问题得实际意义知，函数V的最大值在（的最大值在（0，12）内取）内取得，所以当得，所以当x4时，函数时，函数V取得最大值，即当所截去的正取得最大值，即当所截去的正方形边长为方形边长为4cm时，铁盒的容积最大。时，铁盒的容积最大。3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值首页首页上页上页下页下页例例3在一条河的同旁有甲乙两城，甲的城位于河岸边，乙城离在一条河的同旁有甲乙两城，甲的城位于河岸边，乙城离岸岸40km，乙城到岸的垂足与甲城相距，乙城到岸的垂足与甲城相距50km，两城在此河，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管

19、费用分别为每公里为每公里3万元和万元和5万元，问此水厂应设在河边的何处才能万元，问此水厂应设在河边的何处才能使水管费用最省？使水管费用最省？3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值解解 设水厂离甲城设水厂离甲城xkm，水管，水管总费用为总费用为y万元，则万元，则首页首页上页上页下页下页例例4已知电源电压为已知电源电压为E，内阻为，内阻为r，求负载电阻，求负载电阻R为多大时，为多大时，输出功率最大？输出功率最大？解解令令 得得 所以当所以当 时，输出功率最大时，输出功率最大.3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值首页首页上页上页下页下页例例5每单位产品的价格是每单位产品的价格是134元

20、，求使利润最大的产量元，求使利润最大的产量.解解生产生产x个单位利润为个单位利润为3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值某产品生产某产品生产x单位的总成本为单位的总成本为首页首页上页上页下页下页因为因为 所以所以在在 有极大值有极大值;又因为又因为 所以所以在在 有极小值有极小值.因此因此L(36)=996是是L(X)的最大值的最大值.所以所以,生产生产36个单位时个单位时,有最大利润有最大利润996元元.3.5 函数最大值和最小值函数最大值和最小值首页首页上页上页下页下页)设曲线弧的方程为设曲线弧的方程为y=f(x)，且曲线弧上的每一点，且曲线弧上的每一点都有切线，如果在某区间内，该曲

21、线弧位于其上任意一都有切线，如果在某区间内，该曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的凹的；如果该；如果该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是间内是凸的凸的。3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义)首页首页上页上页下页下页定理定理设函数设函数f(x)在在(a,b)内有二阶导数内有二阶导数.（1）如果在）如果在(a,b)内，内，则曲线则曲线y=f(x)在在(a,b)内是凹的内是凹的;（2）如果在）如果在(a,b)内，内，则曲线则曲线y=f(x)在在(a,b)内是凸的

22、内是凸的.例例1 判定曲线判定曲线的凹凸性的凹凸性.解解函数的定义域为函数的定义域为所以曲线在所以曲线在 内是凸的内是凸的,在在内是凹的内是凹的.3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点首页首页上页上页下页下页连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫作连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫作曲线的曲线的拐点拐点.3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点首页首页上页上页下页下页例例2 求曲线求曲线凹凸区间和拐点凹凸区间和拐点.解解函数的定义域为函数的定义域为令令得得x0(0,1)1+0-0+拐点拐点(0,1)拐点拐点(1,0)3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点首页首页上页上页下页下页

23、例例3 求曲线求曲线凹凸区间和拐点凹凸区间和拐点.解解函数的定义域为函数的定义域为x0-不存在不存在拐点拐点(0,0)3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点首页首页上页上页下页下页例例4 判断曲线判断曲线是否有拐点是否有拐点?解解函数的定义域为函数的定义域为令令 得得 时，恒有时，恒有因此点因此点不是曲线得拐点，所以曲线没有拐点不是曲线得拐点，所以曲线没有拐点.3.6 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点首页首页上页上页下页下页3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘1.曲线的水平渐近线和铅直渐进线曲线的水平渐近线和铅直渐进线2.函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页3.7 函数图像的

24、描绘函数图像的描绘1.曲线的水平渐近线和铅直渐进线曲线的水平渐近线和铅直渐进线一般地一般地则直线则直线y=A叫作曲线叫作曲线y=f(x)的水平渐进线的水平渐进线.则直线则直线x=x0叫作曲线叫作曲线y=f(x)的铅直渐进线的铅直渐进线.首页首页上页上页下页下页例例1 求曲线求曲线 的渐进线的渐进线.解解是曲线的水平渐进线是曲线的水平渐进线.例例2 求曲线求曲线 的渐进线的渐进线.解解是曲线的铅直渐进线是曲线的铅直渐进线.是曲线的水平渐进线是曲线的水平渐进线.3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘2.函数图像的描绘函数图像的描绘利用导数描

25、绘函数的图像的一般步骤是：利用导数描绘函数的图像的一般步骤是：（1）确定函数）确定函数 的定义域，并讨论函数的奇偶性；的定义域，并讨论函数的奇偶性；（2）求出）求出 ，解出，解出 在在函数定义域内的全部实根，并求出所有使一阶导数函数定义域内的全部实根，并求出所有使一阶导数 二二阶导数阶导数 不存在的点；不存在的点；（3）把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论函）把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点；数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点；（4）确定曲线的渐近线；）确定曲线的渐近线；（5）结合极值点、拐点以及必要的辅助点，把它们连）结合极值点、拐点以及必

26、要的辅助点，把它们连成光滑的曲线，从而得到函数成光滑的曲线，从而得到函数 的图像的图像.首页首页上页上页下页下页例例3 作函数作函数 的图像的图像.（1）函数的定义域为）函数的定义域为解解3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘所以所以,是奇函数，它的图像关于原点对称是奇函数，它的图像关于原点对称.首页首页上页上页下页下页（3）列表讨论如下）列表讨论如下:x-1(-1,0)0(0,1)1-0+0-+0-极小极小值值2极大极大值值2曲线曲线拐点拐点(0,0)3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页例例4 作函数作函数 的

27、图像的图像.(1)函数的定义域为函数的定义域为解解所以所以是偶函数，它的图像关于是偶函数，它的图像关于y轴对称轴对称.3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘(2)首页首页上页上页下页下页(3)列表讨论如下列表讨论如下:x0000y极大极大值值1曲线曲线拐点拐点拐点拐点3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘直线直线y=0为水平渐进线为水平渐进线.首页首页上页上页下页下页3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页例例5 作函数作函数 的图像的图像.解解(1)函数的定义域为函数的定义域为令令 得得 令令 得得(3)列表讨论如下列表讨论如下:3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘(2)首页

28、首页上页上页下页下页x3(3,6)6-+0-0+极大值极大值4曲线曲线拐点拐点3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘首页首页上页上页下页下页所以直线所以直线y=1为水平渐进线，为水平渐进线，x=-3为铅直渐进线为铅直渐进线.(5)综上所述得图像综上所述得图像3.7 函数图像的描绘函数图像的描绘(4)首页首页上页上页下页下页 3.8 曲率曲率1.弧微分弧微分2.曲率及其计算公式曲率及其计算公式3.曲率圆和曲率半径曲率圆和曲率半径首页首页上页上页下页下页 3.8 曲率曲率1.弧微分弧微分首页首页上页上页下页下页 3.8 曲率曲率弧微分弧微分就是曲线上点就是曲线上点M处的切线段处的切线段|MT|.通常

29、把直角三角形通常把直角三角形MRT叫作曲线在点叫作曲线在点M的的微分三角形微分三角形.弧微分公式弧微分公式s=s(x)是是x的单调增加函数，从而根号前应取正号，的单调增加函数，从而根号前应取正号，首页首页上页上页下页下页例例1 求正弦曲线求正弦曲线的弧微分的弧微分.解解例例2求圆求圆的弧微分的弧微分.解解 3.8 曲率曲率首页首页上页上页下页下页2.曲率及其计算公式曲率及其计算公式平均曲率平均曲率曲率曲率 3.8 曲率曲率首页首页上页上页下页下页例例3解解已知圆的半径为已知圆的半径为R,求：（求：（1）圆上任意一段的平均曲率；）圆上任意一段的平均曲率；（2）圆上任意一点的曲率）圆上任意一点的曲

30、率.（1）（2）圆上任一点的曲率）圆上任一点的曲率 3.8 曲率曲率首页首页上页上页下页下页 3.8 曲率曲率弧弧MN的平均曲率为的平均曲率为在点在点M(x,y)的曲率为的曲率为 首页首页上页上页下页下页例例4 求等边双曲线求等边双曲线xy=1在点在点(1,1)处的曲率处的曲率.解解代入曲率的计算公式得代入曲率的计算公式得 3.8 曲率曲率曲率的计算公式曲率的计算公式(2)与与(3)代入代入(1)得得首页首页上页上页下页下页 3.8 曲率曲率例例5 求抛物线求抛物线 上曲率最大的点上曲率最大的点.解解当当x=0时，分母最小时，分母最小.所以，在顶点（所以，在顶点（0，0）处抛物线的曲率最大）处

31、抛物线的曲率最大.首页首页上页上页下页下页3.曲率圆和曲率半径曲率圆和曲率半径圆圆C与曲线与曲线y=f(x)有以下关系：有以下关系：(1)在点在点M有公共的切线；有公共的切线；(2)在点在点M有公共的凹向；有公共的凹向；(3)在点在点M有相同的曲率有相同的曲率.我们把同时满足以上三个条件的圆叫作曲线在点我们把同时满足以上三个条件的圆叫作曲线在点M的的曲率曲率圆圆.曲率圆的圆心曲率圆的圆心C叫作曲线在叫作曲线在M点的点的曲率中心曲率中心，曲率圆的，曲率圆的半径半径R叫作曲线在点叫作曲线在点M的的曲率半径曲率半径.3.8 曲率曲率首页首页上页上页下页下页曲率半径的计算公式曲率半径的计算公式例例6 求等边双曲线求等边双曲线xy1在点在点(1,1)的曲率半径的曲率半径.解解该点在点该点在点(1,1)的曲率的曲率所求曲率半径为所求曲率半径为 3.8 曲率曲率首页首页上页上页下页下页 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截线为抛物线 .现在要用砂现在要用砂轮磨削其内表面，问直径多大的砂轮比较合适？轮磨削其内表面，问直径多大的砂轮比较合适？3.8 曲率曲率例例7解解问题成为求抛物线在顶点处问题成为求抛物线在顶点处的曲率半径的曲率半径.所以选用砂轮的半径不得超过所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，单位长，即直径不得超过即直径不得超过2.50单位长单位长.首页首页上页上页下页下页