31微分中值定理-精品文档资料整理.ppt

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1、高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院数学系广东石油化工学院理学院数学系3.1 微分中值定理微分中值定理第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用第第二二我我们们给给出出了了函函数数导导数数的的定定义义，研研究究了了导导数数的的计计算算方方法本章我们将利用导数研究函数的性态与函数的图像法本章我们将利用导数研究函数的性态与函数的图像由由于于函函数数在在一一点点的的导导数数只只反反映映函函数数的的局局部部性性态态，因因此此要要用用导导数数来来研研究究函函数数的的性性质质及及其其图图像像，就就必必须须在在函函数数的的定定义义域域内内研研究究函函数数的的自自变变量量、因因变变量量

2、与与导导数数之之间间的的关关系系，这这一一理理论论就就是是微微分分中中值值定定理理，微微分分中中值值定定理理是是研研究究函函数数性性态态和和函函数数图图像像的的理理论基础论基础3.13.1微分中值定理微分中值定理微分中值定理微分中值定理罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理在在的某一邻域有定义，若对的某一邻域有定义，若对有有则称则称点为函数点为函数的极大（的极大（小小）值点，）值点，称为函数称为函数的极大（小）值的极大（小）值定义定义1 设设极大值点极大值点:x2，x5极极小小值点值点:x1，x4，x6若在这些极值点上作函数曲线

3、的切线，其都为若在这些极值点上作函数曲线的切线，其都为水平切线水平切线.若函数在这些点可导，则若函数在这些点可导，则这个结论是法国数学家费马得到的这个结论是法国数学家费马得到的水平切线水平切线斜率为斜率为0非非极值点极值点:x3判断判断右图右图极值极值点点费马引理费马引理 设设在在的某一邻域的某一邻域有定义，有定义，点处可导，若点处可导，若是是在在上的上的且在且在极值，则极值，则通通常常我我们们称称函函数数导导数数为为零零的的点点为为函函数数的的驻点（或稳定点，临界点）驻点（或稳定点，临界点）费马引理的证明仅需利用函数极值的特点，费马引理的证明仅需利用函数极值的特点，在在点的左右导数即可点的左

4、右导数即可是极大值，可证得是极大值，可证得，函数函数如若如若通过通过证得证得通过研究通过研究点击图片任意处播放暂停物理解释物理解释:变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:利利用用闭闭区区间间上上连连续续函函数数一一定定取取得得最最大大值值 M 和和最最小小值值 m 性质和性质和费马定理费马定理，即可证明罗尔定理，即可证明罗尔定理定理定理1（罗尔定理）（罗尔定理）设设在在上连续，在上连续，在内可导，且内可导，且则至少存在一点则至少存在一点使得使得若若在在上上则则在在上上为为常数，常数，内任意点内任意点导导数数为为0；，由于，由于与与至少有至

5、少有内取得，即内取得，即使使（或（或），），函数在函数在若若一个一个值值在在由由费马费马定理知定理知注意注意:定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.例如例如,二、拉格朗日中二、拉格朗日中值值定理定理法国数学家拉格朗日利用法国数学家拉格朗日利用罗罗尔尔定理得到了函数的微定理得到了函数的微分中分中值值定理定理罗罗尔尔定理定理对对函数函数的条件限制太的条件限制太强强，一般函数很一般函数很难满难满足此条件，足此条件，拉拉格格朗朗日日是是1818世世纪纪的的伟伟大大科科学学家家，在在数数学学、力力学学和和天天文文学学三三个个学学科科中中都都有有历历史史性性的的重重大大贡

6、贡献献。但但主主要要是是数数学学家家，他他最最突突出出的的贡贡献献是是在在把把数数学学分分析析的的基基础础脱脱离离几几何何与与力力学学方方面面起起了了决决定定性性的的作作用用。使使数数学学的的独独立立性性更更为为清清楚楚，而而不不仅仅是是其其他他学学科科的的工工具具。同同时时在在使使天天文文学学力力学学化化、力力学学分分析析上上也也起起了了历历史史性性的的作作用用，促促使使力力学学和和天天文文学学（天天体体力力学学）更更深深入入发发展展。由由于于历历史史的的局局限，严密性不够妨碍着他取得更多成果。限，严密性不够妨碍着他取得更多成果。定理定理2（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）设函数设函数

7、在在上连续，在上连续，在内可导，内可导，使得使得则至少存在一点则至少存在一点分析：如分析：如 图图3.3，定理，定理2实际是让我们证明曲线实际是让我们证明曲线上存在一点上存在一点其切线平行于其切线平行于点所在直线点所在直线即即 几何解释几何解释:定理定理2（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）设函数设函数在在上连续，在上连续，在内可导，内可导，使得使得则至少存在一点则至少存在一点定理定理2（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）设函数设函数在在上连续，在上连续，在内可导，内可导，使得使得则至少存在一点则至少存在一点因此，只要证明因此，只要证明在在上满足罗尔定理条件，上满足罗尔定理条件，定理即

8、可证明定理即可证明.事实上事实上,易知易知证证明：易知明：易知点所在直点所在直线线方程方程 令令在在上上连续连续，在，在内可内可导导，在在上上连续连续，在，在内可内可导导，且且由由罗罗尔尔定理知至少存在一点定理知至少存在一点使得使得即即三、柯西中值定理三、柯西中值定理如如果果有有两两个个函函数数满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理条条件件，我们有如下柯西中值定理我们有如下柯西中值定理定理定理3（柯西中值定理）（柯西中值定理）设函数设函数，在在上连续，在上连续，在内可导，且内可导，且则至少存在一点则至少存在一点，使得，使得分析：式子分析：式子可可转转化化为为 而而是函数是函数的的导导函数函数

9、在在点的点的导导数数值值，因此，只要，因此，只要证证明函数明函数在在 上上满满足足罗罗尔尔定理条件即可定理条件即可证证得定理得定理3几何解释几何解释:证明证明设设 在在上连续，在上连续，在内可导，内可导，在在上连续，在上连续，在内可导内可导 又又所以所以在在故至少存在一点故至少存在一点使得使得 上满足罗尔定理条件，上满足罗尔定理条件，又又当当时，时，(在在上满足拉格朗日中值定理条件上满足拉格朗日中值定理条件)，故，故，三个微分中值定理的理解需要注意以下几个问题：三个微分中值定理的理解需要注意以下几个问题：1三个中值定理中的条件缺一不可，缺少一个条件三个中值定理中的条件缺一不可，缺少一个条件结论

10、就有可能不成立结论就有可能不成立可能不唯一可能不唯一2三个定理中存在的三个定理中存在的3拉格朗日中值定理的区间拉格朗日中值定理的区间，若改为，若改为，则可得到如下等式，则可得到如下等式即即这里，这里，也可表示为也可表示为所以上式又可表示为所以上式又可表示为这这样样，函函数数f(x)可可以以用用其其导导函函数数刻刻划划，通通过过研研究究函函数数导导函函数数性性质质，我我们们就就可可以以研研究究函函数数的的性性质质应应用用以上结论，可以得到函数的一个重要性质：以上结论，可以得到函数的一个重要性质：若若在在 内有内有，则，则在在内恒为常数内恒为常数 四、中值定理应用举例四、中值定理应用举例分析：分析

11、：分别在分别在，区间内应用罗尔定理可得区间内应用罗尔定理可得例例1 1 证明证明的导函数的导函数有有3 3个零点分别位于区间个零点分别位于区间，内内证证 因为因为在在上连续可导，且上连续可导，且在区间在区间，上应用罗尔定理，存在上应用罗尔定理，存在使得使得所以所以是是的三个零点的三个零点例例2 证明不等式证明不等式（其中（其中）应用拉格朗日中值定理，将应用拉格朗日中值定理，将转化为含转化为含的式子即可证得的式子即可证得分析：对函数分析：对函数例例2 证明不等式证明不等式（其中（其中）证证 设设，在在上连续可导，且上连续可导，且在在上连续，在上连续，在由拉格朗日中值定理知，由拉格朗日中值定理知，

12、使得，使得又又可导，可导，所以，所以 例例3 证明恒等式证明恒等式，的导数恒为的导数恒为0即可证得结论即可证得结论，又又分析：只要证明函数分析：只要证明函数证明证明 设设分析：式子分析：式子分子分母除分子分母除在区在区间间上应用柯西中值定理即可得到结论上应用柯西中值定理即可得到结论续，在续，在内可导，试证：至少存在一点内可导，试证：至少存在一点，使得，使得由柯西中值定理，至少存在一点由柯西中值定理，至少存在一点使得使得即即上式整理得上式整理得问题讨论问题讨论1 1请利用函数请利用函数说明在区间说明在区间上罗尔定理不成立，在区间上罗尔定理不成立，在区间上拉格朗日中值定理上拉格朗日中值定理不成立，

13、并阐述理由不成立，并阐述理由2 2用用微微分分中中值值定定理理解解决决函函数数有有关关问问题题时时，常常要要构构造造辅辅助助函函数数，请请结结合合本本节节定定理理和和实实例例的的证证明明方方法法，研研究究构构造辅助函数的方法造辅助函数的方法Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.本本节节给给出出了了三三个个重重要要的的微微分分中中值值定定理理及及证证明明方方法法，其其中中罗罗尔尔中中值值定定理理是是基基础础，拉拉格格朗朗日日中中值值定理和柯西中值定理由罗尔定理证得定理和柯西中值定理由罗尔定理证得应用微分中值定理可求函数零点，证明不等式，证应用微分中值定理可求函数零点，证明不等式，证明恒等式和函数与其导数关系的等式证明等问题明恒等式和函数与其导数关系的等式证明等问题