2021年北京市高考数学试题（解析版）.doc

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1、2021年北京市高考数学试题（解析版）2021年北京市高考数学试题解析版未经允许 请勿转载 2021年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学第一部分选取题共40分一、选取题共1小题，每题4分,共0分，在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1. 已经知道集合,则 . B. . 【答案:：:】【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可【详解】由题意可得:,即.故选：B.2.在复平面内,复数满足,则 . B. C D 【答案:】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得:.故选:D. 已经知道是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增是“函数在上

2、的最大值为的 A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案:】【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为,比如，但在为减函数，在为增函数,故在上的最大值为推不出在上单调递增,故“函数在上单调递增是“在上的最大值为的充分不必要条件，故选：A4. 某四面体的三视图如以以下图，该四面体的表面积为 A. B 4CD 2【答案:】A【解析】【分析】根据三视图可得如以以下图的几何体三棱锥，根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如以以下图的几何体正三棱锥

3、，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1,故其表面积为,故选:A5. 双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为 A. . C. . 【答案:】A【解析】【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值,即可得出双曲线的标准方程.【详解】,则,，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得,故，因此，双曲线的方程为.故选：A.6 和是两个等差数列，其中为常值，,，则 A. B. CD. 【答案:】B【解析】【分析】由已经知道条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.【详解】由已经知道条件可得,则，因此，.故选:B7 函数,试判断函数的奇偶性

4、及最大值 A. 奇函数,最大值为2B. 偶函数,最大值为C.奇函数，最大值为. 偶函数,最大值为【答案:：】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.未经许可 请勿转载【详解】由题意,所以该函数为偶函数,又,所以当时，取最大值.故选:.8. 定义:2小时内降水在平地上积水厚度来判断降雨程度.其中小雨，中雨,大雨,暴雨,小明用一个圆锥形容器接了4小时的雨水,如此图,则这天降雨属于哪个等级未经许可 请勿转载A.小雨中雨C.大雨D.暴雨【答案:】B【解析】【分析】计算出圆锥体积,除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题

5、意,一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥,所以积水厚度,属于中雨故选：.9 已经知道圆,直线,当变化时,截得圆弦长的最小值为2，则 A B. . 【答案:：】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出【详解】由题可得圆心为，半径为，则圆心到直线的距离,则弦长为，则当时，弦长取得最小值为,解得.故选：C.10. 数列是递增的整数数列，且,，则的最大值为 A. 9B10C 11D12【答案:】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为3，

6、公差为的等差数列,其前n项和为，则,，,所以n的最大值为1故选:C.第二部分非选取题共11分二、填空题5小题，每题5分，共25分.1. 展开式中常数项为_.【答案:】【解析】【详解】试题分析:的展开式的通项令得常数项为.考试点：二项式定理12. 已经知道抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_；作轴于，则_.未经许可 请勿转载【答案:：:】 . 5 .【解析】【分析】根据焦半径公式可求的横坐标,求出纵坐标后可求【详解】因为抛物线的方程为,故且.因为，,解得,故,所以,故答案:：:为：5,13. ,则_;_【答案:】 . 0 . 3【解析】【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算

7、直接计算即可.【详解】，故答案:：:为:0；3.4. 若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的_【答案:】满足即可【解析】【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称,得出求解.【详解】与关于轴对称，即关于轴对称， ，则,当时,可取的一个值为故答案:为:满足即可.1. 已经知道函数，给出以下四个结论：若，则有两个零点；，使得有一个零点；,使得有三个零点；,使得有三个零点以上正确结论得序号是_.【答案:：】【解析】【分析】由可得出,考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.未经许可 请勿转载【详解】对于，当时,由，可得或,正确；对于,考查直线与曲线相切于点，对函

8、数求导得,由题意可得,解得，所以，存在，使得只有一个零点,正确;对于,当直线过点时,，解得,所以，当时,直线与曲线有两个交点,若函数有三个零点,则直线与曲线有两个交点,直线与曲线有一个交点,所以,此不等式无解,因此，不存在，使得函数有三个零点,错误;对于,考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得,解得,所以,当时,函数有三个零点,正确.故答案:为:.【点睛】思路点睛:已经知道函数的零点或方程的根的情况,求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤:未经许可 请勿转载1转化，即通过构造函数,把问题转化成所构造函数的零点问题；2列式,即根据函数的零点存在定理或

9、结合函数的图象列出关系式;3得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.三、解答题共6小题,共5分,解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1. 已经知道在中,，.1求的大小；2在以下三个条件中选择一个作为已经知道，使存在且唯一确定,并求出边上中线的长度.；周长为；面积为;【答案:：】；2答案:不唯一,具体见解析【解析】【分析】由正弦定理化边为角即可求解;若选择：由正弦定理求解可得不存在;若选择:由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求;若选择：由面积公式可求各边长,再由余弦定理可求【详解】1,则由正弦定理可得,，,，,解得；2若选择:由正弦定理结合1可得，与矛盾，故这样

10、的不存在;若选择：由1可得，设的外接圆半径为,则由正弦定理可得,则周长,解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：;若选择：由1可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.1 已经知道正方体,点为中点，直线交平面于点证明:点为的中点;2若点为棱上一点,且二面角的余弦值为,求的值【答案:】1证明见解析;2.【解析】【分析】首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；2建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值【详解】1如以以下图，取的中点,连结,由于为正方体，为中点，故，从而四点共面,即平面CE即平面,据此可得

11、:直线交平面于点,当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合,即点为中点.2以点为坐标原点，方向分别为轴,轴,轴正方形,建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2，设，则:，从而：,设平面的法向量为:，则:，令可得:，设平面的法向量为:，则:，令可得：，从而:,则：,整理可得:，故舍去【点睛】此题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.未经许可 请勿转载18. 为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法,即将k个人的拭子样本合并检测，若

12、为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测现有00人,已经知道其中人感染病毒.未经许可 请勿转载1若采用“10合1检测法，且两名患者同一组，求总检测次数;已经知道10人分成一组,分0组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望EX;未经许可 请勿转载2若采用“合1检测法，检测次数Y的期望为Y,试比较E和Y的大小直接写出结果.未经许可 请勿转载【答案:：:】次；分布列见解析；期望为;2见解析【解析】【分析】1由题设条件还原情境,即可得解;求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列,再由期望的公式即可得解

13、；2求出，分类即可得解.【详解】1对每组进行检测，需要0次;再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要次；所以总检测次数为20次；由题意，可以取20,30,则的分布列:所以;2由题意,可以取25，30，设两名感染者在同一组的概率为p,则,若时,;若时，；若时，.19. 已经知道函数若，求在处切线方程;2若函数在处取得极值，求的单调区间,以及最大值和最小值.【答案:】1；函数的增区间为、,单调递减区间为,最大值为，最小值为【解析】【分析】求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；2由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】当时,，则，此时，曲线在点处的切线方程为

14、，即;2因为,则，由题意可得，解得,故,列表如下：增极大值减极小值增所以,函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时,.所以，.20. 已经知道椭圆过点,以四个顶点围成的四边形面积为1求椭圆E的标准方程;2过点P，的直线l斜率为k,交椭圆于不同的两点B,C，直线AB,AC交=-3于点M、N，直线AC交-于点N,若|P|+|N|15，求k的取值范围.未经许可 请勿转载【答案:：】1;2.【解析】【分析】1根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.2设，求出直线的方程后可得的横坐标,从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围,注意判别

15、式的要求.未经许可 请勿转载【详解】1因为椭圆过,故，因为四个顶点围成的四边形的面积为,故,即,故椭圆的标准方程为：.2设,因为直线的斜率存在,故,故直线，令,则,同理.直线,由可得,故,解得或.又，故,所以又故即,综上，或21. 定义数列:对实数p,满足:，;；，1对于前4项，,0,1的数列，可以是数列吗？说明理由;2若是数列,求值；3是否存在p，使得存在数列,对？若存在,求出所有这样的;若不存在,说明理由【答案:】1不可以是数列;理由见解析;2;3存在;.【解析】【分析】1由题意考查的值即可说明数列不是数列;2由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；3构造数列，易知数列是的，

16、结合2中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.【详解】1由性质结合题意可知,矛盾，故前4项的数列，不可能是数列.2性质，由性质，因此或，或,若，由性质可知,即或，矛盾;若，由有，矛盾.因此只能是.又因为或,所以或若,则,不满足,舍去.当,则前四项为:，0，0，1,下面用纳法证明:当时,经验证命题成立，假设当时命题成立,当时：若，则，利用性质：,此时可得：;否则,若,取可得：，而由性质可得：,与矛盾同理可得:,有;,有;,又因为,有即当时命题成立,证毕综上可得：，3令,由性质可知：，由于,因此数列为数列由可知:若；，,因此，此时,满足题意.【点睛】此题属于数列中的“新定义问题,“新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解但是,透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题不一定是“难题,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.未经许可 请勿转载 未经允许 请勿转载