离散型随机变量课件课件精选课件.ppt

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1、关于离散型随机变量课件第一页，本课件共有29页 为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.例例1 抛掷一枚均匀的硬币，可能出现正面，也可能出现反面，现在约定若试验结果出现正面，令 =0，若试验结果出现反面，令 =1，这时就有试验结果出现正面=（=0），试验结果出现反面）=（=1）一、随机变量的定义一、随机变量的定义第二页，本课件共有29页例例2 2 掷一颗骰子，用X表示出现的点数，则X=1,2,3,4,5,6例3 每天进入某超市的顾客数用Y表示，则 Y=0,1,2,3,例4 某一时刻红绿灯前等候的汽车数用Z表示，则Z=0,1,2,n定义定

2、义2.1.1 定义在样本空间定义在样本空间上，取值于实数域上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量且只取有限个或可列个值的变量=（），），称作是一称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量离散型随机变量（discrete random variable)。对于离散型随机变量，我们更关心的是它取各个值的概率。第三页，本课件共有29页例2（续）掷一颗骰子，用X表示出现的点数，则X=1,2,3,4,5,6 的概率均为例5 在 n=5 的伯努利试验中，设事件A在一次试验中出现的概率为 p，令=5 次试验中事件A出现的次数，则有一般来说，如果离散型随机

3、变量 的可能取值为ai(i=1,2,)，其相应的概率 P(=ai)=pi，人们常常习惯地把它们写成下面这种表格的形式：第四页，本课件共有29页或a1a2.pip1p2.(2.1.1)(2.1.2)并且称(2.1.1)或(2.1.2)为随机变量为随机变量()的分布列，也称为的分布列，也称为分布律，有时就简称为分布分布律，有时就简称为分布(distribution)。于是，例5中 的分布列为012345piq55pq410p2q310p3q25p4qp5第五页，本课件共有29页由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列 pi 都具有下述两个性质：反之，任意一个具有以上两个性质的数列 pi 都可能

4、作为一个随机变量的分布列。利用分布列，对于任意的实数 a b,事件(a b)发生的概率均可由分布列算出，因为(2.1.3)第六页，本课件共有29页于是由概率的可列可加性有(2.1.4)其中，即使对R中更复杂的集合B，也有(2.1.5)其中因此，因此，分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律。律。第七页，本课件共有29页二、离散型随机变量的典型分布二、离散型随机变量的典型分布1.0-1 分布或二点分布分布或二点分布01pipq其中其中 p+q=1 特别地，常数特别地，常数 a 也可看作随机变量的极端情形，这也可看作随机变量的极端情形，这时随机变量时随机变

5、量 的分布列为的分布列为 P(=a)=1人们称这个分布为人们称这个分布为单点分布或退化分布。单点分布或退化分布。第八页，本课件共有29页2.二项分布二项分布(Bernoulli Distribution)如果一个随机变量如果一个随机变量 的概率分布满足的概率分布满足(2.1.6)则称则称服从服从二项分布二项分布，记作，记作 b(k;n,p),其中其中 p+q=1.在在 n 重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件A发生发生 k 次的概率为次的概率为因而因而n 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的次数发生的次数是一个服从是一个服从二项分布的随机变量。二项分布的随机变量。容易验证容易验证第

6、九页，本课件共有29页3.几何分布几何分布(Geometric Distribution)在伯努利试验中，每次试验成功的概率为在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概，失败的概率为率为 q=1-p(0p0 是这一分布的参数。记作是这一分布的参数。记作 P（）由由易知易知例例6 参见教材参见教材 P66 之例之例2.4至于二项分布与泊松分布之间的关系，我们有至于二项分布与泊松分布之间的关系，我们有(2.1.9)第十六页，本课件共有29页定理定理2.1.1(Poisson)在在 n 重伯努利试验中，事重伯努利试验中，事件件A在一次试验中出现的概率为在一次试验中出现的概率为 pn（与试验总数

7、（与试验总数 n 有有关），如果当关），如果当 n 及及 npn 时，则有时，则有(2.1.10)证明证明：记：记 npn=n,则则对于任一固定的对于任一固定的 k，显然有，显然有第十七页，本课件共有29页及及从而从而对任意的对任意的 k(k=0,1,2,)成立，定理得证。成立，定理得证。可以利用该定理作近似计算。在二项分布中，当可以利用该定理作近似计算。在二项分布中，当 n 和和 k 都比较大时，计算量是令人烦恼的，如果这时都比较大时，计算量是令人烦恼的，如果这时 np 不太大不太大（即（即 p 较小），则由泊松定理就有较小），则由泊松定理就有(2.1.11)其中其中=np 而要计算而要计算

8、可以查泊松分布表可以查泊松分布表第十八页，本课件共有29页例例7 参见教材参见教材 P 7071之例之例2.6。泊松分布是最重要的离散型分布之一，它多是出现在泊松分布是最重要的离散型分布之一，它多是出现在当当 表示在一定的时间或空间内出现的事件个数的场合。表示在一定的时间或空间内出现的事件个数的场合。如如 一定时期内某商场里的顾客人数；一定时期内某商场里的顾客人数；一定时期内银行柜台前等候服务的人数；一定时期内银行柜台前等候服务的人数；某交通路口发生的事故次数；某交通路口发生的事故次数；在单位时间内，电话机接到用户呼唤的次数；在单位时间内，电话机接到用户呼唤的次数；单位时间内一电路受到外界电磁

9、波的冲击次数；单位时间内一电路受到外界电磁波的冲击次数；1平方米内玻璃上的气泡数；平方米内玻璃上的气泡数；单位时间内某种放射性物质分裂到某区域的质点单位时间内某种放射性物质分裂到某区域的质点 数数等都服从泊松分布。等都服从泊松分布。第十九页，本课件共有29页下面我们就来看一看泊松分布是怎样得来的。下面我们就来看一看泊松分布是怎样得来的。设每只母鸡年产蛋量为设每只母鸡年产蛋量为。可以设想，把一年时间分。可以设想，把一年时间分成成 n 等分，取等分，取 n 充分大，每一个等分的间隔充分大，每一个等分的间隔就很小（比方说小于一天）：就很小（比方说小于一天）：图图2.1于是在时间间隔于是在时间间隔内，

10、母鸡或者下一个蛋，内，母鸡或者下一个蛋，或者一个也不下（因为时间间隔很小，不会下两或者一个也不下（因为时间间隔很小，不会下两个以上的蛋）。如果在一个时间间隔内下一个蛋个以上的蛋）。如果在一个时间间隔内下一个蛋的概率是的概率是 p，并且在各个时间间隔内是否下蛋假，并且在各个时间间隔内是否下蛋假定是相互独立的，这时就构成了一个伯努利概定是相互独立的，这时就构成了一个伯努利概型，于是在一年内下型，于是在一年内下 k 个蛋的概率就是个蛋的概率就是b(k;n,p)，再利用泊松定理即得，再利用泊松定理即得第二十页，本课件共有29页(其中其中=np)，由此可知，母鸡的年产蛋量由此可知，母鸡的年产蛋量 的确可

11、的确可以用泊松分布来描述。以用泊松分布来描述。设同类型设备设同类型设备9090台，每台工作相互独立，台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是每台设备发生故障的概率都是 0.01.0.01.在通常在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备维修，每人同时也只能维修一台设备.(1)(1)问至少要配备多少维修工人，才能保证当设问至少要配备多少维修工人，才能保证当设(2)(2)备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?0.01?(3)(3)(2)(2)问问3 3个人共同负责个人共同负责

12、9090台还是台还是3 3个人各自独立负个人各自独立负(4)(4)责责3030台设备发生故障不能及时维修的概率低？台设备发生故障不能及时维修的概率低？例例8解解 (1)(1)设设 需要配备需要配备 N N 个维修工人个维修工人,设设 X X 为为90 90 台台第二十一页，本课件共有29页设备中发生故障的台数，则设备中发生故障的台数，则 X BX B(90,0.01)(90,0.01)令则查附表2得 N=4第二十二页，本课件共有29页(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为设设3030台设备中发生故障的台数为台设备中发生故障的台数为 Y Y B(30,0.01)第二十三页，

13、本课件共有29页设每个人独立负责设每个人独立负责3030台设备，第台设备，第 i 个人负责的个人负责的3030台设备发生故障不能及时维修为事件台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai 则三个人各独立负责三个人各独立负责3030台设备发生故障不能及时台设备发生故障不能及时维修为事件维修为事件故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！第二十四页，本课件共有29页 Blaise Pascal 1623-1662帕斯卡法国数学家物理学家 思想家帕斯卡第二十五页，本课件共有29页 帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成圆锥曲线论,由此定理导出400余条推论,这是古希腊阿波罗

14、尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡简介 1642年发明世界上第一台机械加法计算机帕斯卡计算器.第二十六页，本课件共有29页 他应用此方法解决了摆线问题.1654年研究二项系数性质,写出论算术三角形一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道 1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理.第二十七页，本课件共有29页 三十岁时他曾研究过赌博问题三十岁时他曾研究过赌博问题,对早期概率论的发展颇有影响对早期概率论的发展颇有影响.1658年完成了摆线论,这给 G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微 积分的建立.在离散型随机变量的分布中有个在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生重复独立试验中，事件发生 次的场次的场第二十八页，本课件共有29页感感谢谢大大家家观观看看第二十九页，本课件共有29页