01章函数与极限923-11数列极限的定义.ppt

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1、高等数学多媒体课件广东石油化工学院理学院广东石油化工学院理学院 数学系数学系1.1数列极限的定数列极限的定义义极限概念极限概念是由某些实际问题的精确解答而产生的是由某些实际问题的精确解答而产生的极限理论极限理论是高等数学最重要的基础是高等数学最重要的基础.极限方法极限方法是高等数学处理问题的最基本方法是高等数学处理问题的最基本方法，它贯穿于高等数学的全过程它贯穿于高等数学的全过程庄周所著的庄子庄周所著的庄子的的“天下篇天下篇”：一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭庄子，姓庄，庄子，姓庄，名周，字子休（亦说子沐），宋国蒙

2、人，先祖是宋国君主宋名周，字子休（亦说子沐），宋国蒙人，先祖是宋国君主宋戴公。他是东周战国中期著名的思想家、哲学家和文学家。创立了华夏重戴公。他是东周战国中期著名的思想家、哲学家和文学家。创立了华夏重要的哲学学派庄学，是继老子之后，战国时期道家学派的代表人物，是道要的哲学学派庄学，是继老子之后，战国时期道家学派的代表人物，是道家学派的主要代表人物之一。家学派的主要代表人物之一。定义定义1按自然数顺序排列起来的一列数按自然数顺序排列起来的一列数称为称为数列数列，其中数列中的每一个数其中数列中的每一个数 叫做数列的叫做数列的项项，一般项一般项或或通项通项一个数列可以看做是一个数列可以看做是自变量取

3、自然数自变量取自然数的函数的函数通项为通项为定义定义2为一正整数列，为一正整数列，例如，例如，对于一些数列，对于一些数列，一般项一般项都无限接近于某一都无限接近于某一个个常数常数，这个这个常数常数称为数列的称为数列的极限极限在数学上，在数学上，如何如何从从定量定量角度定义数列极限的概念角度定义数列极限的概念？逐逐渐渐接近于接近于0，因此，因此，定义定义3若对任意给若对任意给使得所有满足使得所有满足则称数列则称数列记为记为这就是所谓的这就是所谓的“”定义定义这就是所谓的这就是所谓的“”定义定义几何解释几何解释:显然，要证明数列显然，要证明数列的极限为的极限为只要对任意只要对任意给定的正数给定的正

4、数找到满足定义的找到满足定义的即可，即可，这里这里要通过要通过找到找到这里这里要任意小，要任意小，才能表明数列才能表明数列能逼近能逼近与与有关，有关，它随它随的给定而确定，的给定而确定，但但的值不是的值不是 唯一的唯一的，比比大的正整数均可代替大的正整数均可代替例例1解解同理，可求满足同理，可求满足例例1证明证明分析分析:证明证明有有 所以所以,注：在本例题中，注：在本例题中，对对适当变形和放大，适当变形和放大，是为由是为由确定的确定的更容易求更容易求 但注意不能放大过大，但注意不能放大过大，要保证当要保证当时，时，放大的式子极限为放大的式子极限为0 0取取是为保证是为保证例例3证明证明因此，

5、因此，就有就有所以，所以，则称该数列则称该数列发散发散数列极限的定义可以证明如下重要极限：数列极限的定义可以证明如下重要极限：补充课堂练习补充课堂练习1 1证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.练习练习2 2 证证练习练习3证证问题讨论问题讨论动画回画回顾1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概

6、念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引

7、入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、

8、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限