线性代数n维向量空间小结.ppt

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1、第四章第四章 n维向量空间小结维向量空间小结n维向量空间维向量空间线性方程组线性方程组1主要内容：主要内容：一两个重要概念：一两个重要概念：23相关结论：相关结论：4(2)(2)线性表出：线性表出：5三、最大无关组，向量组的秩三、最大无关组，向量组的秩最大无关组的两个等价命题：最大无关组的两个等价命题：命题命题1 1：(1)(1)线性无关；线性无关；(2)(2)向量组中任何一个可由它们线性表出；向量组中任何一个可由它们线性表出；命题命题2 2：有：有r 个线性无关，任意个线性无关，任意r+1个则相关；个则相关；判断是最大无关组：任意判断是最大无关组：任意“n个个”“线性无关线性无关”的的“n维

2、维 向量向量”都是都是 的最大无关组。的最大无关组。和矩阵的秩类似：和矩阵的秩类似：有有r阶子式阶子式0，任意，任意r+1阶子式阶子式0.6组组(I)(I)无关，组无关，组(I)(I)可由可由(II)(II)表出，表出，则组则组(I)(I)的个数的个数 组组(II)(II)的个数。的个数。关于向量空间和子空间关于向量空间和子空间:基，维数。基，维数。78910P11此方法对很多问题都有效：此方法对很多问题都有效：方法类似：方法类似：P1213一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四、基础解系的证法四、基础解系的证法五

3、、解向量的证法五、解向量的证法典型例题14研研究究这这类类问问题题一一般般有有两两个个方方法法方方法法1 1从从定定义义出出发发整整理理得得线线性性方方程程组组一、向量组线性关系的判定1516方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组的的秩秩之之间间关关系系判判定定17例例研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一18整整理理得得到到19解解二二2021分分析析22证证明明2324证证明明向向量量组组的的一一个个部部分分组组构构成成最最大大线线性性无无关关组组的的基基本本方方法法就就是是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往

4、还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系25证证明明26求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵阵是是由由这这组组向向量量为为列列向向量量所所排排成成的的二、求向量组的秩27解解282930判判断断向向量量的的集集合合是是否否构构成成向向量量空空间间，需需看看集集合合是是否否对对于于加加法法和和数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭若若封封闭闭，则则构构成成 向向 量量 空空 间间；否否 则则，不不 构构 成成 向向 量量 空空 间间 解解三、向量空间的判定31例例证证明明与与基基础础解解系系等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组也也是是基基础础解解系系四、基础解系的证法分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；要要证证明明某某一一向向量量组组是是方方程程组组的的基基础础解解系系，需需要要证证明明三三个个结结论论:32五、解向量的证法33证证明明343536第四章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题5 5分，共分，共4040分分)373839四、向量组四、向量组 线性无关线性无关,问常数问常数 满足满足什么条件时什么条件时,向量组向量组线性无关线性无关40