线性系统理论第5章--系统运动的稳定性课件.ppt

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1、第第5 5章章 系统运动的稳定性系统运动的稳定性 51 外部稳定性和内部稳定性定义：称一个系统的外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：u(t)1 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即 结论1：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统，tt0,+）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数，使对一切tt0,+)脉冲响应矩阵H(t,)所有元均满足关系式 证明考虑SISO情形充分性1/4,1/181/4,1/18必要性采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使可以取有矛盾。对于多输入多输出情形，输出y(t)的任一分量yi(t)仿上述

2、即可证明。结论2：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式 2/4,2/182/4,2/18结论3：对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对tt0,+)有界，并满足渐近属性，即：结论4：设n维连续时间线性时变自治系统 系统在t0时刻内部稳定的充分必

3、要条件为：状态转移矩阵(t,t0)对所有tt0,+为有界，并满足：结论5：对n维连续时间线性时不变自治系统 内部稳定的充分必要条件为 或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Rei(A)0，都对应存在另一位赖于和t0的实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)都满足不等式：(t；x0,t0)-Xe 稳定的几何解释李亚普诺夫意义下一致稳定时不变系统的稳定属性李亚普诺夫意义下稳定的实质 1/2,5/181/2,5/18渐近稳定称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定，如果)Xe=0在时刻t0为李亚普诺夫意义下稳定，）对实数(,t

4、0)0和任给实数0，都存在实数T(,t0)0使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t0)-Xe，不稳定 称自治系统 的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数0为多么大，都不存在对应一个实数(,t0)0，使得满足不等式X0-Xe(,t0)的任一初始状态x0出发的受扰运动(t；x0,t0)满足不等式(t；x0,t)-Xe，不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有

5、一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 2/2,6/182/2,6/1853李亚普诺夫第二方法的主要定理 结论7：对连续时间非线性时变自治系统 X=0为系统平衡状态，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t)，V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：）V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数(x)和(x)，(0)0，(0)0，使对所有tt0,)有：(x)V(x,t)(x)0)V(x,t)对时间t的导数负定且有界。)当x，有V(x,t)则系统的原点平衡状态x=0为大范围一

6、致渐近稳定。结论8：对连续时间非线性时不变自治系统 X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏导数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：）V(x)为正定)为负定)当x，有V(x)则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。1/4,7/181/4,7/18例设系统状态方程为坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解 取一正定的标量函数 为一负定的标量函数，且系统是大范围渐近稳定的。2/4,8/182/4,8/18结论9 小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(

7、0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：V(x,t)为正定且有界；为负定且有界；则系统原点平衡状态x=0在域内为一致渐近稳定。结论10小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件：V(x)为正定；为负定 则系统原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定 3/4,9/183/4,9/18结论11 小范围渐近稳定性定理 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对x具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x),V(0

8、)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x满足如下条件：V(x)为正定；为负半定 对任意非零x0 则原点平衡状态x=0在域内为渐近稳定 结论 12不稳定性定理 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区域，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：（）V(x,t)为正定且有界；（）为正定且有界；则系统原点平衡状态x=0为不稳定。4/4,10/184/4,10/1854 构造李亚普诺夫函数的规则化方法 变量梯度法设连续时间非线性时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态，(1)

9、设V(x)的梯度为(2)设梯度V(x)对应于有势场，则旋度rotV(x)=0，即(3)由(4)由(2),(3)定出V(x)(5)1/3,11/181/3,11/18(6)判断V(x)计算结果的正定性克拉索夫斯基方法设连续时间非线性时不变系统 Xe=0为系统孤立平衡状态，系统雅可比矩阵 克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵B，使对称阵S（x）=BF(x)+BF(x)T是负定的，那么平衡状态x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：V（x）=f(x)TBf(x)如果 则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。结论13：对连续时间线性时不变系统,矩阵A为非奇异，若A+AT为负定，则原点平衡状态x=

10、0为大范围渐近稳定。2/3,12/182/3,12/18例 确定平衡状态x=0的稳定性 解 取B=I 为对称负定阵，所以平衡状态x=0是渐近稳定的。平衡状态x=0是大范围渐近稳定的 3/3,13/183/3,13/1855 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据 线性时不变系统的稳定性判据 结论14特征值判据 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为A的最小多项式的单根。结论15特征值判据 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部

11、 结论16李亚普诺夫判据 对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个nn正定对称矩阵Q，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一nn正定对称解阵P。结论17李亚普诺夫判据推广形式 对n维连续时间线性时不变系统和任给实数0，令矩阵A特征值为i(A),i=1,2,n，则系统所有特征值均位于s平面的直线j左半开平面上，即成立Rei (A)0，使成立：(t,t0)(t0)0使上式成立，系统原点平衡状态xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。结论19基于状态转移矩阵的判据 对连续时间线性时变系统，表（t,t0）为系统状态转移矩阵，则系统唯一平衡状态xe=0在时刻t

12、0是渐近稳定的充分必要条件为，存在依赖于t0的一个实数(t0)0，使同时成立：(t,t0)(t0)0和20使成立：(t,t0)1e-2(t-t0）系统原点平衡状态xe=0为一致渐近稳定。2/2,15/182/2,15/18结论20 李亚普诺夫判据 对连续时间线性时变系统，设xe=0为系统唯一平衡状态，矩阵A(t)的元均为分段连续的一致有界实函数，则系统原点平衡状态xe=0是一致渐近稳定的充分必要条件为，对任给的一个实对称、一致有界、一致正定的时变矩阵Q(t)，即存在两个实数10和20，使有：李亚普诺夫方程 的解阵P(t)为实对称、一致有界和一致正定，即存在两个实数10和 20使有：2/2,15

13、/182/2,15/1856 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能估计 对渐近稳定的连续时间线性时不变自治系统 衰减系数定义为 最小衰减系数 设 则 1/1,16/181/1,16/1857 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据 结论20大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负定；（）当x(k)，有V(x(k)。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。结论21大范围渐近稳定判据 对离散时间非线性时不变系统，若存

14、在一个相对于离散状态x(k)的标量函数V(x(k)，使对任意x(k)n满足：（）V(x(k)为正定；（）表V(x(k)V(x(k1)V(x(k)，V(x(k)为负半定；（）对由任意非零初始状态x(0)n确定的所有自由运动x(k)的轨线，V(x(k)不恒为零；（）当x(k)，有V(x(k)。则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。1/2,17/181/2,17/18结论22特征值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态即xe=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，G的全部特征值i(G)（i=1,2,n）的幅值均等于或小于1，且幅值等于1的特征值只能为G的最小多项式的单根。结论23特征

15、值判据 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳定的充分必要条件为，G的全部特征值的幅值均小于1。结论24李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定nn正定对称矩阵Q，离散型李亚普诺夫方程GTPG-P=-Q有唯一nn正定对称解阵P。结论25扩展李亚普诺夫判据 对n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态以实数0为幂指数稳定，即G的特征值满足：i(G),01,i=1,2,n的充分必要条件为：对任一给定nn正定对称矩阵Q，扩展离散型李亚普诺夫方程 （1/）2GTPG-P=-Q 有唯一nn正定对称解阵P。2/2,18/182/2,18/18