函数的单调性与凹凸性判别.ppt

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1、函数单调性的判别法函数单调性的判别法单调区间求法单调区间求法小结小结 思考题思考题 作业作业 3.4 函数的单调性函数的单调性 与曲线的凹凸性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用1一、单调性的判别法一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性

2、却是很不方便的。定函数的单调性却是很不方便的。2 从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的角，曲线就是上升（下降）的.这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性性？回答是肯定的。？回答是肯定的。定理定理3证证应用拉氏定理应用拉

3、氏定理,得得4 解解 因为在因为在(0,2p)内内 y 1 cos x 0 所以所以,函数函数 y x sin x 在在0 2p上的单调上的单调增加增加 例例 判定函数判定函数 y x sin x 在在0 2p上的单调性上的单调性 v 定理定理1(函数单调性的判定法函数单调性的判定法)设函数设函数f(x)在在a b上连续上连续 在在(a,b)内可导内可导 (1)如果在如果在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上单上单调增加调增加 (2)如果在如果在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上单上单调减少调减少 5 因为在因为在(0)内内y 0 所以函数所以函数 y ex

4、x 1在在0 )上单调增加上单调增加 解解 函数函数y ex x 1的定义域为的定义域为()y ex 1 例例 讨论函数讨论函数 y ex x 1的单调性的单调性 注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性6方法方法问题问题如上例如上例,函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,定义定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数然后判定区

5、间内导数的符号的符号.的的临界点临界点二、单调区间求法二、单调区间求法但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调则该区间称为函数的单调区间则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间7 (1)确定函数的定义域确定函数的定义域 (2)求出导数求出导数f (x)(3)求出求出f (x)全部零点和不可导点全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断判断或列表判断 (5)综合结论综合结论 确定函数单调区间的步骤确定函数单调区间的步骤8例例.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解:令令得得故故的的单调增单调增区间为区间为的的单调减单调减区间

6、为区间为9说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点.例如例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性.例如例如,10例例解解11xy y 解解 这个函数的定义域为这个函数的定义域为()函数函数f(x)在区间在区间(0和和1 )上单调减少上单调减少 在区间在区间0 1上单调增加上单调增加 (0)(0 1)(1 )练习练习 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间 驻点驻点 x=1,不可导点不可导点 x=0,12三、利用单调性证明不等式三、利用单调性证明不等式 利用单调性证

7、明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使恒等变形（通常是移项）使一端为一端为0,另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f(x).求求验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性.与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.13例例证证14单调增加单调增加 证明证明 例例 证明证明:当当 时时,于是于是即即因此因此15例例证证 定不出符号定不出符号1617 因因为为当当x 1时时 f (x)0 所所以以f(x)在在1 )上上f(x)单调增加单调增加 练习练习 证明证明 因此当

8、因此当x 1时时 f(x)f(1)0 即即18证证 只要证只要证令令则则所以所以即即有有得得思考思考19(concave and convex)四、四、曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1，L2，L3 虽然都是从虽然都是从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却点，但它们的弯

9、曲方向却不一样。不一样。L1 是是“凸凸”弧，弧，L2是是“凹凹”弧弧，L3既有凸弧，也有既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。201.1.定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方21定义定义1恒有恒有凹凹(凸凸)图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方22 曲线弧上每一点的切线曲线弧上每一点的切线定义定义2(上上)方方,

10、称为称为凹凹 弧弧.(凸凸)凹凹弧的曲线段弧的曲线段的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的,是单增的是单增的,凸凸弧的切线斜率是弧的切线斜率是单减的单减的,是单减的是单减的.而而 利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上,随着随着x的增大的增大,都在曲线的都在曲线的下下23定理定理2 2二阶导数二阶导数,凹凹(凸凸)2.凹凸性的判别法凹凸性的判别法24证证即即这说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方,Taylor公式公式即即f(x)是凹的是凹的.25观察与思考观察与思考:f(x)的图形的凹凸性与的图形的凹凸性与f (x)的单调性的关系的单调性的关系

11、.1)f(x)的图形是凹的的图形是凹的 2)f(x)的图形是凸的的图形是凸的 f (x)单调增加单调增加;f (x)单调减少单调减少.v 定理定理2 2(曲线凹凸性的判定法曲线凹凸性的判定法)设设f(x)在在a b上连续上连续 在在(a b)内具有二阶导数内具有二阶导数.若在若在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上的图形是上的图形是凹的凹的 若在若在(a b)内内f (x)0 则则f(x)在在a b上的图形是上的图形是凸的凸的 26例例解解注注 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.271.1.定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点.几何上几

12、何上五、曲线的拐点及其求法五、曲线的拐点及其求法(inflection point)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点拐点28方法：方法：2.拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件拐点的必要条件具有二阶导数具有二阶导数,则点则点(1)(2)是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为(或或x0为为二阶导数不存在的点二阶导数不存在的点)29 求拐点一般步骤求拐点一般步骤30例例解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点3132例例解解33例例解解拐点拐点拐点拐点不存在不存在定义域为定义域为(1)(2

13、)(3)列表列表34解解例例35解解例例36六、小结六、小结 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用应用.单调性的单调性的应用应用:改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点:凹凸性凹凸性;拐点拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向研究曲线的弯曲方向:凹凸性凹凸性的的应用应用:利用利用凹凸性凹凸性证明不等式证明不等式.37思考与练习思考与练习上上则则或或的大小顺序是的大小顺序是()提示提示:利用利用单调增加单调增加,及及B1.设在设在38 .2.曲线曲线的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:及及 ;3.3.39证证 法一法一 用单调性证用单调性证.设设f(x)=sinx/x法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.3.3.设设则则即即40作业作业习题习题3-4(1513-4(151页页)3.(奇奇)4.(奇奇)7.(奇奇)8.(奇奇)9.（奇）（奇）11.12.41