高中数学必修一2.5函数模型及其应用导学案.doc

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1、2.5 函数模型及其应用2.5.1 几种函数增长快慢的比较一 教学目标：1通过计算与作图，比较幂函数、指数函数、对数函数的增长差异；2结合实例，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.二 学习重、难点：重点：同类函数增长快慢差异.难点：不同函数增长快慢差异. 三 方法指导：1、结合图形，分析同类函数中参数变化对增长速度的影响.2、结合图形，分析不同函数增长速度的差异.3、要注意范围不同，结论可能不同.四 自主学习：认真阅读教材P125-P129，对照学习目标，完成导学案，适当总结.1增长速度在图象上怎样分析？ 如图，哪个函数增长得快？如何分析？2同类函数增长快慢比较（1）指数

2、函数 作出几个具体函数的图象，比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： （2）对数函数 作出几个具体函数的图象，比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： （3）幂函数 作出几个具体函数的图象（注意要在中分别找几个代表），比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： （4）一次函数 作出几个具体函数的图象，比较它们的增长速度.分析参数变化对增长速度的影响. 结论： 3不同函数增长速度比较 （1）指数函数与幂函数. 它们的增长速度都是越来越 ，当时， 总是在 的上方；当时， 当取足够大时， 的图象总是在 的上方； 结论：从整体上看， 比 增长得快.

3、 （2）对数函数与幂函数. 它们的增长速度都是越来越 ，当时， 总是在 的上方；当时， 当取足够大时， 的图象总是在 的上方；结论：从整体上看， 比 增长得快.（3）指数函数、对数函数和幂函数在上都是增函数，从总体上看，当取足够大时，总有 五 课堂互动探究：（一）一次函数模型的应用例1春节期间，某电信公司推出“亲情卡”、“学生卡”两种资费，每月（30天）的通话时间（分）与话费（元）的关系如图所示：0（30，15）/分/元学生卡029（30，35）/分/元亲情卡（1）分别求出两种资费话费与通话时间的函数关系式；（2）试分析在一个月内使用哪种卡划算？解(1)由图，设 得 （2）令，则当时，两种资费

4、相等；当时，选择“学生卡”便宜；当时，选择“亲情卡”便宜.点评：本题由于过原点的直线是正比例函数的图象，因此运用待定系数法求得解析式，然后利用函数解析式解决了问题.借助函数图象表达题目中的信息，此时，读懂图象是关键.变式练习1一报摊主从报社买进报纸的价格是每份0.2元，卖出的价格是每份0.3元，卖不出的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（30天）里有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同.他应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每天所获利润最大？并计算他一个月最多可赚多少钱？解：设每天从报社买进报纸份（），则内是增函数，即摊主每

5、天从报社买进400份报纸时，每月利润最大，最大值为870元.（二）指数函数、对数函数模型的实际应用例2在一次全国政协会议上，一位政协委员提出我国正在进入一个新的生育高峰，因此计划生育政策应当继续执行.现某县有人口100万人，如果年自然增长率为1.2%,回答下面问题：（1） 写出该县人口总数（万人）与年份的函数关系式；（2） 计算10年后该县人口总数（精确到0.1万人）；（3） 计算大约多少年后该县人口总数将达到120万人（精确到1年）.解：（1）（2）（3）令，则（年）大约15年后该县人口数将达到120万人.点评：本题通过观察1年后、2年后、3年后人口总数与年份的关系式找出规律，进而得出一般函

6、数关系式.用文字语言表达题目中的信息时，关键是读懂信息，及时翻译成数学语言.变式练习2O1257我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量与关税税率的关系式近似满足（其中为关税的税率，且，为市场价格，为常数），当时的市场供应量曲线如图.（1） 根据图象，求的值；（2） 设市场需求量为，它近似满足时的市场供应价格称为平衡价格.当市场平衡价格控制在不低于9元时，求关税税率的最小值.解：（1）由已知，得 得（3） 当时， 即，由得令 由分析可知，当时，此时所以最小关税税率定为.六 当堂检测1某厂原来月产量为，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份的产量为，则（ ） 无法

7、判断解析：选.2.若，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 解析：选A.作图即可.3.某动物数量（只）与时间（年）的关系为设第一年有100只，则到第七年它们发展到（ ）A.300只 B.400只 C.500只 D.600只解析：选A.由于第一年有100只，得，甲OtS乙4.甲乙两人在一次赛跑中，路程S与时间的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多C.甲乙两人的速度相同 D.甲先到达终点解析：选D.当时，说明甲乙同时出发，甲跑全程的时间少于乙的时间，所以甲先到终点.七 课堂小结：1直线上升、指数爆炸、对数增长2关键读懂图文表达的信息，读图首先明确横

8、轴与纵轴的含义，明确一个坐标的含义八 课堂反思：九 课后作业：1.课本P130 习题10 1、2题解：略.（答案详见教师用书）2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中Q表示燕子的耗氧量.（1）计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解析：（1）由题意知，当燕子静止时，速度为0，所以燕子静止时的耗氧量是10个单位.（2）2.5.2 形形色色的函数模型一 教学目标：1理解函数模型的应用；2掌握求解数学应用题的步骤.二 学习重、难点：重点：求解数学应用题.难点：模型的选择与建

9、立过程. 三 方法指导：1、准确理解题目中的信息，可以用自己喜欢的表达方式来“翻译”信息.2、建模后要验证模型的准确性、合理性和实用性.四 自主学习：认真阅读教材P132-P134，对照学习目标，完成导学案，适当总结.1数学建模及建模过程 阅读课本P134，用简短的语言描述建模的过程 2具体怎样建模？阅读课本P132-P134 例题，概述怎样建模？ 12345356.999.01113.尝试建模有一组数据如图，则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是（ ）A.指数函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数五 课堂互动探究：（一）根据数量关系建模例1某桶装水经营部每天的房租

10、、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元. 销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240日均利润/元28068010001240140014801480解析：所以，定价为11元或12元可获得最大利润.解析二：观察发现，单价每提高1元，日均销量减少40桶，故设单价定位时的利润为元，则对称轴为，所以当时同时取得最大值.点评：找出实际问题中涉及的函数变量根据变量间

11、的关系建立函数模型利用模型解决实际问题.变式练习1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解：设租金提高到元时总收入元，由题意得：对称轴为所以，当时，每天客房的租金总收入最高.（二）建立恰当的模型例2 某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的

12、产量.厂里分析，产品的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？解析：略.（过程详见课本P132-P134）点评：根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程：收集数据画散点图选择函数模型求函数模型检验符合实际，用函数模型解释实际问题；不符合实际，则重新选择函数模型，直到符合实际为止.变式练习2某同学完成一项任务共花去9个小时，他记录的完成工作量的百分数如下：时间/小时123456789完成百分数1530456060708090100Oh如果用来表示h小时后完成的工作量的百分数，请问是多少？求

13、出的解析式，并画出图象；解：，六 当堂检测1. 向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（ ）.解：选A.横轴表示高度，纵轴表示体积.从左往右看，当增加的高度相同时，体积增加量越来越多，也就是说，体积增加得越来越快，所以曲线会越来越陡.2. 某种生物增长的数量与时间的关系如下表：下面函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）.A B 123138C D 解：选D. 模拟函数的优劣，主要看误差是否最小，其次还要看增减趋势等是否与实际相符.本题中，（1,1）不满足A选项；（3,8）不满足B选项和C选项；而三组数据均满足D选项.所以D选项是较好的模拟函

14、数.3. 某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（ ）.A. 97年 B. 98年 C. 99年 D. 00年解：选B.97年增长率约为；98年增长率为；99年增长率小于；00年增长率小于.4. 某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y万元与其定价x的函数关系是 .解： ，又，答案为，.5. 某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36. 则平均每年应降低成本 %.解：设每年平均降低，设2002年成本为1，则2004年成本应为，由题意，2004年成本应为，则.所以，答案为20.七

15、 课堂小结：1利用数学模型解决数学实际问题的步骤.2怎样判断模型是否合适？八 课堂反思：九 课后作业：1.课本P136 习题11 1、2、3题解：略.（答案详见教师用书）2. 某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位为：元）与上市时间t（单位：天）的数据如表：时间/t50110250种植成本/Q150108150（1）根据表中数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：.（2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解：有表中数据可知，当时间t变化时，种植成本Q并不是单调的，故只能选取，将数据一次带入，得：即 （2）所以，当t=150天时，西红柿种植成本最低为100元3.某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个.商品经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元则日销售量就减少5个.若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价元，每日利润元.当时，有即在商品提价时，当时，每日利润最大为500元.当时，有即在商品降价时，当时，每日利润最大为490元.因为500490，所以此商品的定价应定为每个20元.