【教学课件】第八节复系数与实系数多项式的因式分解.ppt

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1、1第八节第八节 复系数与实系数多项式的复系数与实系数多项式的因式分解因式分解 一、复系数多项式一、复系数多项式 二、实系数多项式二、实系数多项式2 2009,Henan Polytechnic University28 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式1.代数基本定理代数基本定理一、复系数多项式一、复系数多项式 若若 则则 在复数域在复数域上必有一根上必有一根 推论推论1（代数基本定理的等价叙述代数基本定理的等价叙述）若若则存在则存在使使即，即，

2、在复数域上必有一个一次因式在复数域上必有一个一次因式3 2009,Henan Polytechnic University38 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式推论推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即 则则 可约可约 2.复系数多项式因式分解定理复系数多项式因式分解定理若若 则则 在复数域在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积上可唯一分解成一次因式的乘积 4 2009,Henan Polytechn

3、ic University48 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式推论推论1推论推论2若若 则则 在在 其中其中 是不同的复数，是不同的复数，上具有标准分解式上具有标准分解式复根（重根按重数计算复根（重根按重数计算）若若 ，则，则 有有n个个5 2009,Henan Polytechnic University58 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第

4、一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式二、实系数多项式二、实系数多项式 命题命题：若：若 是实系数多项式是实系数多项式 的复根，则的复根，则 的共轭复数的共轭复数 也是也是 的复根的复根 若若 为根，则为根，则两边取共轭有两边取共轭有 也是为也是为 复根复根 证：证：设设6 2009,Henan Polytechnic University68 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式实系数多项式因式分解定理实系数多项式因式分解定理 ，若，若

5、，则则 可唯一可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 证：对证：对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳 时，结论显然成立时，结论显然成立.假设对次数假设对次数n的多项式结论成立的多项式结论成立设设 ，由代数基本定理，由代数基本定理,有一复根有一复根 若若 为实数为实数,则则 ，其中，其中 7 2009,Henan Polytechnic University78 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式若若 不为

6、实数，则不为实数，则 也是也是 的复根，于是的复根，于是 设设 ，则，则 即在即在R上上 是是 一个二次不可约多项式一个二次不可约多项式从而从而 由归纳假设由归纳假设 、可分解成一次因式与二次可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积不可约多项式的乘积 由归纳原理，定理得证由归纳原理，定理得证 8 2009,Henan Polytechnic University88 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式在在R上具有标准分解式上具有标准分解式推论推论1

7、其中其中且且 ，即，即 为为R上的不可约多项式上的不可约多项式.9 2009,Henan Polytechnic University98 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式推论推论2 实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二次不可约多项式，所有次数次不可约多项式，所有次数 3的多项式皆可约的多项式皆可约.10 2009,Henan Polytechnic University108 8 8 8 复系数与

8、实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式分别在实数域与复数域上分解因式分别在实数域与复数域上分解因式例例1(1)(2)解解(1)11 2009,Henan Polytechnic University118 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式在复数域上的分解式为在复数域上的分解式为:在实数域上的分解式为在实数域上的分解式为:所以

9、所以,12 2009,Henan Polytechnic University128 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式(2)所以所以,在实数域与复数域上的分解式分别为在实数域与复数域上的分解式分别为:13 2009,Henan Polytechnic University138 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式

10、多项式多项式例例2分别求以分别求以1，1，-2，3+i,，1-i为根的次数最低的复为根的次数最低的复系数和实系数多项式系数和实系数多项式.解解(1)所求的复系数多项式为所求的复系数多项式为(2)因实系数多项式以因实系数多项式以3+i,，1-i为根为根,故故3-i,，1+i也是也是所求多项式的根所求多项式的根,所以所求多项式至少有所以所求多项式至少有7个根个根.分别为分别为:1，1，-2，3+i，3-i，1+I，1-i.14 2009,Henan Polytechnic University148 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式

11、分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式从而从而,所求多项式为所求多项式为15 2009,Henan Polytechnic University158 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式附：单位根、单位原根附：单位根、单位原根定义定义1 多项式多项式在复数域上的任一根都称为在复数域上的任一根都称为n 次单位根次单位根.事实上事实上,在复数范围内在复数范围内 的的n个复根为个复根为这里这里16 2009,

12、Henan Polytechnic University168 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式定义定义2 若若是是 的全部根，的全部根，则称则称 为为n 次单位原根（简称原根）次单位原根（简称原根）.也就是说也就是说的任一根，都可经的任一根，都可经 表示表示.易知如下性质易知如下性质:17 2009,Henan Polytechnic University178 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实

13、系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式 解解例例3 3(1)(1)求求 在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式.(2)(2)求求 在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式.（3）给出给出在在 上与在上与在 上的标准分解式上的标准分解式.18 2009,Henan Polytechnic University188 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式 在实数域范围内在实数

14、域范围内 在复数范围内在复数范围内 有有n个复根，个复根，其中其中（3）19 2009,Henan Polytechnic University198 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式当当n为奇数时为奇数时 20 2009,Henan Polytechnic University208 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项

15、式多项式多项式多项式当当n为偶数时为偶数时 21 2009,Henan Polytechnic University218 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式附附:(根与系数的关系根与系数的关系)设设n次多项式次多项式的的n个根是个根是这个定理称为韦达定理这个定理称为韦达定理.则有则有22 2009,Henan Polytechnic University228 8 8 8 复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解复系数与实系数多项式的因式分解第一章第一章第一章第一章 多项式多项式多项式多项式例例4 已知多项式已知多项式试求试求 的所有根的所有根.解解因实系数多项式有一虚根因实系数多项式有一虚根-2+i,根据实系数多项式根据实系数多项式的虚根成对定理的虚根成对定理,还有根还有根-2+i,为为则有韦达定理有则有韦达定理有:从而从而,所以所以,所求所求 的所有根为的所有根为设设 的第三根的第三根有一根有一根-2+i，