第五章频率分析法课件.ppt

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1、第五章 频域分析法频率法频率法的特点：1、不必直接求解系统的微分方程，而间接的运用系统的开环特性分析闭环的响应；2、频率特性具有明确的物理意义，很多元部件都可以用实验方法确定，进而可计算传递函数；3、应用广泛，适用于某些非线性系统；4、频域法也是一种图解的方法；5、利用频域法可以设计出能有效抑制噪声的控制系统。2019/3/2351 频率特性 一、基本概念 系统的频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应 一个稳定的系统，假设有一个正弦输入信号：r(t)=Arsin(t)在稳态的情况下，系统的输出信号以及系统所有其他点的信号均是正弦的，则稳态输出可写为：c(t)=Acsin(t+)当保持Ar不变，

2、逐次改变频率，则可以得到一系列稳态输出的振幅Ac及相位差，则：MAc/Ar 幅频特性 相位差相频特性2019/3/23二、求取频率特性的数学方法 urucur 以上图所示的RC网络为例进行说明,它的传递函数为：(s)=Uc(s)/Ur(s)=1/Ts+1(T=RC)若输入信号为：ur=Arsin(t)则取拉氏变化：Ur(s)Ar2/(s2+2)所以系统的输出为：动态动态分量分量稳态稳态分量分量2019/3/2301/2T1/T2/T3/T4/T5/T1/1+2+T210.890.7070.450.320.240.200-arctanT0-26.6-45-63.5 -71.5-76-78.7-9

3、0 1/T2/T3/T4/T 5/T00.20.40.60.81.01/T2/T3/T4/T 5/T0-100-80-60-40-202019/3/23 由上图曲线可知，输入电压频率较低时，输出和输入的幅值几乎相等，相角滞后不大；当增大时，输出幅值减小，相角滞后增大；趋于无穷时，输出幅值为0，相角滞后90。函数1/(1+j T)完整的描述了网络在正弦输入下的稳态输出电压幅值和相角随正弦输入信号频率变化的规律，把1/(1+j T)称为网络的平率特性。因此，对于任何线性定常系统，(j)(s)|s=j 故 幅频特性M()|(j)|相频特性()(j)因此，已知一个系统的微分方程或传递函数，只要将复变量

4、s置换成纯虚变量j，就可以得到系统频率特性的数学表达式，并依次作出频率特性曲线。2019/3/23 频率特性、传递函数以及微分方程一样，都表征了系统的运动规律，这也是频率法能够从频率特性出发研究系统的理论依据，它们三者之间的关系如下：微分方程微分方程频率特性频率特性传递函数传递函数系统或元件系统或元件s=d/dts=jj=d/dt2019/3/23三、频率特性图示法1、直角坐标图 幅频特性：纵坐标为M；横坐标为，线性分度 相频特性：纵坐标为，线性分度；横坐标为，线 性分度，的单位是度或者弧度2、极坐标图 频率特性 (j)|(j)|(j)M (j)可表示成模为M和相角为(反时针方向为正)的矢量。

5、当输入信号的频率从0到变化时，模值M和相角也随之变化，因而矢量(j)的端点在复平面内绘制出一条轨迹，称为极坐标图。2019/3/233、对数坐标图伯特图(H.W.Bode)伯特图包括对数幅频和对数相频两条曲线，是频率法中广泛使用的一组曲线。对数频率用特性曲线的横坐标表示频率，并按对数分度，单位是1/s。对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，线性均匀分度，单位是分贝，记dB。对数幅频特性定义如下：L()20lgM()对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。0123lg-0.10120.1 0.20.4110100十倍频程十倍频程对数分度线性分度2019/3

6、/23采用对数坐标图的优点是：(1)可以将幅值的乘除转化为加减；(2)可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线；(3)扩大了研究问题的视野。在一张图上，既可以幅频特性的中、高频段特性，又能画出其低频特性，而低频特性对于分析、设计控制系统来说是及其重要的。12345678910lg00.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.95412019/3/2352 典型环节的频率特性一、比例环节(放大环节)传递函数：G(s)=K 频率特性：G(j)K 幅频特性：M()=|G(j)|=K 相频特性：()=G(j)=K=0 对数幅频特性：L20lgM()=20lgK 相频特性：(

7、)=02019/3/23L/dB1(0)1010001(0)1010020lgK比例环节的伯特图K0比例环节的幅相曲线（极坐标图）比例环节的对数幅频是一条通过纵轴上的20lgK(dB)且平行于横轴的直线，其相频特性是一条和横轴重合的直线。2019/3/23二、积分环节 传递函数：G(s)=1/s 频率特性：G(j)1/j 幅频特性：M()=|G(j)|=1/相频特性：()=G(j)=-90 对数幅频特性：L20lgM()=20lg(1/)=-20lg 相频特性：()=-90(与无关的常值)2019/3/23L/dB0.1110-900.111040积分环节的伯特图20-20积分环节的幅相曲线（

8、极坐标图）0j 积分环节的对数幅频是一条在1处通过横轴（0dB）、斜率为20dB/10倍频程的直线，其相频特性是一条90的且和横轴平行的直线。特征点：特征点：1，L0dB2019/3/23三、微分环节 传递函数：G(s)=s 频率特性：G(j)j 幅频特性：M()=|G(j)|=相频特性：()=G(j)=90 对数幅频特性：L20lgM()=20lg 相频特性：()=90(与无关的常值)2019/3/23微分环节的幅相曲线（极坐标图）0j 积分环节的对数幅频是一条在1处通过横轴（0dB）、斜率为20dB/10倍频程的直线，其相频特性是一条90的且和横轴平行的直线。特征点：1，L0dBL/dB0

9、.1110900.111020微分环节的伯特图20202019/3/23四、惯性环节 传递函数：G(s)=1/(Ts+1)频率特性：G(j)1/(jT+1)幅频特性：M()=|G(j)|=1/(T)2+1)相频特性：()=G(j)=-arctanT 对数幅频特性：L20lgM()-20lg(T)2+1 当1/T时，L=-20lg10(扩展为只要1/T)在转折频率1/T处，近似精度最低，其最大误差为：20lg(T)2+1|1/T=-20lg3=-3dB 定义1/T为特征点，此时 M(1/T)=0.707,L(1/T)=-3dB2019/3/23特征点：特征点：1/T时时 L-3dB,45惯性环节

10、的幅相曲线（极坐标图）=00j1=L/dB1/T1/T10/T10惯性环节的伯特图20近似特性10精确特性9045202019/3/23五、一阶微分环节 传递函数：G(s)=s1 频率特性：G(j)j1 幅频特性：M()=|G(j)|=()2+1 相频特性：()=G(j)=arctan 对数幅频特性：L20lgM()=20lg()2+1 相频特性：()=arctan 2019/3/23特征点：特征点：1/时时 L3dB,45一阶微分环节的幅相曲线（极坐标图）0j1L/dB1/T1/T10/T10一阶微分环节的伯特图20104590+202019/3/23六、振荡环节 频率特性为：对数幅频特性为

11、：相频特性为：2019/3/23 特征点一：n，L20lg1/2，90 0时，L1，0；时，L0，180，画出系统的幅相特性曲线如下所示：0100.80.40.602019/3/23 绘制振荡环节的对数幅频特性的方法与惯性环节一样，首先绘制渐近特性，然后在此基础上进行修正，以求取准确特性。当n时，则略去/n,近似取 L20lg|G(j)|20lg1=0 当n时，则略去1和2/n，近似取 L20lg|G(j)|20lg(/n)2=-40lg(/n)当n时,为转折频率，此时渐近特性与精确特性的误差为：对于不同的阻尼比，误差是不同的，列表如下所示：2019/3/230.10.20.30.40.50.

12、71.0误差(dB)+14+8+4.4+2.00-3.0-6.01020-10-20-30-400.050.21.0振荡环节对数幅频特性400.7072019/3/23 将r代入M()，得峰值Mr=1/(212)当0.707时，没有峰值，M()单调衰减 当0.707时，Mr=1,r=n 当1，r n,M()出现峰值，且越小，峰值及峰值频率越大。相频特性为：特征点二：峰值频率r=n1-22 0n0-90-1802019/3/23 相频特性和幅频特性一样，它既是频率的函数，又是阻尼比的函数，其对数相频特性如下图所示：-/2-0.050.7070.2振荡环节对数相频特性/n12019/3/23七、二

13、阶微分环节 传递函数：G(s)=2s22s1 频率特性：G(j)2(j)22(j)1 对数幅频特性：L20lgM()=20lg(1-22)2+(2)2 相频特性：()=G(j)=arctan 2/(1-22)当0时，M1，0；当时，M，180，系统的幅相曲线如下所示：010 02019/3/23 从形式上看，二阶微分环节的频率特性是振荡环节频率特性的倒数，因此，二者的伯特图对于横轴互为镜像，如下图所示：二阶微分环节的伯特图1/T90180L/dBn402010n+400.1n特征点：特征点：1/时时 L20lg2,902019/3/23八、一阶不稳定环节 传递函数：G(s)=1/(Ts1)频率

14、特性：G(j)1/(jT1)幅频特性：M()=|G(j)|=1/(T)2+1)对数幅频特性：L20lgM()20lg(T)2+1 相频特性：()=-arctan(-T)2019/3/23特征点：特征点：1/T时时 L-3dB,+45一阶不稳定环节的伯特图L/dB1/T10/T102020101/T-180-90一阶不稳定环节的幅相曲线=00j-1=2019/3/23九、延迟环节 传递函数：G(s)=e-s 频率特性：G(j)e-j 幅频特性：M()=|G(j)|=1 相频特性：()=G(j)=-对数幅频特性：L20lgM()20lg1=0 相频特性：()=-对数幅频是与无关的与0dB线重合的直

15、线；相频特性线其值与频率成反比，比例系数为延迟时间。2019/3/23延迟环节的伯特图L/dB1/10/1020106002004001/10/10延迟环节的幅相特性图2019/3/23例51 设系统的传递函数为G(s)=1/(0.5s+1)(=K/(Ts+1),试求输入信号r(t)=10sin6.28t时，系统的稳态输出c(t)。解：根据频率特性的概念，系统的稳态输出是和输入相同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生变化。(1)求相位差()(=6.28s-1)=-arctan T=-arctan(6.280.5)arctan3.14=-72.4(2)求幅频M()M=1/(T)211/(6.280

16、.5)21 0.3 则输出的振幅值AcArM100.33(3)稳态输出c(t)c(t)=Acsin(t+)=3sin(6.28t-72.4)2019/3/23例52 已知一RLC无源网络，当f2Hz时，对数幅频为L0dB,相频90，求其传递函数Uc(s)/Ur(s)。解：RLC网络的传递函数的形式为典型二阶系统的传递函数的形式，同时利用振荡环节特征点的概念，只要求出和n值即可。(1)=2f23.14212.56时，90，说明此时的12.56即为转折频率n。(2)由 L20lgM=20lg1/2|=n=0(3)得：1/21 0.5(4)(2)RLC网络传递函数为：2019/3/2353 控制系统

17、开环频率特性 上图所示得单位负反馈系统，其开环传递函数G(s)为回路中各个串联环节的3传递函数的乘积，即：从而得系统开环对数幅频和对数相频特性为：G1G2G3G4RC-2019/3/23一、开环幅相特性得绘制(概略曲线)例53 某零型单位负反馈控制系统得开环传递函数为G(s)=K/(T1s+1)(T2s+1),试绘制系统的开环幅相曲线。解：由系统的开环传递函数可得：则有：G(j0)=K0,G(j)=0-180,则系统的开环幅相特性线如下图所示：结论：零型系统0时的幅值恰好是开环传递系数KK002019/3/23 在上例中，包含了两个惯性环节，故当时，幅相曲线趋于0-180。通过分析惯性环节的个

18、数，可得若系统包含n各惯性环节，则必趋于0n(-90)。n10K232019/3/23例54 某单位负反馈控制系统的开环传递函数为：G(s)=K/s(T1s+1)(T2s+1),试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统的开环频率特性为：显然有G(j0)=-90,G(j)=0-270,系统的概略幅相曲线如下图所示：00交点坐标的求法交点坐标的求法2019/3/23根据以上例子可知，如果系统的传递函数具有以下形式：则系统的幅相曲线具有以下规律：(1)为零时，系统的特点完全取决于K和积分环节的个数；(2)0型系统起点为正实轴上一点，型及型以上系统的起点幅值为无穷大，相角为90，为积分环节个数；(3)当传递

19、函数分母阶次n大于分子阶次m时，各型系统奈氏曲线终点幅值为零，相角为(n-m)90；(4)奈氏曲线与坐标轴的交点的求法：将频率特性分解为实频特性P()和虚频特性Q()，将P()0或Q()0时的频率代入相应的Q()或P()即可得曲线与坐标轴的交点。2019/3/23二、伯特图的绘制绘制系统对数相频特性的步骤：1、在半对数坐标纸上分别绘制出各环节的相频特性线；2、将各个环节的相频特性曲线沿纵坐标方向相加，而得系统开环对数相频特性曲线G(j)。当时，G(j)(n-m)90;当0时，G(j)90。2019/3/23绘制对数幅频特性线得步骤：1、确定出系统得开环增益K，并计算20lgK;2、确定各有关环

20、节得转折频率，并把有关的转折频率标注在半对数纸上的横轴上；3、在对数坐标纸上确定1且横坐标等于20lgKdB的点A，过A做一条直线，使其斜率等于20dB/十倍频程；(当0，1，2时，斜率分别为0,20,40/10倍频程)4、从低频段第一个转折频率开始做斜线，该直线的斜率等于过A点直线的斜率加上这个环节的斜率，这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减；5、高频段最后的斜率应等于20(n-m)dB/十倍频程；6、若系统中有振荡环节，当0.4时，需要对L()进行修正。2019/3/23例55 已知系统的开环传递函数为G(s)=40/s(s+4)，试作出系统的开环伯特图。解：做L()(1)G(s)=40

21、/s(s+4)=10/s(0.25s+1)因此 K10，20lgK=20dB，14 (2)在半对数坐标纸上确定A(20dB,1)点，过点A做一20dB/十倍频程的斜线；(3)过1做垂线，交斜线于点B，过B点做40dB/十倍频程的斜线，得L()线，如下图所示。做对数相频曲线()：系统由放大、积分、惯性三个环节组成，则：()1230(-90)+(-arctanT)因此只要从90起做一个惯性环节得相频即可得到系统的相频特性曲线。2019/3/231411402040-20BA-4014114090-90-180-1352019/3/23例56 已知一单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的开环

22、对数幅频L和相频。解：做L：(1)由系统的开环传递函数可得：K200/0.210010，20lgK=20dB 1=0.2，3n=10，0.2 (2)过A点(1，20)做一条20dB/十倍频程的斜线，过1=0.2的点做竖直线交斜率为20的斜线于B点；(3)过B点做斜率为40的斜线，此时斜率变为40，过2=1的点，做竖直线交斜线于点C；2019/3/23 (4)过C点做斜率为204020的斜线，过3=10的点做竖直线交该斜线于D点，然后过D点做斜率为6020(40)的斜线，从而得到对数幅频曲线L()(5)修正：因为0.2，需要进行修正。20lg(1/2)8dB 检验：最终的L线的斜率应该为20(n

23、-m)=-60,正确。系统开环对数幅频特性曲线与横轴(0dB)交点的频率称为穿越频率或截至频率c。做():由系统中各环节对数相频特性曲线叠加得到。系统开环对数相频特性曲线与180线交点的频率称为相频截至频率g。2019/3/23三、最小相角系统和最小非相角系统 一个稳定系统，若其传递函数在右半s平面无零点和极点，称为最小相角系统(最小相位系统)；否则称为非最小相角系统(非最小相位系统)。如果两个系统有相同得幅频特性，则对于大于零的任何频率，最小相角系统的相角总是小于非最小相角系统的相角。例如最小相角系统和非最小相角系统的传递函数分别为：G1(s)=(Ts+1)/(T1s+1),G2(s)=(-

24、Ts+1)/(T1s+1)(0TT1)则：两者幅频特性相同，均为(T221)/(T1221)而相频特性不同：G1(j)arctanTarctanT1 G2(j)arctanTarctanT1|G1(j)|0)2019/3/230-2-4-6dB0-45-135-180-90G1G22019/3/23 最小相角系统的幅频特性和相频特性直接关联，即一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应，反之亦然。因此对于最小相角系统，只要根据对数幅频特性曲线，就能写出系统的传递函数。由伯德图反推出系统的传递函数。这类问题已知的是最小相位系统开环对数幅频特性线L，反求所对应的G(s)。解反问题的一般方法步骤：1.根

25、据L的形状写出所对应的传递函数的标准型G(s)。2.根据一些特征点的值求取相应的参数(如K，转折频率，等)。2019/3/23 注意：（1）求参数时依据L=L1+L2+，给出某点的分贝值就写到该点所对应的环节(分段表达式）为止，一般情况下采用近似的表达式求取较方便。（2）求时，要分清图上给的转折频率n(固有频率)对应的分贝值还是峰值频率r所对应的峰值Mr(dB)。这两个计算公式是不同的。前者用20lg1/(2)计算，后者用20lg1/2(1-2)计算。同时，后者的频率关系是r=n(1-22)。2019/3/23例5-7 已知一最小相位系统开环对数幅频曲线L如下图所示。试求L所对应的G(s)。4

26、03-20-40201300.110cn-20-608dBL/dB2019/3/23解：(1)根据L的形状写出G(s)的形式(2)从低频段看出，该系统含有一个放大环节和一个积分环节，(因为初始段斜率为-20且有一定的高度)。又从转折频率后的斜率为-60，且又有凸包值8dB，说明有振荡环节。则得 (2)求K、n、的值(3)由穿越频率c=3，得(4)L(c)=20lgK20lg|=c=20lg(K/c)=0(5)因此，K/c1，则Kc32019/3/23 又知 L(n)=-20dB 则：L(n)20lgK20lg n=20lg(K/n)=20 即：n/K=10 则：n 10K30 又因 20lg(

27、1/2)8dB 可得：0.2则可得系统的开环传递函数为：.2019/3/2354 稳定判据及稳定裕度 闭环系统的稳定性是非常重要的问题，本节重点介绍奈氏判据和对数频率稳定判据，均为频率稳定判据。频率稳定判据有以下特点：1、应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性，适用于系统的开环传递函数表达式不知道时；2、便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响；3、可以用来分析某些非线性系统的稳定性。2019/3/231.1.幅角定理幅角定理.乃奎斯特稳定判据的数学基础是复乃奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数论中的映射定理，又称幅角定理。变函数论中的映射定理，又称幅角定理。映射定理映射定理设有一复变函数为设有一复

28、变函数为s s为复变量，以为复变量，以s s复平面上的复平面上的s=+js=+j表示。表示。F(s)F(s)为复变函数，以为复变函数，以F(s)F(s)复平面上的复平面上的F(s)=U+jVF(s)=U+jV表示。表示。对于对于s s平面上的每一点，在平面上的每一点，在F(s)F(s)平面上必定有一个平面上必定有一个对应的映射点。对应的映射点。2019/3/23图图 s s平面与平面与F(s)F(s)平面的映射关系平面的映射关系2019/3/23因此，如果在因此，如果在s s平面画一条封闭曲线，则在平面画一条封闭曲线，则在F(s)F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。若在平面上必有一条对应的映

29、射曲线。若在s s平面上的封闭平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的，则在曲线是沿着顺时针方向运动的，则在F(s)F(s)平面上的映平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，取决于的，取决于F(s)F(s)函数的特性。复变函数函数的特性。复变函数F(s)F(s)的相角可表示为的相角可表示为假定在假定在s s平面上的封闭曲线包围了平面上的封闭曲线包围了F(s)F(s)的一个零点的一个零点z1z1，而其他零极点都位于封闭曲线之外，则当，而其他零极点都位于封闭曲线之外，则当s s沿着沿着s s平平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，面上

30、的封闭曲线顺时针方向移动一周时，2019/3/23相量相量(s-(s-z z1 1)的相角变化的相角变化-2-2弧度，弧度，而其他各相而其他各相量的相角变化为零。量的相角变化为零。这意味着在这意味着在F(s)F(s)平面上的平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周，映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周，也就是相量也就是相量F(s)F(s)的相角变化了的相角变化了-2-2弧度。若弧度。若s s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F(s)F(s)的的z z个零点。则个零点。则在在F(s)F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转着坐标

31、原点旋转z z周。周。2019/3/23封闭曲线包围封闭曲线包围z z1 1时的映射情况时的映射情况2019/3/23用类似分析方法可以推论，用类似分析方法可以推论，若若s s平面上的封平面上的封闭曲线包围了闭曲线包围了F(s)F(s)的的p p个极点。则当个极点。则当s s沿着沿着s s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时，在平面上的封闭曲线顺时针移动一周时，在F(s)F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着坐标原点旋转绕着坐标原点旋转p p周。周。综上所述，可以综上所述，可以归纳归纳如下：如下：映射定理映射定理 设设s平面上的封闭曲线包围了复变函数平面上的封

32、闭曲线包围了复变函数F(s)的的p个极点和个极点和z个零点，并且此曲线不经过个零点，并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点，则当复变量的任一零点和极点，则当复变量s沿封闭曲线顺时沿封闭曲线顺时针方向移动一周时，在针方向移动一周时，在F(s)平面上的映射曲线按逆平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点时针方向包围坐标原点p-z周。周。2019/3/232、奈氏稳定判据 将幅角原理应用于稳定性分析，需要进行以下几项工作：(1)取F(s)1G(s)H(s):当G(s)与H(s)没有零极点对消时，F(s)的零点就是系统的全部闭环极点或全部特征根，F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)

33、有零极点对消时，F(s)的零点加上对消掉的开环极点，就是系统的全部闭环极点。(2)选择s包围整个右半s平面：因为稳定性分析就是确定特征方程在s右半平面有没有极点。s0RFRr02019/3/23 根据幅角原理，若s顺时针包围了F(s)平面上的P个极点，逆时针绕F平面的原点N圈，则系统有Z个闭环极点在右半s平面。(3)F(s)平面变换到G(s)H(s)平面：因为F(s)1G(s)H(s)，所以将F(s)平面的虚轴向右平移一个单位，就是G(s)H(s)平面，F绕F平面的原点N圈等价于绕G(s)H(s)平面的(-1,j0)点N圈。因此可以得到以下结论：若s包围了F(s)的P个极点，即有P个开环极点在

34、右半s平面，F绕G(s)H(s)平面的(-1,j0)点N圈，则系统有Z=P-N个闭环极点在右半s平面。奈氏稳定判据奈氏稳定判据：设系统有：设系统有P个开环极点在右半个开环极点在右半s平面，平面，当当从从 时，若奈氏曲线绕时，若奈氏曲线绕G(j)H(j)平面平面(-1,j0)点点N圈圈(逆时针逆时针)，则系统有则系统有Z=P-N个闭环极点在右个闭环极点在右半半s平面。当平面。当Z0时系统稳定；当奈氏曲线通过时系统稳定；当奈氏曲线通过(-1,j0)点时，系统临界稳定。点时，系统临界稳定。2019/3/23例58 单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=2/(s-1),试用奈氏判据判断系统的稳定性。

35、解：由系统的开环传递函数可知，系统的开环频率特性为：G(j)2/(j-1)系统的奈氏图如下图所示：-1-2 由题可知：P1 由图可知：N=1 则：Z=P-N=1-1=0,即系统在右半s平面没有闭环极点所以，系统稳定。2019/3/23二、奈氏稳定判据的实际方法 使用奈氏稳定判据可以方便的判断系统的稳定性，但在实际应用，还需要说明以下几点：1、G(j)H(j)与G(j)H(j)是关于实轴对称的，所以只需要绘制从0到时的开环幅相特性曲线就可以了，计算曲线包围(-1,j0)点的圈数N(逆时针方向为正)，则奈氏稳定判据变为：Z=P-2N。2、如果系统开环传递函数包含积分环节，且假定积分环节个数为，则绘

36、制开环幅相特性曲线后，应从与频率0对应的点开始，逆时针补画/4个半径为无穷大的圆。2019/3/23例59 一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/s2(Ts+1),使用奈氏判据判断系统的稳定性。解：系统的开环幅相特性曲线如下图所示：由幅相曲线可知，曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈，即N1，而开环传递函数右半s平面极点数为0，即P0，因此闭环特征方程正实部根个数为：Z=P-2N=2 因此：系统不稳定012019/3/23例510 一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=2/s(s+1)(0.1s+1),使用奈氏判据判断系统的稳定性。解：系统的开环幅相特性曲线如下图所示：由幅相曲线可知

37、，曲线不包围(-1,j0)点，而开环传递函数右半s平面极点数为0，即P0，因此闭环特征方程正实部根个数为：Z=P-N=000 因此：系统稳定+s+j-s-j12019/3/23三、对数频率稳定判据三、对数频率稳定判据 对数频率稳定判据与奈氏判据本质相同，只是它是按照对数幅频和对数相频曲线的相互关系来确定公式Z=P-2N中的N。下图为两个在右半s平面极点数为0的两个开环传递函数的奈氏曲线;c为幅值穿越频率，为幅值穿越频率，也称为截至频率也称为截至频率g为相角穿越频率，为相角穿越频率，也称为相角交接频率也称为相角交接频率-1cc1g1g曲线2曲线1系统系统1稳定稳定系统系统2不稳定不稳定2019/

38、3/23 当|G(j)H(j)|1时，相当于奈氏图上的单位圆上或外，此时对应的伯特图上对数幅频值0dB.当|G(j)H(j)|1时，相当于奈氏图上的单位圆内，此时对应的伯特图上对数幅频值-180 在g处，对数幅值0dB，相频=-180 对于曲线2：在c1处，对数幅值0dB，相频0dB，相频=-180 因此：对于曲线1，幅频特性曲线0dB的所有频率范围内相频特性曲线与-180线无穿越，在开环系统传递函数右半s平面极点数为0的情况下，闭环系统稳定。对于曲线2，幅频特性曲线0dB的所有范围内相频特性曲线对-180线有一次相角减小的穿越(负穿越)，在开环传递函数右半s平面极点数为0的情况下，闭环系统不

39、稳定。2019/3/23-90-180-270L-12019/3/23 由幅相曲线图可知，幅相曲线不包围(-1,j0)点，此结果可根据增加时幅相曲线自下向上(相角减少)和自上向下(相角增加)穿越实轴区间(-,-1)的次数决定。如果把自上向下的穿越称为正穿越，自实轴区间(-,-1)开始向下称为半次正穿越，用N表示；如果把自下向上的穿越称为负穿越，自实轴区间(-,-1)开始向上称为半次负穿越，用N表示，则N=N N。由上图对数频率特性曲线可知，在对数幅频特性曲线大于0dB的频率范围里，正负穿越次数由对数相频曲线穿越180线次数决定。此时，正负穿越含义为：增加时，相角增加的穿越为正穿越(从180线开

40、始的正穿越为半次正穿越)；相角减少的穿越为负穿越(从180线开始的负穿越为半次负穿越）。2019/3/23 当系统开环传递函数G(s)H(s)包含积分环节，且假定积分环节个数为，则在0的地方，补画一条从相角 G(j0)H(j0)+90到 G(j0)H(j0)的虚线。计算正负穿越时，应将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分。对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实根个数为Z，可以根据开环传递函数右半s平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线对180线的正负穿越之差N=N+N决定，Z=P-2N 若Z0，闭环系统稳定，否则系统不稳定。2019/3/23 例511

41、 一单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)=K/s2(Ts+1)2,试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。例 512 一单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)=200(s+1)/s(s+0.2)(s2+4s+100),试用对数频率稳定判据判断系统的稳定性。2019/3/23四、控制系统的稳定裕度四、控制系统的稳定裕度 稳定裕度是衡量一个闭环控制系统稳定程度的性能指标，常用的由相稳定裕度和模稳定裕度，它们是由系统开环对数幅频特性L和相频特性定义的。对于一个控制系统，开环增益的变化时，相频特性曲线保持不便，而对数幅频特性曲线的高度会发生变化，从而会改变c的大小。当K增大时，幅相曲线由在(-1,

42、0)间穿越，逐渐接近(-1,j0)点，直至包围(-1,j0)点，相对应的系统的稳定程度也变差，最后使得系统变为不稳定的。开环幅相曲线对(-1,j0)点的靠近程度，可以用来衡量稳定裕度的大小。2019/3/231、相位裕度 定义：180开环幅相曲线幅值为1时的相角 即：180+G(jc)H(jc)1cg 物理含义：如果系统对频率信号c相位再滞后值，系统处于临界稳定状态。值越大，其系统的稳定程度越高，工程上一般要求40(4060)2019/3/232、幅值裕度 定义：开环幅相曲线与负实轴交点的频率为g，在相角等于180的频率g上，|G(j)H(j)|的倒数为幅值裕度，即：h1/|G(jg)H(jg

43、)|物理含义：如果系统的开环放大系数增大到原来的h倍，则闭环系统就进入临界稳定状态。幅值裕度h常用分贝值Lh(dB)来表示：Lh20lg|G(jg)H(jg)|Lh值越大，其闭环系统稳定程度越高，一般要求Lh 6dB(610dB)由伯特图求和Lh时，通过量取得到的是测估值，对于系统的相对稳定性，要同时考虑二者。一个系统在阶跃信号作用下，稳定裕度量过小，阶跃响应振荡剧烈，反之，则动态响应迟缓。2019/3/2355 闭环频率特性 一、单位负反馈系统闭环频率特性的绘制 G(s)F(s)R(s)C(s)-如上图所示的典型闭环系统，其传递函数为：H(s)=G(s)/1+G(s)H(s)故其闭环频率特性

44、H(j)为：H(j)=G(j)/1+G(j)F(j)通常G(j)和F(j)都是由一些基本单元串连组成的，所以系统的开环频率特性图很容易绘制，但是系统的闭环特性很难绘制，因为对数运算对加法是无能为力的。2019/3/23 原则上将讲，要从系统的开环频率特性图绘出闭环频率特性图只能逐个频率点做复数运算。在自动控制技术发展的过程中，为了简化工程作图的过程，人们编制了一些专用的图表，以下简单介绍几种图表。1、等M圆图(等幅值轨迹)在给定的角频率下，一个单位负反馈系统的G(j)是一个复数，表现为一个确定的点，则由G(j)可以确定该系统的H(j)。把复数平面上具有相同的模|H(j)|的各点连成曲线，就是等

45、M圆图，如同地图上的等高线。则根据G(j)点在复数平面上的位置，就可以直接读出对应的|H(j)|的值了。2019/3/232、等N圆图(等相角轨迹)与等M圆图的基本思想相同，利用G(j)和H(j)之间的对应关系，在复数平面上绘出对应的闭环频率特性函数H(j)的幅角值(H(j)相同的点的轨迹，就是等N圆图。所用的等N圆图都是通过原点和(-1,j0)点的。由于tg tg()，所以互差180的两个值对应与同一个N值，也就是对应于同一个等N圆。因此在利用N圆确定闭环相频特性函数时，最好从低频段开始，逐渐提高频率，同时逐点判断值，以保持闭环相频特性函数是连续的。等N圆和等M圆的用法：将等N圆和等M圆绘制

46、在透明片上，用它覆盖以相同比例尺绘制的G(j)图，按照G(j)曲线与等N圆交点处的诸值和值绘制闭环相频特性图。2019/3/233、尼柯尔斯图(Nichols)仿照上述的等M圆和等N圆的思想，但改为以开环频率特性的对数幅值为纵轴，以其角度值为横轴，就可以绘制出尼柯尔斯图，每条曲线上标的是闭环频率特性的对数幅值和角度值。用法：将绘有尼柯尔斯图线的透明卡叠放在同一比例尺的G(j)的对数幅相图上，由G(j)曲线与尼柯尔斯图线的一系列交点就可以绘制出闭环系统的对数幅相特性图。2019/3/23二、非单位负反馈系统的闭环频率特性 尼柯尔斯图线是根据单位负反馈系统作出的，对于非单位负反馈系统，可以先进行等

47、效变换。假设系统的闭环传递函数为：H(s)=G(s)/1+G(s)H(s)则可以改写为：H(s)=G(s)H(s)/(1+G(s)H(s)(1/H(s)其前半部分相当于单位负反馈结构，可以计算出其20lg(GH/(1+GH),然后和1/H(j)串连，即可得系统的对数幅频和相频：20lgM=20lg|GH/(1+GH)|-20lg|H|()=GH/(1+GH)H2019/3/23三、闭环频率性能指标 闭环系统的频域性能指标在很大程度上能够间接的表明系统的动态品质，主要包括以下：1、峰值Mr：幅频特性M()的最大值 Mr大，表明闭环系统对某个频率的正弦输入信号反映强烈，有共振倾向，这意味着系统的平

48、稳性差，阶跃响应将有较大的超调。一般要求Mr1.5M(0)。对于二阶系统，当0.707时，系统具有峰值：Mr=1/(212)，是的单值衰减函数。2、峰值频率r：幅频特性最大值Mr对应的频率值 r大，表明系统的快速性好 对于二阶系统，r n 1222019/3/233、闭环系统的带宽b 幅频特性下降到0.707M(0)时所对应的频率，它度量了系统具有一定信号复现能力的频率变化范围。一般情况下，系统的阶跃响应速度与b成正比，调节时间与b成反比，因此，在保证系统的合理时域指标的前提下，总是希望系统有较大的带宽。b 2fb(f-3dB)对于一阶系统，若其传递函数为G(s)=1/(Ts+1),则系统的带

49、宽频率b 1/T 对于二阶系统，若其传递函数为：2019/3/234、相频宽p：相频特性(j)等于/2时所对应的频率。p较高，说明输入信号频率较高、变化较快时，输出才能滞后/2，这意味着系统反映迅速，快速性好。5、M(0)：零频率(0)时的振幅比 具有一定幅值Ar的零输入信号，即直流信号或常值信号，如果M(0)1，则表示系统阶跃响应的终值c()等于输入，系统无静差；M(0)1,表明系统有静差。M(0)的数值与1相差的大小，反映了系统的稳态精度，M(0)越接近于1，系统的稳态精度越高。频带频带b大，峰值大，峰值Mr小，小，M(0)1,则系统的品质好，这是由频率特性分析系统性能品质的重要准则。20

50、19/3/23四、时域性能指标的估算 利用一些统计公式和图线，可以由闭环幅频M()曲线直接估算出阶跃响应的性能指标和ts。以下仅介绍两种方法：1、设稳定系统的M()曲线如下图所示M01Mr0.707M00.5M0r1b0.52019/3/23 则有：2、另一种估算公式为：0.160.4(Mr-1)100 (1Mr=1/sin1.8)ts=k/c (k=2+1.5(Mr-1)+2.5(Mr-1)2)2019/3/233、二阶系统频域响应与时域响应的关系1.0Mr0.707 由图可以看出，当00.707时，Mr不存在，而4.396为最佳阻尼比0.707时的超调量2019/3/234、高阶系统 将高