可分离变量方程(IV).ppt

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1、转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 第十二章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y(x)是方程的解,两边积分,得 则有恒等式 当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y)也是的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减

2、解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解初值问题解解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求下述微分方程的通解:解解:令 则故有即解得(C 为任意常数)所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习:解法解法 1 分离变量即(C 0)解法解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,

3、得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.有高 1m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变解解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小

4、孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由 h 降到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)找出事物

5、的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2)2)根据物理规律列方程(如:例4,例 5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:提示提示:(1)分离变量(2)方程变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业P 269 1(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解解:因积分与路径无关,故有即因此有机动 目录 上页 下页 返回 结束