《线积分及格林公式》PPT课件.ppt

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1、 曲线、曲面积分曲线、曲面积分.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式下一页上一页.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式下一页上一页曲线积分与路径无关的四个等价条件，曲线积分与路径无关的四个等价条件，重要的等价条件重要的等价条件是：是：场论初步场论初步下一页上一页梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度下一页上一页曲线积分的计算及证明曲线积分的计算及证明.对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算（）用公式直接计算（）用公式直接计算例例计算计算下一页上一页答案答

2、案 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上上关于关于x 的奇函数的奇函数 是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 L1是曲线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于y轴轴 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续,则则当当(或或y)(或或y)当当(或或x轴轴)(或或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时计算时,应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 与与积分曲线积分曲线L的对称性的对称性.下一页上一页（）用对称性及曲线方程法（）用对称性及曲线方程法补充补充例例2其中其

3、中L是圆周是圆周解解因积分曲线因积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因积分曲线因积分曲线L关于关于对称性对称性,计算计算得得是是L上上y轴轴对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数x轴轴对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数下一页上一页对称性对称性例例3解解 由于由于 有有的方程中的的方程中的x,y,z的地位完全的地位完全对称对称,下一页上一页对称性对称性1988年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)解解 对对称称性性下一页上一页例例4例例5计算下一页上一页曲线方程法曲线方程法答案答案 例例6设设 ，证明：，证明：下一页上一页.对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的

4、计算（）用公式直接计算（）用公式直接计算（2）用对称性性质）用对称性性质下一页上一页L在上半平面部分与在上半平面部分与P(x,y)为为P(x,y)为为其中其中L1是曲线是曲线L的上半平面的部分的上半平面的部分.类似地类似地,对称性质对称性质对对坐标坐标的曲线积分的曲线积分,当平面曲线当平面曲线L是分段是分段光滑的光滑的,关于关于下半平面部分的走向相反时下半平面部分的走向相反时,x 轴对称轴对称,则则y的偶函数的偶函数y的奇函数的奇函数的讨论也有相应的结论的讨论也有相应的结论.对对下一页上一页例例7直接化为定积分计算直接化为定积分计算,取逆时针方向取逆时针方向.解解 法一法一由曲线积分的性质由曲

5、线积分的性质.则则其中其中ABCDA为为下一页上一页 AB将原式分成两部分将原式分成两部分,即即曲线关于曲线关于的走向与的走向与L在下半部分的走向相反在下半部分的走向相反,法二法二被积函数为被积函数为利用利用对称性质对称性质,L在上半部分在上半部分x轴对称轴对称,y的偶函数的偶函数.原式原式下一页上一页曲线关于曲线关于L在右半部分的走向与在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反在左半部分的走向相反,被积函数为被积函数为所以所以,y轴对称轴对称,x的偶函数的偶函数.下一页上一页（3）用格林公式（包括补线法），路）用格林公式（包括补线法），路径无关、全微分条件等径无关、全微分条件等.平面闭曲线平面

6、闭曲线上的对坐标曲线积分上的对坐标曲线积分,比较简单时比较简单时,常常考虑通过常常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来计算.下一页上一页思路思路:闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式下一页上一页解解下一页上一页解解(如下图如下图)下一页上一页非常简单非常简单.此积分路径此积分路径不是闭曲线不是闭曲线!分析分析下一页上一页 利用格林公式可以简化二重积分利用格林公式可以简化二重积分则则解解 令令例例10为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域.格林公式格林公式下一页上一页解解积分与路径无关积分与路径无关 1989年研究生考题年研究生考题,计算计算,5

7、分分设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,例例11即即下一页上一页(1,0)法一法一设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,下一页上一页法二法二设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,下一页上一页 2002研究生考题研究生考题(数学一数学一)8分分内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,其起点为其起点为(a,b),终点为终点为(c,d).记记(1)证明证明曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2)当当ab=cd 时时,

8、求求I 的值的值.证证因为因为所以在上半平面内曲线积分所以在上半平面内曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)例例12下一页上一页解解(2)由于由于曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关,所以所以法一法一下一页上一页解解(2)L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法二法二设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,则则由此得由此得下一页上一页例例13 1.计算曲线积分计算曲线积分 练习练习下一页上一页答案答案 2000 2000研究生考题研究生考题求求答案答案

9、取逆时针方向取逆时针方向.2.例例14设设 的方向为逆的方向为逆时针方向，证明：时针方向，证明：下一页上一页例例15证明：证明：下一页上一页20032003年研考题年研考题(数学一数学一)(10)(10分分)已知平面区域已知平面区域L为为D的正向边界的正向边界.试证试证:证证左边左边 =右边右边 =法一法一(1)例例16下一页上一页证证(2)由于由于故由故由(1)得得下一页上一页证证法二法二(1)根据根据格林公式格林公式,得得左边左边 =右边右边 =因为因为D关于关于对称对称,所以所以下一页上一页证证法二法二由由(1)(1)知知 +下一页上一页已知平面区域已知平面区域L为为D的正向边界的正向边界.试证试证:例例17下一页上一页为连续函数，为连续函数，下一页上一页练习练习答案答案 下一页上一页练习练习答案答案 下一页上一页练习练习答案答案 精品课件资料分享 SL出品