第3章-微分中值定理与导数的应用-高等数学教学ppt课件.ppt

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1、 3.1 微分中值定理微分中值定理 3.2 洛必达法则洛必达法则 3.3 泰勒公式泰勒公式 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 3.5 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值 3.6 函数图形的描绘函数图形的描绘2/13/202313.1 微分中值定理2/13/20232一、罗尔（一、罗尔（Rolle）定理）定理定义定义 设函数设函数f(x)在区间在区间I内有定义内有定义.若点若点x0存在邻域存在邻域U(x0)I使得对任何使得对任何x (x0)（去心邻域），都有（去心邻域），都有f(x0)f(x)（或（或 f(x0)f(x)），），则称则称f(x0)为函数的

2、一个极大值（或极小值），称点为函数的一个极大值（或极小值），称点x0为为极大值点（或极小值点）极大值点（或极小值点）.极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值，极大值点与极小值点统称为极大值点与极小值点统称为极值点极值点.2/13/20233在定义中在定义中,若把不等式改为若把不等式改为f(x0)f(x)（或（或f(x0)f(x)）则称则称f(x0)为函数的一个局部最大值（或局部最小值），为函数的一个局部最大值（或局部最小值），称点称点x0为局部最大值点（或局部最小值点）为局部最大值点（或局部最小值点）.局部最值，局部最值，局部最值点可以相应地定义局部最值点可以相应地定义.显然显然,极

3、值就是局部最值极值就是局部最值,极值点就是局部最值点极值点就是局部最值点,反之则未必反之则未必.2/13/20234注注 这定理等价于：若这定理等价于：若x0是局部最值且是局部最值且f(x)在点在点x0可导可导,则则f (x0)=0.定理定理1（费马引理）（费马引理）设函数设函数f(x)在点在点x0的某个邻域的某个邻域U(x0)有定义且在有定义且在x0可导可导.若对任意若对任意x U(x0)，有，有 f(x0)f(x)（或（或f(x0)f(x)），），则则f (x0)=0.2/13/20235 闭区间闭区间a,b上的连续曲线上的连续曲线y=f(x)若在两端若在两端点等值且在点等值且在(a,b)

4、内处处存在不垂直于内处处存在不垂直于x轴的切线，则在轴的切线，则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点x 使得在该点的切线平行于使得在该点的切线平行于x轴轴.定理定理2（罗尔定理）（罗尔定理）若函数若函数f(x)满足满足(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;(3)f(a)=f(b),则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得 .几何意义：几何意义：2/13/20236例例1 设函数设函数f(x)在在0,1上连续上连续,在在(0,1)中可导中可导,且且f(1)=0.证明证明:存在存在 使得使得 .证证 令令 .那么那么,F(x

5、)在在0,1上连续、可导上连续、可导且满足且满足F(0)=F(1)=0.这说明这说明F(x)在在0,1上满足罗尔定上满足罗尔定理条件理条件,所以存在所以存在 使得使得 ,从而从而 .2/13/20237二、拉格朗日（二、拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理 定理定理3（拉格朗日中值定理）（拉格朗日中值定理）若函数若函数f(x)满足满足（1）在闭区间）在闭区间a,b上连续上连续;（2）在开区间）在开区间(a,b)内可导，内可导，则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得2/13/20238拉格朗日中值公式，还有下面几种等价形式拉格朗日中值公式，还有下面几种等价形式:;.

6、值得注意的是，拉格朗日中值公式无论对于值得注意的是，拉格朗日中值公式无论对于a b都成立，其中都成立，其中 是介于是介于a与与b之间的某一确定的数之间的某一确定的数.2/13/20239例例2 证明下面的不等式证明下面的不等式:证证 设设f(x)=arc tan x，则，则f(x)在在0,h上满足拉格朗日上满足拉格朗日中值定理的条件中值定理的条件,所以存在所以存在 (0,h)使得使得arc tan h arc tan 0=f ()h.注意到注意到f(0)=0，故有，故有arc tan h=,因为因为 ，所以，所以 即即2/13/202310推论推论2 设函数设函数f(x)和和g(x)在闭区间在

7、闭区间a,b上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导且内可导且f (x)g(x)，则在，则在a,b上有上有f(x)=g(x)+c，其中，其中c是常数是常数.推论推论1 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，在开区间上连续，在开区间(a,b)内可导且内可导且f(x)0，则，则f(x)在在a,b上为常数上为常数.2/13/202311例例3 证明恒等式证明恒等式:arcsin x+arccos x=，-1 x 1.所以由推论所以由推论1可知，可知，f(x)在在-1,1上为常数，故上为常数，故证证 因为函数因为函数f(x)=arcsin x+arccos x在在-1,1上连续，上

8、连续，在在(-1,1)内可导，且有内可导，且有2/13/202312三、柯西（三、柯西（Cauchy）中值定理）中值定理 定理定理4（柯西中值定理）（柯西中值定理）设函数设函数f(x)和和g(x)满足满足（1）在闭区间）在闭区间a,b上都连续上都连续;（2）在开区间）在开区间(a,b)内都可导内都可导;（3）对任一）对任一 x (a,b)，g(x)0,则在则在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得2/13/2023133.2 洛必达法则2/13/202314一、洛必达法则一、洛必达法则 1.待定型待定型定理定理1 设函数设函数f(x)和和g(x)满足满足（1），;（2）在点）在点

9、a的某去心邻域的某去心邻域 内都可导，且内都可导，且 ;（3）存在（或无穷大）存在（或无穷大）,则也则也 存在（或无穷大），且存在（或无穷大），且2/13/202315例例1 求求 .解解 这是这是 型待定式型待定式.利用洛必达法则得利用洛必达法则得2/13/202316例例3 求求 .解解2/13/2023172.待定型待定型定理定理2 设函数设函数f(x)和和g(x)满足满足（1），;（2）在点）在点a的某去心邻域的某去心邻域 内都可导，且内都可导，且 ;（3）存在（或无穷大）存在（或无穷大）,则也则也 存在（或无穷大），且存在（或无穷大），且2/13/202318例例5求求 .解解2/1

10、3/202319例例6 求求 .解解 取正整数取正整数 k，使其满足，使其满足 ，接连应用，接连应用 k 次洛次洛必达法则得必达法则得2/13/2023203.其它待定型其它待定型例例7 求求 .解这是解这是 -待定型，经变形后有待定型，经变形后有它是它是 待定型，应用洛必达法则得待定型，应用洛必达法则得2/13/202321例例8求求 .解解 这是这是 待定型，可变形为待定型，可变形为 ，成了，成了 待待定型定型.于是于是2/13/202322例例9求求 .解这是解这是 待定型，由对数恒等式知，待定型，由对数恒等式知，应用，应用例例8可得可得2/13/202323例例10求求 .解这是解这是

11、 待定型，经变形后有待定型，经变形后有 ，其中最右边一式的指数是其中最右边一式的指数是 待定型，应用洛必达法则得待定型，应用洛必达法则得，于是于是 2/13/202324例例11求求 .解这是解这是 0待定型，经变形得待定型，经变形得;而而 .故故 2/13/202325注意：注意：（1）每次应用洛必达法则之前必须验证两个函数之商）每次应用洛必达法则之前必须验证两个函数之商是否为是否为 或或 待定式待定式.（2）洛必达法则是求）洛必达法则是求 或或 待定式的极限的有效方法，待定式的极限的有效方法，但还应注意与其它方法相配合，才能更好发挥作用但还应注意与其它方法相配合，才能更好发挥作用.特特别，

12、在可能时先化简或做等价无穷小替换，并注意利用别，在可能时先化简或做等价无穷小替换，并注意利用已知的重要极限的结论等，常可大大简化运算已知的重要极限的结论等，常可大大简化运算.（3）洛必达法则并非万能，当不能应用洛必达法则求）洛必达法则并非万能，当不能应用洛必达法则求极限时，未必能肯定极限不存在，应试用其它办法来计极限时，未必能肯定极限不存在，应试用其它办法来计算算.2/13/202326例例12 求求 .解解2/13/202327例例13 求求 .解解 由于由于 不存在，因此洛必达法则失效不存在，因此洛必达法则失效.但但可先做简单的恒等变换再来求得极限可先做简单的恒等变换再来求得极限.2/13

13、/2023283.3 泰勒公式2/13/202329定理定理1（泰勒（泰勒（Taylor）中值定理）中值定理）如果函数如果函数f(x)在含在含有有x0的某个开区间的某个开区间(a,b)内具有直到内具有直到(n+1)阶的导数，则阶的导数，则对任一对任一x(a,b)，有，有+其中其中 ，这里这里 是是x0与与x之间的某个值之间的某个值.2/13/202330当当n=0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式:(在在x0与与x之间之间).因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.由泰勒中值定理可知，以多项式由泰勒中值定理可知，以多

14、项式Pn(x)近似表达函数近似表达函数f(x)时，时，其误差为其误差为|Rn(x)|.如果对于某个固定的如果对于某个固定的n，当，当x(a,b)时，时，则有估计式，则有估计式:及及 .由此可见，当由此可见，当 时误差时误差|Rn(x)|是比是比 高阶的高阶的无穷小，即无穷小，即 .2/13/202331在不需要写出余项的精确表达式时，在不需要写出余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可阶泰勒公式也可表示成表示成Rn(x)的表达式称为佩亚诺（的表达式称为佩亚诺（Peano）型余项，以上公式）型余项，以上公式称为称为f(x)按按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰

15、阶泰勒公式勒公式.2/13/202332 在泰勒公式中，如果取在泰勒公式中，如果取x0=0，则，则 在在0与与x之间之间.因此因此可令可令 ，从而泰勒公式变成较简单的形式，从而泰勒公式变成较简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式公式:2/13/202333例例1 写出函数写出函数f(x)=ex 的带有拉格朗日型余项的麦克劳林的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式公式.解解:因为因为f(x)=f (x)=f (x)=f(n)(x)=f(n+1)(x)=ex,所以所以f(0)=f (0)=f (0)=f(n)(0)=1,f(n+1)

16、(q q x)=eq q x,把它们代入公式得到把它们代入公式得到 ，2/13/202334同理有：同理有：2/13/202335 例例3 计算计算e的值，使其误差不超过的值，使其误差不超过10-6.解解 由例由例1的公式，当的公式，当x=1时有时有 故故 当当n=9时，便有时，便有从而从而,e的误差不超过的误差不超过10-6的近似值为的近似值为2/13/2023363.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 2/13/202337一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 根据拉格朗日中值定理可推出根据拉格朗日中值定理可推出:定理定理1 设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,

17、b)内可导内可导.(1)如果在如果在(a,b)内内f (x)0，那么函数，那么函数y=f(x)在在a,b上上单调增加单调增加;(2)如果在如果在(a,b)内内f (x)0，因此函数，因此函数f(x)在在-,-2 上单调增加上单调增加;而在区间而在区间(-2,0)内内f (x)0，因此函数，因此函数f(x)在在 0,+上单调增加上单调增加.2/13/202340例例4 证明证明:当当x 1时，时，.证证 令令 ，则，则f(x)在在 1,+上连续，在上连续，在(1,+)内内f (x)0.因此，函因此，函数数f(x)在在 1,+上单调增加，从而当上单调增加，从而当x 1时，时，f(x)f(1)=0，

18、移项后就得到所要的结论，移项后就得到所要的结论.2/13/202341二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点定义定义1 设函数设函数f(x)在区间在区间I上可导，如果在区间上可导，如果在区间I上曲线上曲线y=f(x)位于它的每一点处切线的上方位于它的每一点处切线的上方(或下方或下方)，那么，那么称称f(x)的曲线在区间的曲线在区间I上是凹的上是凹的(或凸的或凸的)，此时也称，此时也称f(x)为区间为区间I上的凹函数上的凹函数(或凸函数或凸函数).2/13/202342定理定理2 设函数设函数f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内具有二阶导内具有二阶导数，那么数，那么:(1)若

19、在若在(a,b)内内 ，则，则f(x)的曲线在的曲线在a,b上是凹上是凹的的;(2)若在若在(a,b)内内 ，则，则f(x)的曲线在的曲线在a,b上是凸上是凸的的.2/13/202343定义定义2 设设f(x)在区间在区间I上连续，上连续，x0 I(但但x0不是不是I的端点的端点).如如果曲线果曲线y=f(x)在经过点在经过点(x0,f(x0)时，曲线的凹凸性发时，曲线的凹凸性发生了改变，那么，称点生了改变，那么，称点(x0,f(x0)为这曲线的拐点为这曲线的拐点.曲线的拐点就是曲线凹凸的分界点曲线的拐点就是曲线凹凸的分界点.类似于函数极值类似于函数极值的必要条件，我们有这样的结论的必要条件，

20、我们有这样的结论:若点若点(x0,f(x0)为曲线为曲线y=f(x)的拐点，且的拐点，且 存在，则存在，则 =0.2/13/202344例例5 求曲线求曲线 的凹、凸区间及拐点的凹、凸区间及拐点.解解 ，.解方程解方程 得，得，.当当 时，时，因此，在区间，因此，在区间-,-1 上这曲线是凸的上这曲线是凸的;当当 时，时，因此，在，因此，在区间区间-1,+)上这曲线是凹的上这曲线是凹的.当当x=-1时，时，y=20，点点(-1,20)是这一曲线凹凸的分界点，是这一曲线凹凸的分界点，因此，点因此，点(-1,20)是这一曲线的拐点是这一曲线的拐点.2/13/202345注注 本题虽然当本题虽然当x

21、=0时，都不存在时，都不存在,但点但点(0，0)是曲线的拐是曲线的拐点点.例例6 求曲线求曲线 的拐点的拐点.解解 函数在定义域函数在定义域-,+)内连续，当内连续，当 时，时，当当x0时，时，因此，在区间上这曲线是凸的，因此，在区间上这曲线是凸的.当当x=0时时y=0.由定义由定义2,点点(0，0)是该曲线的一个拐点是该曲线的一个拐点.2/13/2023463.5 函数的极值与最大值最小值 2/13/202347一、函数极值的求法一、函数极值的求法 定理定理1(判别极值的第一充分条件判别极值的第一充分条件)设函数设函数f(x)在在x0处连处连续，且在续，且在x0的某去心邻域的某去心邻域 (x

22、0,d d)内可导内可导.(1)若若 时，时，而，而时，时，则，则f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值;(2)若若 时，时，而，而时，时，则，则f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值;(3)若若x (x0,d d)时，时，f (x)的符号不变，则的符号不变，则x0不是极不是极值点值点.2/13/202348 根据费马引理和定理根据费马引理和定理1,如果如果f(x)在所讨论的区间内连在所讨论的区间内连续续,除个别点外处处可导除个别点外处处可导,则可按下列步骤来求函数在该则可按下列步骤来求函数在该区间内的极值点和极值区间内的极值点和极值.(1)求出导数求出导数 ;(2)解方程解方程 ,求出求

23、出f(x)的全部驻点与不可导点的全部驻点与不可导点;(3)讨论讨论 在邻近驻点和不可导点左、右两侧符号变化在邻近驻点和不可导点左、右两侧符号变化的情况的情况,确定函数的极大确定函数的极大(小小)值点值点;(4)求出各极值点的函数值求出各极值点的函数值,就得到函数就得到函数f(x)的全部极值的全部极值.2/13/202349例例1 求函数求函数 的极值点与极值的极值点与极值.解解 在定义域在定义域 上上连续，且当连续，且当 时，有时，有易见，易见，x=1为为f(x)的驻点，的驻点，x=0为为f(x)的不可导点的不可导点.这两点这两点是否为极值点，需作进一步讨论是否为极值点，需作进一步讨论.现列表

24、如下现列表如下(表中表中 表示表示单调增加，单调增加，表示单调减少表示单调减少):2/13/202350可见可见:点点x=0为为f(x)的极大值点，极大值为的极大值点，极大值为f(0)=0;x=1为的为的f(x)极小值点，极小值为极小值点，极小值为f(1)=-3.2/13/202351定理定理2(判别极值的第二充分条件判别极值的第二充分条件)设函数设函数f(x)在在x0处具有二处具有二阶导数且阶导数且f (x0)=0，f (x0)0，那么，那么(1)当当f (x0)0时，函数时，函数f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值.注注 若在驻点x0处有f (x0)=0,则定理2失效.那么x0可能是极

25、值点,也可能不是极值点.这时,若f (x)在x0的两旁的符号明确,则可用定理1来判定.2/13/202352例例2 求函数求函数 的极值的极值.解解 求函数求函数f(x)在定义域在定义域 上的一阶与二阶导数得上的一阶与二阶导数得，.解方程解方程 得，驻点得，驻点 .由于由于 ，因此，因此，为极大值为极大值;由于由于 ，所以，所以，为极小值为极小值.2/13/202353二、最大值与最小值的求法二、最大值与最小值的求法 连续函数连续函数f(x)在区间在区间a,b上最大值与最小值的求法如上最大值与最小值的求法如下下:(1)求出求出f(x)在在(a,b)内的所有驻点及不可导点内的所有驻点及不可导点;

26、(2)计算出计算出f(x)在所有驻点、不可导点、区间端点在所有驻点、不可导点、区间端点a与与b的函数值的函数值;(3)比较比较(2)中各值的大小，其中最大者就是最大值，最中各值的大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值小者就是最小值.2/13/202354 在生产实践和科学实验中，常会遇到在一定条件下，在生产实践和科学实验中，常会遇到在一定条件下，如何使得如何使得“产量最多产量最多”、“用料最省用料最省”、“成本最低成本最低”等等问题，这类问题在数学上往往归结为求某一函数问题，这类问题在数学上往往归结为求某一函数(通常称为通常称为目标函数目标函数)的最大值或最小值问题的最大值或最小值问题.

27、这类问题也称为最优化这类问题也称为最优化问题问题.2/13/202355 这些问题的目标函数这些问题的目标函数f(x)通常存在唯一的最值且具有通常存在唯一的最值且具有下述特点下述特点:f(x)在由实际问题确定的定义域在由实际问题确定的定义域(一个有限或无一个有限或无限，开或闭区间限，开或闭区间)内可导且只有一个驻点内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点，并且这个驻点x0是函数是函数f(x)的极值点的极值点.那么，当那么，当f(x0)是极大值时，是极大值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最大值在该区间上的最大值;当当f(x0)是极小值时，是极小值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的

28、最小值在该区间上的最小值.2/13/202356例例4 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为C(x)=900+2x+0.25x2,其中其中x表示产量表示产量.求最低平均成本和相应产量的边际成本求最低平均成本和相应产量的边际成本.解解 平均成本为：平均成本为：.于是于是 .令令 ，得，得x=60.由于由于 ，所以，所以x=60为最小值点，最低平均成为最小值点，最低平均成本本 .由于由于C (x)=2+0.5x,所以所以,当产量当产量x=60时，时，边际成本边际成本C (60)=2+0.5 60=32.2/13/2023573.6 函数图形的描绘2/13/202358一、曲线的渐近线一、曲

29、线的渐近线 定义定义 若曲线若曲线C上的点上的点P沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点O时，时，点点P与某一定直线与某一定直线L的距离趋于零，则称直线的距离趋于零，则称直线L为曲线为曲线C的渐近线的渐近线.2/13/202359 通常根据图形的倾斜程度，把曲线通常根据图形的倾斜程度，把曲线C：y=f(x)的渐近线的渐近线分为三类分为三类.（1）若）若 或或 ，则称直线则称直线x=x0为为曲线曲线y=f(x)的铅直渐近线的铅直渐近线.（2）若）若 或或 ，则称直线，则称直线y=b为为曲线曲线y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线.（3）若）若 f(x)-(ax+b)=0 或或 f(x)-(

30、ax+b)=0，其中，其中a（a 0）和）和b是常数是常数,则称直线则称直线y=ax+b是曲线是曲线y=f(x)的斜渐近线的斜渐近线.2/13/2023602/13/202361例例1 求曲线求曲线 （x 1）的渐近线）的渐近线.解解 因为因为 ，所以，直线所以，直线x=1是曲线是曲线 的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线.又因为又因为 ，所以所以y=0为曲线为曲线 的一条水的一条水平渐近线平渐近线.2/13/202362若若y=ax+b为曲线为曲线y=f(x)的渐近线，不妨假定的渐近线，不妨假定 .于是于是 .因为因为x为无穷大量，所以有为无穷大量，所以有即即 .求出求出a后，即可确定后，即可确

31、定b，即，即 .反过来，如果我们能求出反过来，如果我们能求出a和和 b，则，则y=ax+b就是曲线就是曲线y=f(x)的渐近线的渐近线.2/13/202363例例2 求曲线求曲线 的渐近线的渐近线.解解 (1)由由 知知x=-1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线.(2)设设f(x)=.那么由那么由和和可知可知 y=x-1是曲线的斜渐近线是曲线的斜渐近线.2/13/202364二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘 作函数图形的一般步骤如下作函数图形的一般步骤如下:1.确定函数确定函数y=f(x)的定义域、奇偶性、周期性和有界性等的定义域、奇偶性、周期性和有界性等;2.求出一阶导数求出一阶导数

32、和二阶导数和二阶导数 在定义域内的全在定义域内的全部零点及一阶导数与二阶导数不存在的点，用这些点把部零点及一阶导数与二阶导数不存在的点，用这些点把定义域划分成几个子区间定义域划分成几个子区间;同时算出同时算出f(x)在这些点的值在这些点的值;3.确定在这些子区间内确定在这些子区间内 和和 的符号，并由此确的符号，并由此确定函数图形的升降与凹凸性，极值点与拐点定函数图形的升降与凹凸性，极值点与拐点;4.确定函数图形的渐近线确定函数图形的渐近线;5.根据以上讨论在平面坐标系上描出相应点根据以上讨论在平面坐标系上描出相应点(极限点、拐极限点、拐 点等点等)，作出函数的图形，作出函数的图形.为了把函数

33、图形作得更准确些，为了把函数图形作得更准确些，必要时还要补充一些点，如图形与坐标轴的交点；然后用必要时还要补充一些点，如图形与坐标轴的交点；然后用平滑曲线连接上述的点平滑曲线连接上述的点.2/13/202365例例3 描绘函数描绘函数 的图形的图形.解解 函数的定义域为函数的定义域为 ，且是偶函数，图形关于，且是偶函数，图形关于y轴轴对称对称.先研究函数在先研究函数在 上的图形上的图形.求出一阶导数和二阶求出一阶导数和二阶导数得导数得 ，故故 的零点为的零点为x=0;的零点为的零点为 .用这些零点用这些零点将将 分成两个子区间，列表讨论函数在分成两个子区间，列表讨论函数在 上的性上的性态态:2/13/202366因为因为 ，所以，所以y=0是图形的水平渐近线，图形无是图形的水平渐近线，图形无垂直渐近线垂直渐近线.2/13/2023672/13/202368