《复变函数留数》PPT课件.ppt

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1、第五章 留数n1 留数的概念与计算n2 用留数定理计算实积分n3 辐角原理与儒歇定理 1留数的概念与计算n1、留数的定义与留数定理 定义5.1设以为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分为在点的留数（Residue）记为：n定理6.1（柯西留数定理）在围线或复围线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则Da1a2a3anC1C2C3CnCn证：作圆周使全含于内且两两不相交，则由柯西积分定理注：留数定理：求积分转化为求留数；将积分问题转化为代数问题，即求洛朗展式的负一次幂的系数问题2、留数的求法求函数在奇点a处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-a)-1项的系数即可

2、.如果a是f(z)的可去奇点,则Resf(z),a=0,如果a是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开。如果a是极点,则有一些对求c-1有用的规则.留数的计算规则规则1 如果a为f(z)的一级极点,则规则2 如果a为f(z)的m级极点,则事实上,由于 f(z)=c-m(z-a)-m+.+c-2(z-a)-2+c-1(z-a)-1 +c0+c1(z-a)+.,(z-a)mf(z)=c-m+c-m+1(z-a)+.+c-1(z-a)m-1+c0(z-a)m+.,n令两端za,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),a,因此即得(5.2),当m=1时就是(

3、5.1)由规则1,得我们也可以用规则III来求留数:n这比用规则1要简单些.n例4计算解：在圆周的内部只有一级极点及二级极点n而由残数定理，得例5 计算 n解：只以为一级极点，而n由留数定理得3、无穷远点的留数(略）n定义5.2设为的一个孤立奇点，则称为在的留数。记为：n定理5.2若在扩充平面上只有有限个孤立奇点，设为则留数总和为0n计算的残数的方法：n例6.5计算n解：共有七个奇点：前6个根均在内部，故n而故。从而2 用留数定理计算实积分利用留数计算定积分是复变函数一个重要应用。1、被积函数-与某解析函数相关2、积分区域-化为某闭合路径 考虑如下几种形式的定积分一、计算 其中R为cos,si

4、n有理函数，并且在0,2上连续。若 R(cos,sin)为cos与sin的有理函数.可令 z=ei,则dz=ieid,f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零(没有奇点）,根据留数定理有其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.例1 计算 n解由于0p1,被积函数的分母在02p内不为零,因而积分是有意义的.由于ncos2=(e2i+e-2i)/2=(z2+z-2)/2,因此在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.n若R(cos,sin)为的偶函数，还可以求如下形式的积分n例3：

5、计算积分解：因为积分号下的函数是x的偶函数则命n设，则取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.CRz1z2z3y-RROx此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.3.形如 的积分n当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的。n像2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有z1z2z3y-RROxCR因此,在半径R充分大的CR上,有课堂练习：4、杂例-RRr-rCrCRCBAR/40CRn作业：P164n1,2，15（1）（

6、5）3 辐角原理与儒歇定理 n许多的数学物理问题都可以归结为其特征方程的根的分布，或者特征多项式的零点分布问题（线性系统），如二次方程的分类（微分方程、代数方程），工程控制中的微分方程的稳定性问题，对数留数给我们提供了一个好方法。n一、对数留数称积分为f(z)的对数留数，这种称呼，并不严格，其中C为一围线。n计算（1）自然用到留数定理，首先，分析被积函数的奇点，显然，f(z)的零点和奇点都可能是的奇点。n引理6.4（1）设为的级零点，则必为函数的一级极点，且n（2）设为的级极点，则必为函数的一级极点。且n证：（1）若为的级零点，则有其中解析，且于是因右端第二式解析，故为的一级极点，且（1）式成立。定理6.9设是一条围线，满足：n（1）在的内部除可能有极点外是解析的。n（2）在上解析且不为零。则有n辐角原理在定理6.9的条件下，有n定理6.10（儒歇定理）设是一条围线，函数及满足：n（1）它们在内部均解析，且连续到n（2）在上，则例6.13设次多项式合条件则在单位圆内有个零点。n证：取 易验证在单位圆周上，有n依儒歇定理知在单位圆内的零点，与在单位圆一样多，即个。n例6.14试证：当时，方程在单位圆内有个根。n证：在单位圆周上，有n由儒歇定理即方程在单位圆内有个根。n例6.16试证：方程的根全在圆环内。n证：由例6.13知方程在无根。又在圆周上故由儒歇定理，方程的7个根全在上。