高阶导数与隐函数求导参数方程求导.ppt
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1、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导重点:求导法则、高阶导数的定义难点:高阶导数的具体求法关键:高阶导数的求导顺序1/9/20231泰山医学院信息工程学院 刘照军第三节第三节 高阶导数高阶导数1.1.如果如果 的导数存在,称为的导数存在,称为 的二阶导数的二阶导数 记作:记作:,或或 2.2.仍是仍是x的函数,还可以进一步考虑的函数,还可以进一步考虑 有三阶导数有三阶导数 或或 ,四阶导数四阶导数 或或 ,n n阶导数阶导数 或或 .一、基本概念1/9/20232泰山医学院信息工程学院 刘照军3.3.f(x)在在x处处有有n阶阶导导数数,那那么么 在在x的的某某一一邻邻域域内内必必定定具具有有一
2、一切切低低于于n阶阶的的导导数数;二二阶阶及及二二阶阶以以上上的的导导数数统统称称高高阶导数阶导数4.4.问题:如何求函数的高阶导数?问题:如何求函数的高阶导数?一步一步来,利用已知函数的一阶导数公式及运算法则高阶导数应用举例高阶导数应用举例解解 例例1 1 y=ax+b,求求 例例2 2 求求 解解 1/9/20233泰山医学院信息工程学院 刘照军 例例3 3 证明证明:函数函数 满足关系式满足关系式证证 将将 求导求导,得得2、应用1/9/20234泰山医学院信息工程学院 刘照军于是于是下面介绍几个初等函数的下面介绍几个初等函数的n阶导数阶导数例例4 4 求指数函数求指数函数 的的n阶导数
3、阶导数解解一般地一般地,可得可得即即例例5 5 求正弦与余弦函数的求正弦与余弦函数的n阶导数阶导数1/9/20235泰山医学院信息工程学院 刘照军解解一般地一般地,可得可得即即1/9/20236泰山医学院信息工程学院 刘照军用用类似方法类似方法,可得可得例例6 6 求对数函数求对数函数ln(1+(1+x)的的n n阶导数阶导数解解一般地一般地,可得可得即即通常规定通常规定0!=1,0!=1,所以这个公式当所以这个公式当n=1=1时也成立时也成立.1/9/20237泰山医学院信息工程学院 刘照军例例7 7 求幂级数的求幂级数的n阶导数公式阶导数公式解解那么那么一般地一般地,可得可得即即1/9/2
4、0238泰山医学院信息工程学院 刘照军高阶导数运算法则高阶导数运算法则(3)(3)称为莱布尼兹公式称为莱布尼兹公式1/9/20239泰山医学院信息工程学院 刘照军例例8 8 解解代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式,得得1/9/202310泰山医学院信息工程学院 刘照军第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率重点:隐含数、参数方程求导方法难点:隐含数、参数方程求导方法的应用,对数求导法的应用。特别注意参数方程的高阶导数的特别注意参数方程的高阶导数的求法。求法。1/9/202311泰山医学院信息工程学院 刘照军第四节第四节 隐函数及
5、由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率四、小节四、小节五、作业五、作业1/9/202312泰山医学院信息工程学院 刘照军一、隐函数的导数一、隐函数的导数1 1 复习复习:函数的表示法函数的表示法 1.1.直接表示直接表示:解析式解析式 y=f(x)xD,这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数2 2 间接表示间接表示 (1)(1)由一个方程由一个方程F(x,y)=0)=0 所确定的函数所确定的函数 例例 可确定函数可
6、确定函数 ,(2)(2)由两个方程确定由两个方程确定(带一个中间变量带一个中间变量)参数方程参数方程:t t是参数是参数 方法方法(1)(1)表示的函数称为隐函数表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化.1/9/202313泰山医学院信息工程学院 刘照军2 2 隐函数的定义隐函数的定义一般地一般地,如果变量如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下在一定条件下当当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一相应地总有满足这方程的唯一的的y值存在值存在,那么就说方程那么就说方程F(x
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