概率论课件二维随机变量及其分布.ppt
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1、一、二维随机变量一、二维随机变量在实际应用中,在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或以有些随机现象需要同时用两个或以上的随机变量来描述上的随机变量来描述.例如,例如,研究某地区学龄前儿童研究某地区学龄前儿童前儿童的发育情况时,前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高就要同时抽查儿童的身高、体重体重这里,这里,和和是定义在同一样本空间是定义在同一样本空间某地区的全部学龄前儿童某地区的全部学龄前儿童上的两个随机变量上的两个随机变量.在这种情况下,在这种情况下,我们不但要研究我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律,多个随机变量各自的统计规律,而且还要研究它们之而且还要研究它们之间的统计相依关
2、系,间的统计相依关系,因而需考察它们的联合取值的统因而需考察它们的联合取值的统计规律,计规律,即多维随机变量的分布即多维随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们故我们二维随机变量二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们故我们二维随机变量二维随机变量由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们故我们重点讨论二维随机变量重点讨论二维随机变量.定义定义设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为而而是定义在是定义在上的两个随机变量,上的两个
3、随机变量,称称为定义在为定义在上的上的二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量.注注:一般地,一般地,称称个随机变量的整体个随机变量的整体为为维随机变量维随机变量或或随机向量随机向量.完完二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数二维随机变量二维随机变量的性质不仅与的性质不仅与及及有关,有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,将将作为一个整体进行研究作为一个整体进行研究.与一维情况类与一维情况类我们也借助我们也借助“分布函数分布函数”来研究二维随机变量来研究二维随机变量.定义定义 设设是二维随机变量,是二维随机变量,对任意实数对任意
4、实数二元函数二元函数故需故需似似,记为记为称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数或称为随或称为随二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数记为记为称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数或称为随或称为随二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数记为记为称为二维随机变量称为二维随机变量的的分布函数分布函数或称为随机或称为随机变量变量和和的的联合分布函数联合分布函数.若将二维随机变量若将二维随机变量视为平面上随机点的坐视为平面上随机点的坐标,标,则分布函数则分布函数就是随机点就是随机点落入区域落入区域二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数就是随机点就是随机点落入
5、区域落入区域二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数就是随机点就是随机点落入区域落入区域的概率的概率(如图如图1).由概率的加法法则,由概率的加法法则,随机点随机点落入矩形域落入矩形域的概率的概率 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数若已知若已知的分布函数的分布函数则可由则可由导出导出和和各自的分布函数各自的分布函数和和二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数若已知若已知的分布函数的分布函数则可由则可由导出导出和和各自的分布函数各自的分布函数和和二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数若已知若已知的分布函数的分布函数则可由则可由导
6、出导出和和各自的分布函数各自的分布函数和和分别称分别称和和为为关于关于和和的的边缘分布函数边缘分布函数.联合分布函数的联合分布函数的性质性质完完联合分布函数的性质联合分布函数的性质随机变量随机变量的联合分布函数的联合分布函数联合分布函数的性质联合分布函数的性质:且且(1)注注:以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.(2)关于关于和和均为单调非减函数,均为单调非减函数,即即对任意固定的对任意固定的对任意固定的对任意固定的联合分布函数的性质联合分布函数的性质注注:以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.(2)关于关于和和均为单调非减函数,均为单调非减函
7、数,即即联合分布函数的性质联合分布函数的性质注注:以上四个等式可从几何上进行说明以上四个等式可从几何上进行说明.(2)关于关于和和均为单调非减函数,均为单调非减函数,即即对任意固定的对任意固定的当当对任意固定的对任意固定的当当(3)关于关于和和均为右连续,均为右连续,即即完完例例1 设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为(1)试确定常数试确定常数(2)求事件求事件的概率的概率.解解(1)由二维随机变量的分布函数的性质由二维随机变量的分布函数的性质,可得可得由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知例例1 设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为(1)试确
8、定常数试确定常数(2)求事件求事件的概率的概率.解解(1)由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知例例1 设二维随机变量设二维随机变量的分布函数为的分布函数为(1)试确定常数试确定常数(2)求事件求事件的概率的概率.解解由这三个等式中的第一个等式知由这三个等式中的第一个等式知故由第二、三个等式知故由第二、三个等式知于是得于是得(1)(2)由由(1)式得式得故故的分布函数为的分布函数为完完三、二维离散型随机变量及其概率分布三、二维离散型随机变量及其概率分布若二维随机变量若二维随机变量只取有限个或可数个值,只取有限个或可数个值,称称为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.为二维离
9、散型随机变量为二维离散型随机变量均为离散型随机变量均为离散型随机变量.定义定义 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量所有可能的取所有可能的取值为值为则称则称则则均为离均为离为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量的的概率分布概率分布(分布律分布律),或或与与的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布或或与与的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布或或与与的的联合概率分布联合概率分布(分布律分布律).易见,易见,满足下列性质:满足下列性质:与一维情形类似,与一维情
10、形类似,有时也将联合概率分布用表格形有时也将联合概率分布用表格形式来表示,式来表示,并称之为并称之为联合概率分布表联合概率分布表由由和和的联合概率分布,的联合概率分布,可求出可求出各自的概率各自的概率分布分布:二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布分布分布:二维离散型随机变量及其概率分布二维离散型随机变量及其概率分布分布分布:分别称分别称和和为为关于关于和和的的边缘概率分布边缘概率分布.注注:与与分别等于联合概率分布表的行分别等于联合概率分布表的行和与列和和与列和.完完联合概率分布表联合概率分布表与一维情形类似,与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形有时也将联合概率
11、分布用表格形式来表示,式来表示,并称为联合概率分布表:并称为联合概率分布表:联合概率分布表联合概率分布表联合概率分布表联合概率分布表对离散型随机变量而言,对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,分布函数更加直观,而且能够更加方便地确定而且能够更加方便地确定取值于任何区域取值于任何区域上的概率上的概率.设二维离散型随机变设二维离散型随机变量的概率分布为量的概率分布为则则特别地,特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数:联合概率分布表联合概率分布表特别地,特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定
12、联合分布函数:联合概率分布表联合概率分布表特别地,特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数由联合概率分布可以确定联合分布函数:由由和和的联合概率分布,的联合概率分布,可求出可求出各自的概率各自的概率分布:分布:分别称分别称和和为为关于关于联合概率分布表联合概率分布表由由和和的联合概率分布,的联合概率分布,可求出可求出各自的概率各自的概率分布:分布:分别称分别称和和为为关于关于联合概率分布表联合概率分布表由由和和的联合概率分布,的联合概率分布,可求出可求出各自的概率各自的概率分布:分布:分别称分别称和和为为关于关于和和的的边缘概率分布边缘概率分布.注注:和和分别等于联合概率分布表的行和与列和分
13、别等于联合概率分布表的行和与列和.完完例例2 设随机变量设随机变量在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值,另一个随机变量另一个随机变量在在中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值,试求试求的分布律的分布律.解解 由乘法公式容易求得由乘法公式容易求得的分布律的分布律.易知易知的取值情况是的取值情况是:大于大于 的正整数的正整数,且且于是于是的分布律为的分布律为取不取不例例2 设随机变量设随机变量在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值,另一个随机变量另一个随机变量在在中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值,试求试求的分布律的分布律.
14、解解于是于是的分布律为的分布律为例例2 设随机变量设随机变量在在1,2,3,4四个整数中等可能地取四个整数中等可能地取一个值一个值,另一个随机变量另一个随机变量在在中等可能地取中等可能地取一整数值一整数值,试求试求的分布律的分布律.解解于是于是的分布律为的分布律为123412341/4 1/8 1/121/161/8 1/121/121/161/161/16000000.完完例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次,设设为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数,而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值,求求的概率分布及的概率分
15、布及关于关于的边缘分布的边缘分布.解解可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)故故的概率分布如右表的概率分布如右表.1300 1/813/8023/80301/8例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次,设设为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数,而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值,求求的概率分布及的概率分布及关于关于的边缘分布的边缘分布.解解例例3 把一枚均匀硬币抛掷三次把一枚均匀硬币抛掷三次,设设为三次抛掷为三次抛掷中正面出现的次数中正面出现的次数,而而为正面出现次数与反面为正面出现次数与反面出现
16、次数之差的绝对值出现次数之差的绝对值,求求的概率分布及的概率分布及关于关于的边缘分布的边缘分布.解解从概率分布表不难求得从概率分布表不难求得关于关于的边的边缘分布缘分布.从而得右表从而得右表13012303/83/806/81/8001/82/81/83/83/81/81完完例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求及及解解例例4 设二维随机变量的联合概率分布为设二维随机变量的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求及及解解例例4 设二维随机变量的联合概率
17、分布为设二维随机变量的联合概率分布为-201-1120.30.050.20.10.200.100.05求求及及解解完完例例5 设设的概率分布由下表给出的概率分布由下表给出,求求-1020120.10.30.150.20.05000.10.1解解完完例例6 一整数一整数等可能地在等可能地在十个值中取十个值中取一个值一个值.设设是能整除是能整除的正整数的个数的正整数的个数,是能整除是能整除的素数的个数的素数的个数(注意注意1不是素不是素试写出试写出和和的联合分布律的联合分布律,并求分布律并求分布律.解解 将试验的样本空间及将试验的样本空间及取值的情况列表如下取值的情况列表如下:数数),所有可能取值
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- 概率论 课件 二维 随机变量 及其 分布
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