求函数的值域的方法.doc

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1、求函数的值域的方法求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。一、 直接法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。例1 已知函数，求函数的值域。解：因为，而，所以：，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为，则函数的值域为。请体会两者的区别。二、 反函数法反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。例2 求函数的值域。分析与解：注意到，由原函数求出用表示的关系式，进而求出值域。

2、由得：，因为，所以，值域为：三、 函数的单调性例3求函数在区间上的值域。分析与解答：任取，且，则，因为，所以：，当时，则；当时，则；而当时，于是：函数在区间上的值域为。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例4：求函数的值域。分析与解答：因为，而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数，易知在定义域内单调增。，又，所以：，。四、 换元法对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例5求函数的值域。分析与解答：令，则。，当时，值域为例6求函数的值域。分析与解答：令，

3、则，当时，所以值域为。例7求函数的值域。分析与解答：由=，令， 因为，则=，于是：，所以：。五、 配方法对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如，当要注意的值域。例8求函数的值域。分析与解答：因为，即，于是：，。例9求函数在区间的值域。分析与解答：由配方得：，当时，函数是单调减函数，所以；当时，函数是单调增函数，所以。所以函数在区间的值域是。六、 判别式法把函数同解变形为关于的一元二次方程，利用，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。例10求函数的值域。分析与解答：因为，原函数变形为： （1）当时，求得，所以。当时，因为，所以一元二次方程（1）有实数根。则：，即：所以，七、

4、 基本不等式法利用重要不等式，求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。例11求函数的值域。分析与解答：因为分母不为0，即，所以：当时，当且仅当时，取等号，；当时，当且仅当时，取等号，；值域注意：利用重要不等式时，要求且等号要成立。八、 数形结合法当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例12如例4求函数的值域。分析与解答：令，则，原问题转化为 ：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以：值域为