2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）.doc

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1、2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）（含解析版）2014年全国统一高考数学试卷理科新课标含解析版未经允许 请勿转载 201年全国统一高考数学试卷理科新课标一、选取题共12小题，每题5分1.5分已经知道集合A=xx22x，B=|2,则AB= 未经许可 请勿转载A.,2B,1C.，2.2,12.5分=.+.iC.1D1i35分设函数fx,gx的定义域都为,且f是奇函数,gx是偶函数，则以下结论正确的选项是 未经许可 请勿转载fx是偶函数B|fxgx是奇函数Cx|gx|是奇函数.|xg|是奇函数4分已经知道F为双曲线C:x2m2=3m0的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 未经许可

2、 请勿转载A.B.3C.m3m.分位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 未经许可 请勿转载.BCD6.5分如此图，圆O的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点,角x的始边为射线OA，终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线，垂足为，将点M到直线O的距离表示为x的函数fx,则yfx在0，的图象大致为 未经许可 请勿转载A.B.CD7.5分执行如此图的程序框图,若输入的,b，k分别为1，2，3,则输出的M= AB.C.D85分设0,，0，且a=,则 A3=B.+=.2=D2+=.分不等式组的解集记为D，有以下四个命题:p1：x,yD,x+2y:

3、x，yD，+2p3：x，yD，+2y3p4：x，yD,x+21其中真命题是p2,p3B1，p4C1,p2D.p1,p310.分已经知道抛物线：2=8x的焦点为F,准线为l，是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则F=未经许可 请勿转载.B3.D.21分已经知道函数fxax33x2+1,若fx存在唯一的零点x0，且x00,则实数a的取值范围是 未经许可 请勿转载A.1,+B.2,+C,1D.,12.5分如此图,网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 未经许可 请勿转载6B.4D.4二、填空题共4小题，每题5分13.5分+y8的展

4、开式中x2的系数为 .用数字填写答案:1.5分甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为 1.5分已经知道A,C为圆上的三点，若+,则与的夹角为 16.分已经知道a,b,分别为ABC的三个内角A，B,C的对边,a=2且+sinAiB=csinC，则BC面积的最大值为 未经许可 请勿转载 三、解答题17分已经知道数列n的前项和为S，a1，n0，an+1=S1,其中为常数未经许可 请勿转载证明:an2n=是否存在,使得an为等差数列？并说明理由1.12分从某企业生产的某种

5、产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：未经许可 请勿转载求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2同一组中数据用该组区间的中点值作代表;未经许可 请勿转载由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N，2，其中近似为样本平均数，近似为样本方差2.未经许可 请勿转载利用该正态分布，求P187.8212.2；i某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间88，212.2的产品件数,利用i的结果，求EX未经许可 请勿转载附：12.2若ZN，2则PZ+0.86，PZ的离心率为，F是椭圆的右焦点,直线AF的

6、斜率为，O为坐标原点.未经许可 请勿转载求的方程；设过点A的直线与相交于,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程2112分设函数f=aexnx+，曲线fx在点1,f1处得切线方程为ex+2未经许可 请勿转载求a、b;证明：x1选修41：几何证明选讲210分如此图,四边形ABCD是的内接四边形，B的延长线与C的延长线交于点E，且CB未经许可 请勿转载证明：D=E；设AD不是O的直径,A的中点为M，且MB=MC,证明:ADE为等边三角形 选修：坐标系与参数方程23.已经知道曲线C:1，直线l:t为参数写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程.过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点，求

7、PA|的最大值与最小值. 选修45：不等式选讲24.若a0，b0,且+=求a3+b3的最小值;是否存在a,b，使得2a+b=6?并说明理由2014年全国统一高考数学试卷理科新课标参考答案:与试题解析 一、选取题共12小题,每题5分1.5分已经知道集合A=xx2x30，Bx|2x0可化为，一个焦点为,一条渐近线方程为=，点到C的一条渐近线的距离为=故选：A【点评】此题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式,属于基础题5.5分4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 未经许可 请勿转载A.B.C.D【考试点】C6：等可能事件和等可能事件的

8、概率.【专题】11：计算题;5I:概率与统计【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可未经许可 请勿转载【解答】解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24=1624种情况，所求概率为=.故选：【点评】此题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数未经许可 请勿转载65分如此图,圆的半径为，A是圆上的定点，P是圆上的动点,角x的

9、始边为射线,终边为射线OP，过点P作直线O的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f,则yf在，的图象大致为 未经许可 请勿转载ABC.D.【考试点】3：抽象函数及其应用.【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】在直角三角形OMP中，求出O,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到x的表达式,然后化简,分析周期和最值，结合图象正确选择.未经许可 请勿转载【解答】解:在直角三角形OM中,O=1,POM=x，则OM=|csx|，点M到直线的距离表示为x的函数fx=OM|nx|=osx|snx|=in2|，其周期为T=,最大值为,最小值为0，故选:C【点评】

10、此题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用未经许可 请勿转载 5分执行如此图的程序框图，若输入的，b,分别为1,2，3，则输出的M= AB.C.D.【考试点】E：程序框图.【专题】5I：概率与统计.【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解：由程序框图知:第一次循环M1+,a=2,=，n=2;第二次循环M+=,a=，b=，；第三次循环=+=,=，b=，n.不满足条件n3，跳出循环体,输出M故选:D.【点评】此题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 85分设，,0,

11、，且an=，则 A3=B3+C.2=.2=【考试点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值【专题】6:三角函数的求值.【分析】化切为弦，整理后得到sn=o,由该等式左右两边角的关系可排除选项A，然后验证满足等式sin=cos，则答案:：可求.未经许可 请勿转载【解答】解:由tn=，得：,即sincoscosincos,ss=sn,0,，0，当时,i=snos成立.故选:C【点评】此题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选取题,是基础题. 95分不等式组的解集记为D,有以下四个命题：p1:x,yD，x2 p:x，yD,x2y2p3：x，yD,x+23p4:x,yD,xy其中真命题是

12、A.p2,p3Bp1,p4p1，p2D.p1,【考试点】2K：命题的真假判断与应用;7A：二元一次不等式的几何意义.【专题】59:不等式的解法及应用;L：简易逻辑.【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x与x2=相交的上部角型区域,1:区域在x+2y 区域的上方,故：,yD，2y2成立;2：在直线xy=2的右上方和区域D重叠的区域内，,22，故p2：x,y，x+2y2正确；未经许可 请勿转载p3:由图知,区域有部分在直线x+2y=3的上方，因此3：x，yD,x+23错误；p4：x+21的区域左下方的虚线区域恒在区域D下方，故p4

13、:x,yD，x+2y1错误；未经许可 请勿转载综上所述,p1、p2正确；故选:.【点评】此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图,正确分析是关键,属于难题 10.分已经知道抛物线C:yx的焦点为F，准线为，P是l上一点,Q是直线P与C的一个交点,若=,则QF|= 未经许可 请勿转载.D.2【考试点】K8:抛物线的性质.【专题】1：计算题;D：圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求得直线PF的方程，与x联立可得x=1,利用|=d可求.【解答】解：设Q到l的距离为d,则|QF|=d,|Qd，不妨设直线F的斜率为=2,2，,直线F的方程为2x2,与y2=8x联立可得x1，|Q=d=1

14、+23,故选:.【点评】此题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题1.5分已经知道函数f=a33x2+,若fx存在唯一的零点x0,且x0,则实数a的取值范围是 未经许可 请勿转载A1,B.，C.，,2【考试点】53:函数的零点与方程根的关系.【专题】11：计算题；51:函数的性质及应用;3：导数的综合应用.【分析】由题意可得fx=3ax26x=3xax，f=1;分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.未经许可 请勿转载【解答】解:fx=x3+1，f=3a263xax2,f1；当a=0时,fx=3x2+有两个零点，不成立；当a0时,fxax3x2+1在，上有零点,故不成立；

15、当0时，fxax3x2+1在0，+上有且只有一个零点；故fxax332+1在,0上没有零点;而当x=时,x=ax331在，0上取得最小值;故f310；故a;综上所述,实数a的取值范围是,；故选:D【点评】此题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题.未经许可 请勿转载12分如此图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 未经许可 请勿转载A.6CD4【考试点】!：由三视图求面积、体积【专题】5F:空间位置关系与距离【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.【解答】解：几何体

16、的直观图如此图：AB4,BD=4，到B的中点的距离为：4，.AC6,AD=4，显然AC最长长为.故选:B【点评】此题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力 二、填空题共小题，每题5分13.5分yx8的展开式中xy7的系数为0 .用数字填写答案:：【考试点】DA:二项式定理【专题】11：计算题;5P：二项式定理.【分析】由题意依次求出+y8中xy7,x6，项的系数，求和即可【解答】解：x+y的展开式中，含xy7的系数是:8含x26的系数是8，xy+y8的展开式中x2y7的系数为:82820.故答案:为：20【点评】此题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力.4.分甲、乙、丙三

17、位同学被问到是否去过A,B,三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说:我没去过城市;丙说:我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A【考试点】4:进行简单的合情推理.【专题】5M:推理和证明【分析】可先由乙推出,可能去过城市或B城市，再由甲推出只能是A,B中的一个，再由丙即可推出结论【解答】解:由乙说:我没去过城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说:我去过的城市比乙多，但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A.故答案:为:A.【点评】此题主要考查简单的合情推理,要抓住关键，逐步推断，是一道基础题.15

18、分已经知道A,B,为圆O上的三点,若=+,则与的夹角为 90 .【考试点】9S：数量积表示两个向量的夹角【专题】5:平面向量及应用【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论.【解答】解:在圆中若=+,即2=,即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，C为邻边的四边形是矩形，则，即与的夹角为9,故答案:为:90【点评】此题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决此题的关键，比较基础 165分已经知道a,b,c分别为AC的三个内角A，B，C的对边，=且biAincbC，则ABC面积的最大值为.未经许可 请勿转载【考试点】HP：正弦定理；HR:余弦定理.【专题】11：计算题

19、；：转化思想;48：分析法;58：解三角形【分析】由正弦定理化简已经知道可得2ab2=，结合余弦定理可求的值，由基本不等式可求,再利用三角形面积公式即可计算得解未经许可 请勿转载【解答】解:因为:2+bsiAnB=bs2+bab=cc2a2b=c2c，又因为:a=2，所以:，ABC面积，而b2+ca2cb2+c2bc=a+c2bc4c所以：,即BC面积的最大值为故答案:：:为：.【点评】此题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想,属于中档题未经许可 请勿转载 三、解答题1712分已经知道数列n的前n项和为Sn，a1=1,an0,an

20、an+1=Sn1,其中为常数未经许可 请勿转载证明:an+=是否存在，使得n为等差数列？并说明理由【考试点】3：等差数列的性质；8H:数列递推式【专题】4:等差数列与等比数列【分析】利用anan+=Sn,an+1a2=Sn+11，相减即可得出；假设存在，使得a为等差数列，设公差为d.可得an+nn2an+1+anan=2d,得到Sn，根据n为等差数列的充要条件是，解得即可未经许可 请勿转载【解答】证明：anan=Sn1，n+a+2Sn11，ann2an=an+an+0,n2a.解：假设存在，使得an为等差数列,设公差为d.则=an+2anan+an1+1an=2，,，Sn=1+,根据为等差数列

21、的充要条件是,解得=4.此时可得，an2n1.因此存在4，使得n为等差数列【点评】此题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.未经许可 请勿转载 1812分从某企业生产的某种产品中抽取50件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：未经许可 请勿转载求这50件产品质量指标值的样本平均数和样本方差2同一组中数据用该组区间的中点值作代表;未经许可 请勿转载由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布，2，其中近似为样本平均数,2近似为样本方差s2.未经许

22、可 请勿转载i利用该正态分布,求P187.8Z2122；ii某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间87.8，12的产品件数,利用i的结果,求E.未经许可 请勿转载附:.2.若Z,则Z86,PZ+20.944.未经许可 请勿转载【考试点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】1:计算题;5I：概率与统计.【分析】运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；i由知ZN20,15,从而求出P1878212.2，注意运用所给数据；未经许可 请勿转载ii由知XB100,8，运用Xnp即可求得【解答】解:抽取产品的

23、质量指标值的样本平均数和样本方差2分别为:=7.02+100.091900.2003+210.24+200.08+30.02=00,未经许可 请勿转载s2=020.02+20.09020.00+1020.2008+3020.210未经许可 请勿转载i由知ZN0，1，从而187.8Z212.2=2.2Z20012.=0.686;未经许可 请勿转载i由i知一件产品的质量指标值位于区间18.8，2122的概率为0.626,依题意知XB00,0.826,所以EX100.6826=6.26.【点评】此题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力 112分如此图，三棱柱

24、AA1C1中,侧面B1C1C为菱形，B1C.证明:AAB1；若CAB1，CBB160,AB=BC,求二面角A111的余弦值【考试点】M7:空间向量的夹角与距离求解公式;J:二面角的平面角及求法【专题】5:空间向量及应用.【分析】1连结C,交B1C于点O,连结O,可证1平面A，可得B1A,B10=C，进而可得AC=A1;未经许可 请勿转载2以为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值未经许可 请勿转载【解答】解：1连结BC1,交B1于点O，连结AO,侧面BB1C1为菱形，B11C，且O为BC

25、1和B1C的中点，又AB1，B1C平面B，AO平面BO，B1AO,又B=CO,ACAB，CA1，且O为B1C的中点,A=O,又AB=BC，BOBOC，OO,OA，B，OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为轴的正方向,|为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，CBB10，CBB1为正三角形，又AB=C,A0,0，B1,0,0,B10,，0,C,，0=0，,=,，=1,，0,设向量=x，y，是平面AA11的法向量,则，可取=1，,，同理可得平面A1B11的一个法向量=1，,cos0的离心率为,F是椭圆的右焦点，直线A的斜率为，O为坐标原点.未经许可 请勿转载求E

26、的方程；设过点的直线与相交于P，Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程【考试点】4：椭圆的性质;H：直线与圆锥曲线的综合【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过离心率得到a、c关系,通过A求出a，即可求E的方程；设直线:kx2，设Px1，1，Q2，y2将y=kx代入,利用，求出k的范围，利用弦长公式求出PQ，然后求出O的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程未经许可 请勿转载【解答】解: 设Fc，,由条件知，得=又，所以a=2=,b2=a2c21,故E的方程.分依题意当x轴不合题意，故设直线l：=kx2，设1,y1，Qx,y2将y=k2代入，得1+k2x2

27、16kx12=0,当=164k230,即时,从而=+又点O到直线PQ的距离，所以PQ的面积,设，则t0，当且仅当t=2,=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时,l的方程为：y=x2或x2.12分【点评】此题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力未经许可 请勿转载.分设函数faexx+,曲线=f在点1,f1处得切线方程为=ex.未经许可 请勿转载求a、b；证明：x1【考试点】6E：利用导数研究函数的最值;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】5:综合题；5:导数的综合应用【分析】求出定义域，导数f，根据题意有f1=2，f=e,解出即可

28、；由知,f1等价于xlex,设函数gx=xx，函数hx=，只需证明minhxax,利用导数可分别求得gmi，hxmx;未经许可 请勿转载【解答】解:函数fx的定义域为,x+,由题意可得=2，故=1,b=2；由知,fx=elnx+,x1,xln1，l,fx等价于xnxxe，设函数gx=xlx,则=1+ln,当x0，时,gx；当x,时，.故gx在,上单调递减，在，+上单调递增，从而x在0，上的最小值为未经许可 请勿转载设函数hx=xx，则x=ex.当x0，1时，hx0;当x1，时,h0，故hx在0，1上单调递增,在1,+上单调递减，从而h在0,+上的最大值为h1=.综上，当x0时，gxhx，即x1

29、.【点评】此题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力未经许可 请勿转载 选修4：几何证明选讲2210分如此图,四边形ACD是O的内接四边形,AB的延长线与C的延长线交于点E，且CB=CE.未经许可 请勿转载证明：D=E;设AD不是O的直径，D的中点为,且M=MC,证明：AD为等边三角形【考试点】NB：弦切角;NC:与圆有关的比例线段【专题】15:综合题;：推理和证明【分析】利用四边形ABC是的内接四边形,可得D=CBE,由CB=CE,可得E=C,即可证明：D=E；未经许可 请勿转载设C的中点为,连接M，证明ABC,可得A=CB,进而可得

30、A=E,即可证明DE为等边三角形未经许可 请勿转载【解答】证明:四边形CD是O的内接四边形，D=CBE，C=,E=BE，=；设BC的中点为N，连接MN,则由MB=MC知MB,在直线MN上,AD不是O的直径,D的中点为M，MAD,ADB,A=CBE，CBE=E,AE，由知，D=E，ADE为等边三角形【点评】此题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题选修-4：坐标系与参数方程23已经知道曲线C:+=1，直线：t为参数写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.过曲线C上任意一点作与l夹角为30的直线，交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.【考试点】KH：直线与圆锥曲线的综合；

31、Q：参数方程化成普通方程【专题】5:坐标系和参数方程.【分析】联想三角函数的平方关系可取x=2cs、=3in得曲线的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；未经许可 请勿转载设曲线C上任意一点P2os，3si.由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以未经许可 请勿转载sin30进一步得到|P,化积后由三角函数的范围求得P|的最大值与最小值.【解答】解：对于曲线C:+=,可令x2cos、y3sin，故曲线C的参数方程为,为参数.对于直线l：,由得：tx2,代入并整理得:2+y=0;设曲线上任意一点P2co,sin.P到直线l的距离为.则,其中为锐角.当sn1时,|取得最大值，最大值为.

32、当si+时，|取得最小值，最小值为.【点评】此题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法,是中档题.未经许可 请勿转载选修-5:不等式选讲24若a,b0,且+求a3+b的最小值；是否存在a,b,使得2a3b=6？并说明理由【考试点】RI：平均值不等式【专题】5：不等式的解法及应用【分析】由条件利用基本不等式求得b2，再利用基本不等式求得3+b的最小值.根据ab及基本不等式求的2a+38,从而可得不存在a,b,使得2a3=6.【解答】解:a,b,且+=,=+，ab2，当且仅当a=b时取等号a+b 22=4,当且仅当ab时取等号，a+b3的最小值为2ab2=2,当且仅当2=b时，取等号.而由1可知,22=6，故不存在a，b，使得2a+3b=成立.【点评】此题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题