《含参变量积分》PPT课件.ppt

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1、 高等数学（下）高等数学（下）河海大学理学院河海大学理学院第四节 含参变量积分 高等数学（下）高等数学（下）一、含参变量积分的连续性设函数设函数 在矩形在矩形 上的连续函数上的连续函数.积分积分 确定了一个定义在确定了一个定义在 上的上的 的函数的函数称为称为含参变量 积分。高等数学（下）高等数学（下）定理定理1 1 如果函数如果函数 在矩形在矩形 上连续，那么由积分上连续，那么由积分确定的函数确定的函数 在在 上也连续上也连续.也是参变量也是参变量 的函数的函数.同理同理要点是要点是:积分号与极限号的互换积分号与极限号的互换.高等数学（下）高等数学（下）例例1 1 求求 高等数学（下）高等数

2、学（下）由于由于 在闭区域在闭区域 上连续，从而一致连续上连续，从而一致连续.因此对于任意取定的因此对于任意取定的 ,存在存在 ,使得对于使得对于 内的任意两点内的任意两点 及及 ,只要它们之间的距只要它们之间的距离小于离小于 ,即即就有就有因为点因为点 与与 的距离等于的距离等于 ,所以当所以当 时时,就有就有于是由（于是由（1）式有）式有定理定理1证证 设设 和和 是是 上的两点，则上的两点，则 高等数学（下）高等数学（下）所以所以 在在 上连续上连续.定理得证定理得证注注 既然函数既然函数 在在 上连续上连续,那么它在那么它在 上上的积分存在的积分存在,这个积分可以写为这个积分可以写为右

3、端积分式函数右端积分式函数 先对先对 后对后对 的二次积分的二次积分.高等数学（下）高等数学（下）定理定理2 2 如果函数如果函数 在矩形在矩形上连续上连续,则则公式（公式（2 2）也可写成）也可写成要点是要点是:积分号与积分号的互换积分号与积分号的互换.高等数学（下）高等数学（下）定理定理11 如果函数如果函数 在矩形在矩形上连续，又函数上连续，又函数 与与 在区间在区间 上上连续，连续，则含参变量积分则含参变量积分 在也连续在也连续.高等数学（下）高等数学（下）当当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，时，上式右端最后一个积分的积分限不变，定理定理1证证设设 和和 是是 上的两点，则上的

4、两点，则 高等数学（下）高等数学（下）根据证明定理根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零时同样的理由，这个积分趋于零.又又其中其中 是是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值.根据根据 与与 在在 上连续的假定，由以上两式可见，上连续的假定，由以上两式可见，当当 时，（时，（4）式右端的前两个积分都趋于零）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当于是，当 时，时，所以函数所以函数 在在 上连续上连续.定理得证定理得证 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2 计算计算 高等数学（下）高等数学（下）定理定理33 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在则则 在在 上可微，并且上可微，并且矩形

5、上矩形上 连续，又函数连续，又函数 与与 在区间在区间 上可微，并且上可微，并且二、含参变量的函数的微分称为莱布尼茨公式称为莱布尼茨公式.高等数学（下）高等数学（下）下面先考虑由积分下面先考虑由积分(*)确定的函数确定的函数 的微分问题的微分问题.定理定理3 3 如果函数如果函数 及其偏导数及其偏导数 都在都在矩形矩形 上连续上连续,那么由积分那么由积分(1)(1)确定的函数确定的函数 在在 上可微分上可微分,并且并且要点是要点是:积分号与求导号的互换积分号与求导号的互换.高等数学（下）高等数学（下）例例3 3 高等数学（下）高等数学（下）例例4 4 高等数学（下）高等数学（下）证证因为因为为

6、了求为了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有的一致连续性，我们有 高等数学（下）高等数学（下）其中其中 ，可小于任意给定的正数可小于任意给定的正数 ，只要，只要 小于某个正数小于某个正数 .因此因此这就是说这就是说综上所述有综上所述有令令 取上式的极限，即得公式（取上式的极限，即得公式（5）.高等数学（下）高等数学（下）例例5 5设设求求解解3 3 高等数学（下）高等数学（下）例例6 6 高等数学（下）高等数学（下）例例7 7 求求解解 这里函数这里函数 在矩形在矩形上连续，根据定理上连续，根据定理2

7、2，可交换积分次序，由此有，可交换积分次序，由此有 高等数学（下）高等数学（下）例例8 8 计算定积分计算定积分 考虑含参变量考虑含参变量 的积分所确定的函数的积分所确定的函数显然，显然，根据公式根据公式(5)得得解解 高等数学（下）高等数学（下）把被积函数分解为部分分式把被积函数分解为部分分式,得到得到于是于是 高等数学（下）高等数学（下）上式在上式在 上对上对 积分积分,得到得到即即从而从而 高等数学（下）高等数学（下）1、含参变量的积分所确定的函数的定义、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的

8、积分所确定的函数的微分；、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、莱布尼茨公式及其应用、莱布尼茨公式及其应用.要点是要点是:积分号与极限号积分号与极限号,求导号求导号,积分号的互换积分号的互换.高等数学（下）高等数学（下）定理定理3证证由由(4)式有式有 当当 时，上式右端的第一个积分的积分限时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则不变，则 高等数学（下）高等数学（下）对于对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得右端的第二项，应用积分中值定理得其中其中 在在 与与 之间之间.当当 时时,高等数学（下）高等数学（下）类似地可证类似地可证,当当 时时,因此，令因此，令 ，取，取(8)式的极限便得公式式的极限便得公式(7).公式公式(7)称为称为莱布尼茨公式莱布尼茨公式.于是于是