《正交子空间》PPT课件.ppt

《《正交子空间》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《正交子空间》PPT课件.ppt（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、一、正交子空间正交子空间9.5 子空间子空间二、子空间的正交补二、子空间的正交补三、练习三、练习一、一、欧氏空间中的正交子空间欧氏空间中的正交子空间1 1、定义、定义1)与与 是欧氏空间是欧氏空间V中的两个子空间，如果对中的两个子空间，如果对则称子空间则称子空间 与与 为为正交的正交的，记作，记作则称向量与子空间则称向量与子空间 正交，记作正交，记作恒有恒有2)对给定向量对给定向量 如果对如果对 恒有恒有2 2、说明、说明 当且仅当当且仅当 中每个向量都与中每个向量都与 正交正交 当当 且且 时，必有时，必有 证明：设子空间证明：设子空间 两两正交，两两正交，3 3、定理、定理5 5 两两

2、正交的子空间的和必是直和两两正交的子空间的和必是直和要证明要证明中零向量分解式唯一中零向量分解式唯一只须证：只须证：设设 由内积的正定性，可知由内积的正定性，可知 二、二、子空间的正交补子空间的正交补1 1、定义、定义如果欧氏空间如果欧氏空间V的子空间的子空间 满足并且满足并且则称则称 为为 的的正交补正交补.2 2、定理、定理6 6 维欧氏空间维欧氏空间V的每个子空间的每个子空间 都都有唯一正交补有唯一正交补.证明：当证明：当 时，时，V就是就是 的唯一正交补的唯一正交补 当当 时，时，也是有限维欧氏空间也是有限维欧氏空间.取取 的一组正交基的一组正交基由定理由定理1，它可扩充成，它可扩充成

3、V的一组正交基的一组正交基记子空间记子空间 显然显然,又对又对 即即 为为 的正交补的正交补.再证唯一性再证唯一性.设设 是是 的正交补，则的正交补，则由此可得由此可得对对 由上式知由上式知 即有即有 又又从而有从而有 即有即有 同理可证同理可证唯一性得证唯一性得证.维欧氏空间维欧氏空间V的子空间的子空间W满足满足:子空间子空间W的正交补记为即的正交补记为即 i)ii)iii)3 3、说明、说明)W的正交补的正交补 必是必是W的余子空间的余子空间.但一般地，子空间但一般地，子空间W W的余子空间未必是其正交补的余子空间未必是其正交补.称称 为在子空间为在子空间W上的上的内射影内射影.4 4、内射影、内射影设设W是欧氏空间是欧氏空间V的子空间，由的子空间，由对对 有唯一的使有唯一的使1、设V是n维欧氏空间，内积记为的一个正交变换，记试证明：都是V的子空间；三、练习三、练习又设T是V（1）（2）2、如W是下列方程组的解空间，求W？W在的正交补