高等数学-重积分课件.ppt

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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1/61重积分重积分第八章第八章习题课习题课一、关于二重积分计算一、关于二重积分计算二、关于三重积分在直角坐标系下计算二、关于三重积分在直角坐标系下计算三、关于二重积分的应用三、关于二重积分的应用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2/61（一）、（一）、重积分常见题目类型重积分常见题目类型1.一般重积分的计算：一般重积分的计算：a.选择坐标系选择坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.b.确定积分序确定积分序积分域分块要少积

2、分域分块要少,累次积分易算为妙累次积分易算为妙.列不等式法列不等式法 (投影穿线投影穿线)c.写出积分限写出积分限 累次积分法累次积分法d.计算要简便计算要简便充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式一、关于二重积分计算一、关于二重积分计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3/612.改变累次积分的积分次序改变累次积分的积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序题目要求改变积分次序或按原积分次序积不出来，必须改变积分次序积不出来，必须改变积分次序.3.求平面图形求平面图形D 的面积的面积4.求由曲面所围立体的体积求由曲面所围立体的体积5.用二用二重积分求曲面

3、的面积重积分求曲面的面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4/616.重积分性质的应用题重积分性质的应用题（二）、重积分计算的基本技巧（二）、重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1.交换积分顺序的方法交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号4.被积函数为被积函数为1时巧用其几何意义时巧用其几何意义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5/61其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.(三三)、利用直角坐标系计算二重积分、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型

4、域型域【X型区域的特点型区域的特点】穿过区域内部且平行于穿过区域内部且平行于y 轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.【预备知识及预备知识及二重积分公式推导二重积分公式推导】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6/61若积分区域为若积分区域为X型域：型域：【方法方法】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平平行截面面积为已知的立体求体积行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求的方法来求.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7/61即得即得公式公式1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

5、返回返回 结束结束8/61【几点小结几点小结】aboxyDx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9/61(2)Y型域型域【Y型区域的特点型区域的特点】穿过区域内部且平行于穿过区域内部且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10/61公式公式2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11/61(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域(或或Y型域型域)如图如图 ,则必须分割则必须分割.由二

6、重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得2.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12/61(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，公式型域，公式2 2必须是必须是Y型域型域.(2)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便为计算方便,可可选择积分次序选择积分次序,必要时还可必要时还可交换积分

7、次序交换积分次序.则有则有(3)若积分域较复杂若积分域较复杂,X-型域或型域或Y-型域型域.【说明说明】可将它分成若干可将它分成若干机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13/61【例例1】【解解】看作看作X型域型域12oxy y=xy=1DxD既是既是X型域又是型域又是Y型域型域法法13、【利用直角坐标系计算二重积分题类利用直角坐标系计算二重积分题类】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14/61看作看作Y型域型域12oxyx=yx=2Dy12法法2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15/61【例例2】【解解】D既是既是X型域

8、又是型域又是Y型域型域法法11 11 11 1xo oy=xDxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16/61法法2注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17/61【例例3】【解解】D是是Y型域型域也可以视也可以视X型域型域先求交点先求交点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18/61法法1 视为视为X型域型域（计算较繁）（计算较繁）本题进一步说明两种积分本题进一步说明

9、两种积分次序的不同计算效果！次序的不同计算效果！法法2（计算简单）（计算简单）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19/61【例例4】【解解】X-型型机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20/61【例例5】【解解】先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21/61【例例6】【解解】【分析分析】交换积分次序交换积分次序若直接计算，积若直接计算，积分比较困难！分比较困难！（注意被积函数）（注意被积函数）作业作业 P152;同济同济p154机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

10、束22/61（四）、利用极坐标系计算二重积分（四）、利用极坐标系计算二重积分首先分割区域首先分割区域 D两组曲线将两组曲线将 D 分割成许多小区域分割成许多小区域用用1.极坐标系下二重积分表达式极坐标系下二重积分表达式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23/61将典型小区域将典型小区域近似看作矩形（近似看作矩形（面积面积=长长宽宽）则则 面积元素面积元素扇形扇形弧长弧长径向径向宽度宽度机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24/61则则二重积分极坐标表达式二重积分极坐标表达式可得下式可得下式【注意注意】极坐标系下的面积元素为极坐标系下的面积元素为直角

11、坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为区别区别机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束25/612.二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图（1）极点极点O 在区域在区域 D 的边界曲线之外时的边界曲线之外时机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束26/61若区域特征如图若区域特征如图特别地特别地机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束27/61（2）极点极点O 恰在区域恰在区域 D 的边界曲线之上时的边界曲线之上时区域特征如图区域特征如图（1）的特例的特例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

12、回返回 结束结束28/61区域特征如图区域特征如图（3）极点极点 O 在区域在区域 D 的边界曲线之内时的边界曲线之内时（2）的特例的特例一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？一般在什么情况下利用极坐标计算二重积分呢？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束29/61【解解】3、利用极坐标系计算二重积分、利用极坐标系计算二重积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束30/61【解解】x yo的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 ,故本题无法故本题无法【注注】1.由于由于用直角坐标计算用直角坐标计算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

13、结束结束31/61【解解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束32/61【例例4】计算二重积分计算二重积分其中其中:(1)D为圆域为圆域(2)D由直线由直线【解解】(1)利用对称性利用对称性.围成围成.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束33/61(2)积分域如图积分域如图:将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性,得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束34/61【例例6】【解解】作业作业 P153;同济同济p155!机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束35/614.【补充补充】改变二次积

14、分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题【例1】交换下列积分顺序【解解】积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为Y型区域型区域,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束36/61【例例2】计算计算其其中中 D 是由直线是由直线 y=x 及抛物线及抛物线 y2=x 所围成所围成【解解】积不出的积分，无法计算。积不出的积分，无法计算。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束37/61【例例3】【解解】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束38/61作业作业 P153;同济同济p155!机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返

15、回 结束结束39/61二、三重积分的计算二、三重积分的计算1.1.利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分 以下只限于叙述计算方法以下只限于叙述计算方法1.直角坐标下直角坐标下2.柱面坐标下柱面坐标下3.球面坐标下球面坐标下方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截面法(切片法切片法)(“先二后一先二后一”)先假设连续函数先假设连续函数 最后最后,推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算.-将三重积分化为三次积分将三重积分化为三次积分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束40/61方法方法1 1：投影法：投影法【“先一后二先

16、一后二”】如图如图z轴轴机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束41/61得得X型域型域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束42/61【注意注意】此式称为先对此式称为先对z、次对、次对y、最后对、最后对x的三次积分的三次积分得计算公式得计算公式（1）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束43/61（2）若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，若交点多于两个，也可像处理二重积分那样，将将分割，化为部分区域上的三重积分之和分割，化为部分区域上的三重积分之和.（3）也可把也可把投影到投影到yoz面或面或zox面上，便可面上，便可 把三重积分

17、化为其它顺序的三次积分把三重积分化为其它顺序的三次积分.（要求平行于（要求平行于 x 轴或轴或 y 轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域内部内部的直线与的直线与的边界曲面的边界曲面 S 相交不多于两点）相交不多于两点）.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束44/61【例例1】【解解】如图如图X型域型域作直线穿越作直线穿越内部内部机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束45/61故故则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束46/61【解解】得交线投影区域得交线投影区域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束47/61【解解】

18、如图如图机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束48/61【例例4】【解解】如图示如图示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束49/61【方法方法】截面法截面法截面法截面法(切片法切片法切片法切片法)【“先二后一先二后一”】【“先二后一先二后一”法的一般步骤法的一般步骤】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束50/61(?)Dz之面积之面积作业作业:同济同济P164:4,5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束51/611.若积分区域为若积分区域为D,三、关于二重积分的应用三、关于二重积分的应用（一）、立体的体积（一

19、）、立体的体积概念概念 p138！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束52/61【例例1】【解解】由对称性由对称性其中其中Flash 动画演示动画演示2a2a2.例题例题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束53/61例1.求球体求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束54/61【例例2】求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的直交圆柱面所围成的立体的体积的立体的体积V.【解解】设两个直圆柱方程为设两个直圆柱

20、方程为利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束55/611.设曲面的方程为：设曲面的方程为：在在D上偏上偏导数连续导数连续设光滑曲面设光滑曲面则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 dA 无限积累而成无限积累而成.设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d ,(称为曲面称为曲面S的面积元素的面积元素)则则（二）、曲面的面积（二）、曲面的面积机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束56/61故有曲面面积公式

21、故有曲面面积公式即即2.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有3.若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束57/61【解解】动画演示动画演示机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束58/61aa0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束59/61【例2】计算双曲抛物面被柱面被柱面【解解】曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为则则所截出的面积所截出的面积 A.azoxy z=x y.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束60/61【解解】解方程组解方程组得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周在在 平面上的投影域为平面上的投影域为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束61/61【作业作业 P141例题例题;同济同济p175!】