第四讲 马氏链模型优秀PPT.ppt

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1、第四讲 马氏链模型第一页，本课件共有39页例例1 设某商店经营情况可能有三种状态：好设某商店经营情况可能有三种状态：好（S1：利润丰厚）、一般（：利润丰厚）、一般（S2）和不好（）和不好（S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为：亏损）。根据统计资料，上月状态为Si，下月状态为下月状态为Sj的概率为的概率为pij（i=1,2,3;j=1,2,3），），0pij1例例1 中的关系既可用一转移矩阵表示中的关系既可用一转移矩阵表示 第二页，本课件共有39页例例2 研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考虑研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于系土壤中含磷、牧草

2、含磷、牛羊体内含磷和流失于系统之外四种状态，分别统之外四种状态，分别 以以S1，S2，S3和和S4表示这表示这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中的四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中的磷以磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统外的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统外的概率为的概率为 0.2；牧草中的含磷以；牧草中的含磷以 0.6的概率被牛羊吃的概率被牛羊吃掉而转换到牛羊体内，掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐败归的概率随牧草枯死腐败归还土壤；牛羊体中的磷还土壤；牛羊体中的磷 以以0.7的概率因粪便排泄而的概率因粪便排泄而还归土壤，又以自还归土壤，又以自 身身0.

3、1的比率因屠宰后投放市场而的比率因屠宰后投放市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来研转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：究此生态系统问题，其转移概率列表于下：1000S4流失系流失系统统外外0.10.200.7S3羊体含羊体含磷磷00.60.30.1S2牧草含牧草含磷磷0.200.40.4S1土壤含土壤含磷磷i时时段状段状态态S4S3S2S1i+1时时段状段状态态状状态转态转移概率移概率第三页，本课件共有39页相相应应的的转转移矩移矩阵阵 为为：且且Sj+1=SjM马氏链模型的性质完全由其转移矩马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研

4、究马氏链的数学工阵决定，故研究马氏链的数学工 具是线性代数中有关矩阵的理论。具是线性代数中有关矩阵的理论。首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有（1）（I,j=1,n）（2）（i=1,n）这样的矩阵被称为这样的矩阵被称为 随机矩阵随机矩阵。第四页，本课件共有39页常染色体遗传模型常染色体遗传模型 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如型的概率，如 表所示。表所示。在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对

5、中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基我们所考虑的遗传特征是由两个基 因因A和和a控制的，（控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。1000aa010Aa0001AA后后代代基基因因型型aaaaAaaaAaAaAAaaAAAaAAAA父体父体母体的基因型母体的基因型双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例简单的特例。第五页，

6、本课件共有39页例例3 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型 为为AA,Aa和和aa。农场计划采用。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设假设：令：令n=0,1,2,。（i）设设an,bn和和cn分别表示第分别表示第n代植物中，基因型代植物中，基因型 为为AA,Aa和和aa的的植物占植物总数的百分比植物占植物总数的百分比 。令。令x(n)为第为第n代植物的基因型分

7、布：代植物的基因型分布：当当n=0时时表示植物基因型的表示植物基因型的初始分布（即培育初始分布（即培育开始时的分布）开始时的分布）第六页，本课件共有39页（b）建模建模根据假设根据假设(ii)，先考虑第先考虑第n代中的代中的AA型。由于第型。由于第n1代的代的AA型与型与AA型结合。后代全部是型结合。后代全部是AA型；第型；第n1代的代的Aa型与型与AA型结合，后型结合，后代是代是AA型的可能性为型的可能性为 1/2，而，而 第第n1代的代的aa型与型与AA型结合，后型结合，后代不可能代不可能 是是AA型。因此当型。因此当n=1,2时时即即类似可推出类似可推出cn=0 显然有显然有（ii）第第

8、n代的分布与代的分布与 第第n1代的分布之间的关系是通过表代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。确定的。(2)(3)(4)第七页，本课件共有39页将将（2）、（）、（3）、（）、（4）式相加，得式相加，得根据根据假设假设(I)，可递推得出：可递推得出：对于对于(2)式式.(3)式和式和(4)式，我们采用矩阵形式简记为式，我们采用矩阵形式简记为其中其中（注：这里注：这里M为转移矩阵的位置）为转移矩阵的位置）(5)第八页，本课件共有39页由由（5）式递推，得式递推，得(6)（6）式给出第式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出为了计算出Mn，我们将，我

9、们将M对角化，即求出可逆矩对角化，即求出可逆矩 阵阵P和对角和对角库库D，使，使 M=PDP-1因而有因而有 Mn=PDnP-1,n=1,2,其中其中这里这里 ，是矩是矩 阵阵M的三个特征值。对于的三个特征值。对于(5)式中式中的的M，易求得它的特征值和特征向量：，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0第九页，本课件共有39页因此因此所以所以 通通过计过计算，算，P-1=P，因此有，因此有第十页，本课件共有39页即即第十一页，本课件共有39页所以有所以有当当时时，所以从（，所以从（4.7）式得到）式得到即在极限的情况下，培育的植物都即在极限的情况下，培育的植物都 是是AA型。型。若在

10、上述问题中，不选用基若在上述问题中，不选用基 因因AA型的植物与每一植物结合，而型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如如 表所示。表所示。11/40aa01/20Aa01/41AA后后代代基基因因型型aaaaAaAaAAAA父体父体母体的基因型母体的基因型第十二页，本课件共有39页并且并且，其中，其中M的特征的特征值为值为通过计算，可以解出与通过计算，可以解出与 、相对应的两个线性无关的特征相对应的两个线性无关的特征向量向量e1和和e2，及与相对应的特征内，及与相对应的特征内 量量e3：因

11、此因此第十三页，本课件共有39页解得：解得：当当 时时，所以，所以因因此此，如如果果用用基基因因 型型相相同同的的植植物物培培育育 后后代代，在在极极限限情情况况 下下，后后代代仅仅具具有有基基 因因 A A和和 a a。第十四页，本课件共有39页例例4 常染体隐性疾病模型常染体隐性疾病模型现在世界上已经发现的遗传病有将现在世界上已经发现的遗传病有将 近近4000种。在一种。在一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在

12、黑人中，中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者，者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出会出现显性

13、特征，不会受到疾病的折磨。现显性特征，不会受到疾病的折磨。第十五页，本课件共有39页现在，我们考虑在控制现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概定后代中隐性患者的概率。率。（a）假设）假设（i）常染色体遗传的正常基因记常染色体遗传的正常基因记 为为A，不，不 正常基因记正常基因记 为为a，并以，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患分别表示正常人，隐性患者，显性患 者的基因型者的基因型（ii）设设an,bn分别表示第分别表示第n代中基因型为代中基因型为 AA，Aa的人占总人数的百分比，的人占总人数的百分比，记记 ，n=1,2,（这里（这

14、里 不考不考 虑虑aa型是因型是因 为这些人不可能成年并结婚）为这些人不可能成年并结婚）（iii）为使每个儿童至少有一个正常的父为使每个儿童至少有一个正常的父 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由人结合，其后代的基因型概率由 下表下表 给出：给出：1/20Aa1/21AA后后代代基基因因型型AAAaAAAA父母的基因型父母的基因型第十六页，本课件共有39页（b）建模）建模由由假假设设（iii），），从第从第n1代到第代到第n代基因型分布的代基因型分布的变变化取化取决于方程决于方程所以所以，其中，其中如果初始分如果初始分 布布x(0)已知

15、，那么已知，那么 第第n代基因型分布代基因型分布为为解解 将将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得第十七页，本课件共有39页计计算算 =8)因因为为，所以当，所以当 时时，隐隐性患者逐性患者逐渐渐消失。消失。从从(8)式中可知式中可知每代隐性患者的每代隐性患者的概率是前一代隐概率是前一代隐性患者概率的性患者概率的1/2。(9)第十八页，本课件共有39页（c）模型讨论）模型讨论研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它

16、技巧，在随机合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以结合的情况下可以 把把（4.9）式改写为式改写为(4.10)下面给会出数值例子：下面给会出数值例子：某地区有某地区有10%的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制结合，根据结合，根据（4.9）式可知下一代式可知下一代（大约（大约27年）的隐性患者年）的隐性患者将减少到将减少到5%；如果随机结合，根据如果随机结合，根据（4.10）式，可以预言）式，可以预言下一代人中下一代人中 有有9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生是隐性患者，并且可计算出大约每出生400个黑人孩

17、子，其中有一个是显性患者。个黑人孩子，其中有一个是显性患者。第十九页，本课件共有39页（近亲繁殖）（近亲繁殖）近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪到近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪到四代，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。为简四代，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。为简单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情况，其单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情况，其中中代表男性，代表男性，代表女性。代表女性。设曾祖父有某基因设曾祖父有某基因 对对A1A2，曾祖母有某基因，曾祖母有某基因 对对A3A4，容易求，容易求得：祖父母取得

18、：祖父母取 得得A1的概率为的概率为 1/2，故祖父母同，故祖父母同 有有A1基因的概率基因的概率为为1/4；父母同有；父母同有A1基因的概率为基因的概率为 1/16，而子女从父母那里获，而子女从父母那里获得基因对得基因对A1A1的概率为的概率为 1/64，而获得相同基因对（称为基因纯，而获得相同基因对（称为基因纯合子）合子）A1A1，A2A2，A3A3或或A4A4之一的概率为之一的概率为 1/16,此概率被此概率被称为表兄称为表兄 妹妹(或堂兄妹或堂兄妹)结婚结婚(表亲表亲)的的近交系数近交系数。类似可求得半堂亲（只有一个共同祖先）的近交系数类似可求得半堂亲（只有一个共同祖先）的近交系数 为

19、为1/32，从表亲（父母为表亲）的近交系数，从表亲（父母为表亲）的近交系数 为为1/64；非近亲结婚不可；非近亲结婚不可能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自己的基能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自己的基因对的情况，故近交系数因对的情况，故近交系数 为为0。第二十页，本课件共有39页（群体的近交系数）（群体的近交系数）设某设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近交系数。例如，某村镇共有交系数。例如，某村镇共有2000对婚配关系，其中有对婚配关系，其中有59对表亲，对表亲，22对半堂亲对半

20、堂亲 和和28对从表亲，则该村镇的近亲系数为对从表亲，则该村镇的近亲系数为 现在，我们来研究近亲结现在，我们来研究近亲结 婚会产生什么结果。婚会产生什么结果。设某基因对由设某基因对由 A、a两种基因组成，出两种基因组成，出 现现A的概率为的概率为p，出现，出现a的的概率为概率为q=1-p。在随机交配群体中，其子女。在随机交配群体中，其子女 为为AA、Aa及及aa型型的概率分别的概率分别 为为p2、2pq及及q2。对近交系数对近交系数 为为F的群体，根据条件概率公式，后代出的群体，根据条件概率公式，后代出 现现aa型基因对型基因对的概率为的概率为第二十一页，本课件共有39页比比较较存在近存在近亲

21、亲交配的群体与不允交配的群体与不允许许近近亲亲交配交配 (F=0)的群体，的群体，令令 若若a为为某种某种隐隐性疾病的基因，易性疾病的基因，易见见，在近交群体中，后代，在近交群体中，后代产产 生生遗传遗传病（病（aa型）的概率增大了，型）的概率增大了，且且F越大，后代患越大，后代患遗传遗传病病 的概率也越大。的概率也越大。同样，后代出现同样，后代出现AA型基因对的概率型基因对的概率 为为p2+Fpq。Aa型不可能型不可能 是共是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为2pq(1-F)。第二十二页，本课件共有39页例如例如，苯丙酮尿症苯丙酮尿症是一种隐性基因

22、纯合子是一种隐性基因纯合子 aa型疾病（型疾病（a为隐性疾为隐性疾病基因），隐性基因出现的频率病基因），隐性基因出现的频率 ，求表，求表兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。由前，表兄妹结婚的近交系数为由前，表兄妹结婚的近交系数为 1/16,故其子女发生该疾病的概率故其子女发生该疾病的概率为为而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率为而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率为q2=10-4。表兄。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增大了大妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增大了大 约约7.19倍，倍，由此可见

23、，为了提高全民族的身体素质，近亲结婚是应当由此可见，为了提高全民族的身体素质，近亲结婚是应当 禁禁止止的。的。第二十三页，本课件共有39页例例5 X链遗传模型的一个实例链遗传模型的一个实例X链遗传链遗传是指另一种遗传方式：雄性具有一个基是指另一种遗传方式：雄性具有一个基 因因A或或a，雌性具有两个基雌性具有两个基 因因AA，或，或Aa，或，或aa。其遗传规律是雄性后。其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个

24、。下面，研究面，研究 与与X链遗传有关的近亲繁殖过程。链遗传有关的近亲繁殖过程。（a）假设）假设（i）从一对雌雄结合开始从一对雌雄结合开始,在它们的后代在它们的后代 中中,任选雌雄各一任选雌雄各一 个成配偶个成配偶,然后在它们产生的后代中任选两个结成配然后在它们产生的后代中任选两个结成配 偶偶,如此继续下去如此继续下去,(在家畜、家禽饲养中常见这种现在家畜、家禽饲养中常见这种现 象象)（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A,AA),(A,Aa),(A,aa),(a,AA),(a,Aa),(a,aa)6种。初始一种。初始一 对雌雄的

25、同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的对雌雄的同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的 基因型如下表所示。基因型如下表所示。第二十四页，本课件共有39页（iii）在每一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并在每一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并 有确定的概率。为计算这些概率有确定的概率。为计算这些概率 ,设设an,bn,cn,dn,en,fn 分别是第分别是第n代中配偶的同胞对代中配偶的同胞对 为为(A,AA)，(A,Aa)，(A,aa),(a,AA),(a,Aa),(a,aa)型的概率，型的概率，n=0,1,。令令（iv）如果第如果第n1代配偶的同胞对是代配偶的同胞对是（A,Aa）型

26、，那么它）型，那么它 们的雄性后代将等可能地得到基们的雄性后代将等可能地得到基 因因A和和a，它们的雌，它们的雌 性后代的基因型将等可能地性后代的基因型将等可能地 是是AA或或Aa。又由于。又由于 第第n 代雌雄结合是随机的，那么代雌雄结合是随机的，那么 第第n代配偶的同胞对将等代配偶的同胞对将等 可能地为四种类型可能地为四种类型(A,AA),(A,Aa),(a,AA),(a,Aa)之一，之一，对于其它类型的同胞对，我们可以进行同样分析，对于其它类型的同胞对，我们可以进行同样分析，因此有因此有11/20000aa01/2111/20Aa00001/21AA11/2011/20a01/2101/

27、21AA后后代代基基因因型型(a,aa)(a,Aa)(a,AA)(A,aa)(A,Aa)(A,AA)父体父体母体的基因型母体的基因型(11)第二十五页，本课件共有39页其中其中从（从（11）式中易得）式中易得经过计经过计算，矩算，矩阵阵 M的特征的特征值值和特征向量和特征向量为为，第二十六页，本课件共有39页,M对对角化，角化，则则有有(12)第二十七页，本课件共有39页 其中：其中：第二十八页，本课件共有39页第二十九页，本课件共有39页当当 时时因此，当因此，当 时时，（，（12）式中）式中第三十页，本课件共有39页即即因此，在极限情况下所有同胞因此，在极限情况下所有同胞对对或者是或者是（

28、A,AA）型，或者是）型，或者是（a,aa）型。如果初始的父母体同胞）型。如果初始的父母体同胞对对 是（是（A,Aa）型，即）型，即b0=1，而，而a0=c0=d0=e0=f0=0，于是，当，于是，当时时即同胞对是即同胞对是(A,AA)型的概率是型的概率是2/3，是，是(a,aa)型的概率为型的概率为1/3。第三十一页，本课件共有39页（正则链与吸收链）（正则链与吸收链）根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：正则正则链链与与吸收链

29、吸收链。定义定义2 对于马氏链，若存在一正整对于马氏链，若存在一正整 数数K，使其转移矩阵，使其转移矩阵 的的K次幂次幂MK0（每一分量均大（每一分量均大 于于0），则称此马尔链为一正则），则称此马尔链为一正则（regular）链。）链。定理定理2 若若A为正则链的转移矩阵，则必有：为正则链的转移矩阵，则必有：（1）当当 时，时，其中，其中W为一分量均大于零为一分量均大于零 的随机矩阵。的随机矩阵。（2）W的所有行向量均相同。的所有行向量均相同。第三十二页，本课件共有39页定理定理3 记记定理定理 2中的随机矩阵中的随机矩阵W的行向量为的行向量为V=(v1,vn),则：则：（1）对任意随机向）

30、对任意随机向 量量x，有，有（2）V是是A的不动点向量的不动点向量,即即VA=V,A的不动点向量是唯一的。的不动点向量是唯一的。定义定义3 状态状态Si 称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的 第第i 行行满足：满足：Pii=1，Pij=0（ji）定义定义4 马氏链被称为马氏链被称为 吸收链吸收链，若其满足以下两个条件：，若其满足以下两个条件：（1）至少存在一个吸收状态）至少存在一个吸收状态。（2）从任一状态出发）从任一状态出发,经经有限步有限步转移总可到达某一吸收转移总可到达某一吸收 状态状态 根据根据定义定义3，例例2中状态中状态S4即即为一吸收链为一吸收链

31、第三十三页，本课件共有39页具有具有r个吸收状态，个吸收状态，nr个非吸收状态的吸收链，它的个非吸收状态的吸收链，它的nn转移矩阵转移矩阵的标准形式为的标准形式为 （注：非（注：非标标准形式可准形式可经对经对状状态态重新重新编编号号 ）其中其中Ir为为r 阶单位阵，阶单位阵，O为为rs零阵，零阵，R为为sr 矩阵，矩阵，S为为ss矩阵。矩阵。令令上式中的子阵上式中的子阵Sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经过表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经过n步转移后，处于步转移后，处于s个非吸收状态的概率。个非吸收状态的概率。在吸收链中，令在吸收链中，令F=(IS)-1，称，称F为为基矩阵基矩阵。

32、第三十四页，本课件共有39页定理定理4 吸收链的基矩吸收链的基矩 阵阵F中的每个元素，表示从一个非吸收中的每个元素，表示从一个非吸收 状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次状态出发，过程到达每个非吸收状态的平均转移次 数。数。定理定理5 设设N=FC，F为吸收链的基矩阵，为吸收链的基矩阵，C=(1,1,1)T，则，则N 的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收 状态被吸收之前的平均转移次数。状态被吸收之前的平均转移次数。定理定理6 设设B=FR=（bij），），其中其中F为吸收链的基矩阵，为吸收链的基矩阵，R为为T中中 的子阵，则的子阵，则

33、bij表示从非吸收状表示从非吸收状 态态i出发，被吸收状态出发，被吸收状态 j 吸收的概率。吸收的概率。第三十五页，本课件共有39页例例6（竞赛问题竞赛问题）甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记记2分，抢答题开始后，如甲取胜则甲分，抢答题开始后，如甲取胜则甲 加加1分而乙减分而乙减1分，反分，反之则乙加之则乙加1分甲减分甲减1分分,(每题必需决出胜负每题必需决出胜负)。规则还规定，当。规则还规定，当其中一方的得分达其中一方的得分达 到到4分时，竞赛结束。现希望知道：分时，竞赛结束。现希望知道：（1）甲队获胜的概率有多大？甲队

34、获胜的概率有多大？（2）竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？（3）甲获得甲获得1、2、3分的平均次数是多少？分的平均次数是多少？设甲胜一题的概率设甲胜一题的概率 为为p，（，（0p1），），p与两队的实力有关。与两队的实力有关。甲队得分有甲队得分有5种可能，即种可能，即0，1，2，3，4。我们分别记为状态。我们分别记为状态S0，S1，S2，S3，S4，其中，其中S0和和S4是吸收状态，是吸收状态，a1，a2和和a3是非吸是非吸收状态。过程收状态。过程 以以S2作为初始状态。根据甲队赢作为初始状态。根据甲队赢 得得1分的概率为分的概率为 p，建立转移矩阵：建立转移矩阵：第三十六页，本课件共有39页S 0 S 1 S 2 S 3 S 4 将上式改记为标准形将上式改记为标准形 式式T：其中其中第三十七页，本课件共有39页计计算算 F：令令q=1-p，则则因为因为a2是初始状态，根是初始状态，根 据据定理定理4，甲队获分为，甲队获分为1，2，3分的平分的平均次数为均次数为，。又。又 第三十八页，本课件共有39页=根据根据定理定理5，以，以a2为为初始状初始状态态，甲，甲队队最最终获胜终获胜的平均的平均转转 移欠移欠数数为为。又因。又因为为，根据根据定理定理6，甲，甲队队最后最后获胜获胜的概率的概率。第三十九页，本课件共有39页