MATLAB解方程与函数极值课件.ppt

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1、第第7章章 MATLAB解方程与函数极值解方程与函数极值7.1 线性方程组求解线性方程组求解7.2 非线性方程数值求解非线性方程数值求解7.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法7.4 函数极值函数极值7.1 线性方程组求解线性方程组求解7.1.1 直接解法直接解法1利用左除运算符的直接解法利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，可以利用可以利用左除运左除运算符算符“”求解：求解：x=Ab例例7-1 用直接解法求解下列线性方程组用直接解法求解下列线性方程组命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-

2、4;b=13,-9,6,0;x=Ab2利用矩阵的分解求解线性方程组利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、分解、QR分解、分解、Cholesky分解，以及分解，以及Schur分解、分解、Hessenberg分解、奇异分解等。分解、奇异分解等。(1)LU分解分解矩阵的矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个单位下三角矩分解就是将一个矩阵表示为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。只要方阵阵和一个上三角矩阵的乘积形式。只要方

3、阵A是非奇异是非奇异的，的，LU分解总是可以进行的。分解总是可以进行的。L,U=lu(X)：产生一个上三角阵产生一个上三角阵U和一个变换形式的下和一个变换形式的下三角阵三角阵L(行交换行交换)，使之满足，使之满足X=LU。注意，这里的矩注意，这里的矩阵阵X必须是方阵。必须是方阵。L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵产生一个上三角阵U和一个下三角阵和一个下三角阵L以以及一个置换矩阵及一个置换矩阵P，使之满足使之满足PX=LU。当然矩阵当然矩阵X同样同样必须是方阵。必须是方阵。例例7-2 用用LU分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1

4、;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;L,U=lu(A);x=U(Lb)或采用或采用LU分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：L,U,P=lu(A);x=U(LP*b)(2)QR分解分解对矩阵对矩阵X进行进行QR分解，就是把分解，就是把X分解为一个正交矩阵分解为一个正交矩阵Q和和一个上三角矩阵一个上三角矩阵R的乘积形式。的乘积形式。QR分解只能对方阵进分解只能对方阵进行。行。Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩和一个上三角矩阵阵R，使之满足使之满足X=QR。Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正

5、交矩阵产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角一个上三角矩阵矩阵R以及一个置换矩阵以及一个置换矩阵E，使之满足使之满足XE=QR。实现实现QR分解后，线性方程组分解后，线性方程组Ax=b的解的解x=R(Qb)或或x=E(R(Qb)。例例7-3 用用QR分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;Q,R=qr(A);x=R(Qb)或采用或采用QR分解的第分解的第2种格式，命令如下：种格式，命令如下：Q,R,E=qr(A);x=E*(R(Qb)(3)Cholesky分解

6、分解 如果矩阵如果矩阵X是对称正定的，则是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即则下三角矩阵为其转置，即X=RR。R=chol(X)：产生一个上三角阵产生一个上三角阵R，使，使RR=X。若。若X为非为非对称正定，则输出一个出错信息。对称正定，则输出一个出错信息。R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相与上述格式得到的结果相同；否则同；

7、否则p为一个正整数。如果为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则为满秩矩阵，则R为为一个阶数为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足的上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。例例7-4 用用Cholesky分解求解例分解求解例7-1中的线性方程组。中的线性方程组。命令如下：命令如下：A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;b=13,-9,6,0;R=chol(A)?Error using=cholMatrix must be positive definite命令执行时，出现错误信息，说明命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩为非正定矩阵。阵。7.1.2

8、 迭代解法迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括在数值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。1Jacobi迭代法迭代法 对于线性方程组对于线性方程组Ax=b，如果如果A为非奇异方阵，即为非奇异方阵，即aii0(i=1,2,n)，则可将则可将A分解为分解为A=D-L-U，其中其中D为为对角阵，其元素为对角阵，其元素为A的对角元素，的对角元素，L与与U为为A的下三角的下三角阵和上三角阵，于是阵和上三角阵，于

9、是Ax=b化为：化为：x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为：与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是这就是Jacobi迭代公式。如果序列迭代公式。如果序列x(k+1)收敛于收敛于x，则则x必是方程必是方程Ax=b的解。的解。Jacobi迭代法的迭代法的MATLAB函数文件函数文件Jacobi.m如下：如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=B*x0+f;n=n+1;end例例7-5 用用Jacobi迭代法求解下列线性

10、方程组。迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为设迭代初值为0，迭代精度为，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)2Gauss-Serdel迭代法迭代法 在在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代公式不必再用，即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：于是得到：x(k+

11、1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 该式即为该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和迭代公式。和Jacobi迭迭代相比，代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。量，精度会高些。Gauss-Serdel迭代法的迭代法的MATLAB函数文件函数文件gauseidel.m如下：如下：function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y;y=G*x0+f;n=n+1;end例例7-6 用用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方

12、程组。迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为设迭代初值为0，迭代精度为，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)例例7-7 分别用分别用Jacobi迭代和迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列迭代法求解下列线性方程组，线性方程组，看是否收敛。看是否收敛。命令如下：命令如下：a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseide

13、l(a,b,0;0;0)7.2 非线性方程数值求解非线性方程数值求解7.2.1 单变量非线性方程求解单变量非线性方程求解 z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中其中fname是待求根的函数文件名，是待求根的函数文件名，x0为为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离函数只给出离x0最近的那个根。最近的那个根。tol控制结果的控制结果的相对精度，缺省时取相对精度，缺省时取tol=eps，trace 指定迭代指定迭代信息是否在运算中显示，为信息是否在运算中显示，为1时显示，时显示，为为0时不时不显示，缺省时取显示，缺省时取t

14、race=0。例例7-8 求求f(x)=x-10 x+2=0在在x0=0.5附近的根。附近的根。步骤如下：步骤如下：(1)建立函数文件建立函数文件funx.m。function fx=funx(x)fx=x-10.x+2;(2)调用调用fzero函数求根。函数求根。z=fzero(funx,0.5)z=0.37587.2.2 非线性方程组的求解非线性方程组的求解 X=fsolve(fun,X0,option)其中其中X为返回的解，为返回的解，fun是用于定义需求解的非线是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，是求根过程的初值，option为最优化

15、工具箱的选项设定。最优化工具箱提供为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了了20多个选项，用户可以使用多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中间结果的显示方式，其中off为不显示，为不显示，iter表示每步都显示，表示每步都显示，final只显示最终结果。只显示最终结果。optimset(Display,off)将设定将设定Display选项为选项为off

16、。例例7-9 求下列非线性方程组在求下列非线性方程组在(0.5,0.5)附近的数值解。附近的数值解。(1)建立函数文件建立函数文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);(2)在给定的初值在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下，调用下，调用fsolve函数求方函数求方程的根。程的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x=0.6354 0.3734将求得的解代回原方程，可以检验结果是否

17、正确，命令将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：如下：q=myfun(x)q=1.0e-009*0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。可见得到了较高精度的结果。7.3 常微分方程初值问题的数值解法常微分方程初值问题的数值解法7.3.1 龙格库塔法简介龙格库塔法简介7.3.2 龙格库塔法的实现龙格库塔法的实现 基于龙格库塔法，基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：值解的函数，一般调用格式为：t,y=ode23(fname,tspan,y0)t,y=ode45(fname,tspan,y0)其中其中fname

18、是定义是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。回一个列向量。tspan形式为形式为t0,tf,表示求解区间。表示求解区间。y0是初始状态列向量。是初始状态列向量。t和和y分别给出时间向量和相应分别给出时间向量和相应的状态向量。的状态向量。例例7-10 设有初值问题设有初值问题试求其数值解，并与精确解相比较试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为精确解为y(t)=)。(1)建立函数文件建立函数文件funt.m。function yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2)求解微分方程。求解微分方程。t0=0;tf=10

19、;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0);%求数值解求数值解y1=sqrt(t+1)+1;%求精确解求精确解tyY1%y为数值解，为数值解，y1为精确值，显然两者近似。为精确值，显然两者近似。例例7-11 求解著名的求解著名的Van der Pol方程方程 。选状态变量：选状态变量：状态方程：状态方程：例例7-12 有有Lorenz模型的状态方程，模型的状态方程，取取 试绘制系统相平面图。试绘制系统相平面图。7.4 函数极值函数极值 MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数极值的函数fmin和和fmins，它们分别用于单变它们分别用于单

20、变量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为：量函数和多变量函数的最小值，其调用格式为：x=fminbnd(fname,x1,x2)x=fminsearch(fname,x0)fminbnd函数用于求单变量函数的最小值函数用于求单变量函数的最小值点。点。fname是被最小化的目标函数名，是被最小化的目标函数名，x1和和x2限定自变量的取值范围。限定自变量的取值范围。fminsearch函数用于函数用于求多变量函数的最小值点，求多变量函数的最小值点，x0是求解的初始值是求解的初始值向量。向量。MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到只要注意到-f(

21、x)在区间在区间(a,b)上的最小值就是上的最小值就是f(x)在在(a,b)的最大值，所以的最大值，所以fminbnd(f,x1,x2)返回函数返回函数f(x)在在区间区间(x1,x2)上的最大值。上的最大值。例例7-13 求求f(x)=x3-2x-5在在0,5内的最小值点。内的最小值点。(1)建立函数文件建立函数文件mymin.m。function fx=mymin(x)fx=x.3-2*x-5;(2)调用调用fmin函数求最小值点。函数求最小值点。x=fmin(mymin,0,5)x=0.8165第第8章章 MATLAB数值积分与数值积分与微分微分8.1 数值积分数值积分8.2 数值微分数

22、值微分 8.1 数值积分数值积分8.1.1 数值积分基本原理数值积分基本原理 基本思想基本思想:将整个积分区间将整个积分区间a,b分成分成n个子区个子区间间xi,xi+1，i=1,2,n，其中其中x1=a，xn+1=b。这这样求定积分问题就分解为求和问题样求定积分问题就分解为求和问题 而每个小的子区间上的定积分的值可以近似通而每个小的子区间上的定积分的值可以近似通过梯形攻势等近似求得，这样的求积方法称为过梯形攻势等近似求得，这样的求积方法称为数值求技。数值求技。8.1.2 数值积分的实现方法数值积分的实现方法1变步长辛普生法变步长辛普生法基于变步长辛普生法，基于变步长辛普生法，MATLAB给出

23、了给出了quad函函数来求定积分。该函数的调用格式为：数来求定积分。该函数的调用格式为：I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中其中fname是被积函数名。是被积函数名。a和和b分别是定积分分别是定积分的下限和上限。的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时用来控制积分精度，缺省时取取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若控制是否展现积分过程，若取非取非0则展现积分过程，取则展现积分过程，取0则不展现，缺省时则不展现，缺省时取取trace=0。返回参数返回参数I即定积分值，即定积分值，n为被积函为被积函数的调用次数。数的调用次数。例例8-1 求定积分求定

24、积分 。(1)建立被积函数文件建立被积函数文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数调用数值积分函数quad求定积分。求定积分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S=0.9008n=772牛顿柯特斯法牛顿柯特斯法 基于牛顿柯特斯法，基于牛顿柯特斯法，MATLAB给给出了出了quad8函数来求定积分。该函数的调函数来求定积分。该函数的调用格式为：用格式为：I,n=quad8(fname,a,b,tol,trace)其中参数的含义和其中参数的含义和quad函数相似，只是函数相似，只是tol的缺省值

25、取的缺省值取10-6。该函数可以更精确该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于调用的步数明显小于quad函数，从而保函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。证能以更高的效率求出所需的定积分值。例例8-2 求定积分求定积分 。(1)被积函数文件被积函数文件fx.m。function f=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x);(2)调用函数调用函数quad8求定积分。求定积分。I=quad8(fx,0,pi)I=2.4674例例8-3 分别用分别用quad函数和函数和quad8函数求定积分函数求

26、定积分的近似值，并比较函数的调用次数。的近似值，并比较函数的调用次数。调用函数调用函数quad求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65 调用函数调用函数quad8求定积分：求定积分：format long;fx=inline(exp(-x);I,n=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=333被积函数由一个表格定义被积函数由一个表格定义 在在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求中，对由表格形式定义的函数关系的求

27、定积分问题用定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量函数。其中向量X,Y定义函数定义函数关系关系Y=f(X)。例例8-4 用用trapz函数计算定积分函数计算定积分 。命令如下：命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函数关系数据向量生成函数关系数据向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163938.1.3 二重定积分的数值求解二重定积分的数值求解 调用格式为：调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求该函数求f(x,y)在在a,bc,d区域区域上的二重定积分。参数上的二重定积分。参数tol，trace的的用法与

28、函数用法与函数quad完全相同。完全相同。例例8-5 计算二重定积分计算二重定积分(1)建立一个函数文件建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2)调用调用dblquad函数求解。函数求解。global ki;ki=0;I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=10388.2 数值微分数值微分8.2.1 数值差分与差商数值差分与差商 8.2.2 数值微分的实现数值微分的实

29、现 在在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数差分的函数diff，其调用格式为：其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量计算向量X的向前差分，的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：计算计算X的的n阶向前差分。例如，阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵计算矩阵A的的n阶差分，阶差分，dim=1时时(缺省状态缺省状态)，按列计算差分；按列计算差分；dim=2，按行计算差分。按行计算差分。例例8-

30、6 生成以向量生成以向量V=1,2,3,4,5,6为基础的范得蒙为基础的范得蒙矩阵，按列进行差分运算。矩阵，按列进行差分运算。命令如下：命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V)%计算计算V的一阶差分的一阶差分例例8-7 用不同的方法求函数用不同的方法求函数的数值导数，并在同一个坐标系中做出的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。的图像。程序如下：程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5);%用用5次多项式次多项式p拟合拟合f(x)dp=polyder(p);%对拟合多项式对拟合多项式p求导数求导数dpdpx=polyval(dp,x);%求求dp在假设点的函数值在假设点的函数值dx=diff(f(x,3.01)/0.01;%直接对直接对f(x)求数值导数求数值导数gx=g(x);%求函数求函数f的导函数的导函数g在假设点的导数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-);%作图作图