高等数学一阶微分方程教学课件.ppt

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1、第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 1第六章第六章 常微分方程常微分方程 第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程第三节第三节 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程第四节第四节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构 第五节第五节 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 2第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程本节主要内容本节主要内容:一、可分离变量的一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程 二、齐次方程二、齐次

2、方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 3一、一、可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解法下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解法一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为(1)的的形形式式，称称(1)式式为为可可分分离离变变量量的的微微分分方方程程其其中中f(x)只只是是x的函数的函数,g(y)只是只是y的函数的函数.(2)如果一阶微分方程如果一阶微分方程(1)式可以化为形如式可以化为形如或或第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方

3、程一阶微分方程 4这类方程的这类方程的特点特点是：是：经过适当整理，可使方程的一边只含有一个变量和其微经过适当整理，可使方程的一边只含有一个变量和其微分分.第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 5第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 6这个通解是以隐函数形式给出的，也可以显化为这个通解是以隐函数形式给出的，也可以显化为得方程的通解得方程的通解两边积分两边积分解解将方程分离变量，得将方程分离变量，得例例1求微分方程求微分方程y-eysinx=0的通解的通解第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 7

4、例例2求微分方程求微分方程的通解的通解解解 将方程分离变量，有将方程分离变量，有两边积分得两边积分得故通解为故通解为第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 8例例3求微分方程求微分方程解解 将方程分离变量，有将方程分离变量，有两边积分得两边积分得的通解的通解第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 9(3)因为因为是不为零的任意常数，把它记作是不为零的任意常数，把它记作C，便得到，便得到方程的通解方程的通解可以验证可以验证C=0时时，,它们也是原方程的解，它们也是原方程的解，因此（因此（3）式中的）式中的C可设为任意常数可设为任意常

5、数第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 10 解方程中，如果积分后出现对数，理应都需作类似解方程中，如果积分后出现对数，理应都需作类似上述的讨论为方便起见，例上述的讨论为方便起见，例2可作如下简化处理：可作如下简化处理：两边积分得两边积分得 分离变量后得分离变量后得 故通解为故通解为 其中其中C为任意常数为任意常数 第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 11两边积分得方程通解两边积分得方程通解解解 方程变形后分离变量得方程变形后分离变量得，得，得由初始条件由初始条件故所求特解为故所求特解为求微分方程求微分方程例例4满足满足初始

6、条件初始条件的特解的特解第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 121.定义定义的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.解法解法作变量代换作变量代换,令令代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程二、二、齐次方程齐次方程 分离变量，得分离变量，得第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 13解解 将方程变形为齐次方程的形式将方程变形为齐次方程的形式例例5 求微分方程求微分方程的通解的通解令令,则方程化为则方程化为第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 14分离变量后，得分离变量后，得两

7、边积分，得两边积分，得即即以以代回，得通解代回，得通解第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 15例例6求解微分方程求解微分方程解解第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 16微分方程的通解为微分方程的通解为即即第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 17例例7求解微分方程求解微分方程解解微分方程的通解为微分方程的通解为第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 18解解令令则则代入化简代入化简并分离变量并分离变量两边积分两边积分换回原变量换回原变量或或例例8第六章第六章

8、常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 19利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 20三、三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程 (5)的方程（其中的方程（其中称为称为一阶线性微分方程，一阶线性微分方程，是是x的已知函数），的已知函数），称为自由项称为自由项Q(x)1.Q(x)0，方程，方程(5)变为变为(6)形如形如方程方程(6)称为称为一阶线性齐次微分方程；一阶线性齐次微分方程；第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程

9、一阶微分方程 212.Q(x)0，方程，方程(5)变为变为(7)方程方程(7)称为称为一阶线性非齐次微分方程；一阶线性非齐次微分方程；例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 221.1.一阶线性齐次微分方程的解法一阶线性齐次微分方程的解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为是可分离变量的方程，是可分离变量的方程，一阶线性齐次微分方程：一阶线性齐次微分方程：分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得(8)第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 23为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函为了书

10、写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函数的一个原函数，如符号数的一个原函数，如符号是是P(x)的的一个一个原函原函数数.说明：说明：第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 24常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换2.2.一阶线性非齐次微分方程的解法一阶线性非齐次微分方程的解法的形式，其中的形式，其中C(x)是待定的函数是待定的函数第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 25积分得积分得一阶线性非齐次微分

11、方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方对应齐次方程通解程通解非齐次方非齐次方程特解程特解第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 26非齐次线性方程的通解非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解相应齐方程的通解=非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解即即 非齐通解非齐通解=齐通解齐通解+非齐特解非齐特解线性微分方程解的结构，是很优良的性质。线性微分方程解的结构，是很优良的性质。+第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 27原方程即原方程即解解两边积分，得两边积分，得解法一解法一用常数变易法：用常数变易法：的通解分离变量

12、得的通解分离变量得先求先求故故例例10求微分方程求微分方程的通解。的通解。第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 28变换常数变换常数C1，令，令，则，则整理得整理得把把y,y代入原方程，得代入原方程，得于是于是第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 29代入代入得到该非齐次方程的通解得到该非齐次方程的通解.把把解法二解法二利用通解公式求解，这时必须把方程化成利用通解公式求解，这时必须把方程化成(5)的形式有的形式有第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 30故故第六章第六章常微分方程常微分方程第二

13、节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 31例例11解解求解微分方程求解微分方程第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 32例例12求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的特解的特解.将原方程变形为将原方程变形为解解第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 33所以原方程的通解为所以原方程的通解为把初始条件把初始条件代入上式，得代入上式，得故所求方程的特解为故所求方程的特解为第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 34例例13求解微分方程求解微分方程解解将方程变形为将方程变形为这是一个一阶线性微分方程，其中这是一个一阶线性微分方程，其中第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 35第六章第六章常微分方程常微分方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程 3636内容小结内容小结可分离变量一阶微方程解法可分离变量一阶微方程解法:第一步第一步:分离变量分离变量;第二步第二步:两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.一阶线性微分方程解法一阶线性微分方程解法:第一种方法第一种方法:常数变易法常数变易法第二种方法第二种方法:公式法公式法齐次方程齐次方程:先变量代换化为可分离变量方程先变量代换化为可分离变量方程