圆中常用的作辅助线的八种方法.ppt

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1、阶段方法技巧段方法技巧训练（一）（一）专训专训2 2圆中常用的作辅助圆中常用的作辅助 线的八种方法线的八种方法习题课 在解决有关在解决有关圆圆的的计计算或算或证证明明题时题时，往往需要，往往需要添加添加辅辅助助线线，根据，根据题题目特点目特点选择选择恰当的恰当的辅辅助助线线至至关重要关重要圆圆中常用的中常用的辅辅助助线线作法有：作半径，巧作法有：作半径，巧用同用同圆圆的半径相等；的半径相等；连连接接圆圆上两点，巧用同弧所上两点，巧用同弧所对对的的圆圆周角相等；作直径，巧用直径所周角相等；作直径，巧用直径所对对的的圆圆周周角是直角；角是直角；证证切切线时线时“连连半径，半径，证证垂直垂直”以及以

2、及“作垂直，作垂直，证证半径半径”等等1方法方法作半径，巧用同圆的半径相等作半径，巧用同圆的半径相等1如如图图所示，两正方形彼此相所示，两正方形彼此相邻邻，且大正方形，且大正方形ABCD 的的顶顶点点A，D在半在半圆圆O上，上，顶顶点点B，C在半在半圆圆O的直径的直径 上；小正方形上；小正方形BEFG的的顶顶点点F在半在半圆圆O上，上，E点在半点在半 圆圆O的直径上，点的直径上，点G在大正方形的在大正方形的边边AB上若小正上若小正 方形的方形的边长为边长为4 cm，求求该该半半圆圆的半径的半径如如图图，连连接接OA，OF.设设OAOFr cm，ABa cm.在在RtOAB中，中，r2 a2，在

3、在RtOEF中，中，r242 ，a216164a .解得解得a18，a24(舍去舍去)r2 8280.r14 ，r24 (舍去舍去)即即该该半半圆圆的半径的半径为为4 cm.解：解：在有关在有关圆圆的的计计算算题题中，求角度或中，求角度或边长时边长时，常常连连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性用特殊三角形的性质质来解决来解决问题问题2方法方法连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2如如图图，圆圆内接三角形内接三角形ABC的外角的外角ACM的平分的平分线线 与与圆圆交于交于D点，点，DPAC，垂足是，垂足

4、是P，DHBM，垂足垂足为为H.求求证证：APBH.如如图图，连连接接AD，BD.DAC、DBC是是DC所所对对的的圆圆周角周角DACDBC.CD平分平分ACM，DPAC，DHCM，DPDH.在在ADP和和BDH中，中，ADPBDH.APBH.证证明明：本本题题通通过过作作辅辅助助线线构造构造圆圆周角，然后利用周角，然后利用“同弧所同弧所对对的的圆圆周角相等周角相等”得到得到DACDBC，为证为证两三角形全等两三角形全等创创造了条件造了条件3作直径，巧用直径所对的圆周角是直角作直径，巧用直径所对的圆周角是直角方法方法3如如图图，O的半径的半径为为R，弦，弦AB，CD互相垂直，互相垂直，连连接接

5、AD，BC.(1)求求证证：AD2BC24R2；(1)如如图图，过过点点D作作 O的直径的直径DE，连连接接AE，EC，AC.DE是是 O的直径，的直径，ECDEAD90.又又CDAB，ECAB.BACACE.BCAE.BCAE.在在RtAED中，中，AD2AE2DE2，AD2BC24R2.证证明明：(2)若弦若弦AD，BC的的长长是方程是方程x26x50的两个根的两个根 (ADBC)，求，求 O的半径及点的半径及点O到到AD的距离的距离(2)如如图图，过过点点O作作OFAD于点于点F.弦弦AD，BC的的长长是方程是方程x26x50的两个根的两个根 (ADBC)，AD5，BC1.解：解：由由(

6、1)知，知，AD2BC24R2，52124R2.R .EAD90，OFAD，OFEA.又又O为为DE的中点，的中点，OF AE BC .即点即点O到到AD的距离的距离为为 .本本题题作出直径作出直径DE，利用，利用“直径所直径所对对的的圆圆周周角是直角角是直角”构造了两个直角三角形，构造了两个直角三角形，给给解解题带题带来来了方便了方便4证切线时辅助线作法的应用证切线时辅助线作法的应用方法方法4如如图图，ABC内接于内接于 O，CACB，CDAB且且 与与OA的延的延长线长线交于点交于点D.判断判断CD与与 O的位置关的位置关 系，并系，并说说明理由明理由CD与与 O相切，理由如下：相切，理由

7、如下：如如图图，作直径，作直径CE，连连接接AE.CE是直径，是直径，EAC90.EACE90.CACB，BCAB.ABCD，ACDCAB.BACD.又又BE，ACDE.ACEACD90，即，即OCDC.又又OC为为 O的半径，的半径，CD与与 O相切相切解解：5遇弦加弦心距或半径遇弦加弦心距或半径方法方法5如如图图所示，在半径所示，在半径为为5的的 O中，中，AB，CD是互相是互相 垂直的两条弦，垂足垂直的两条弦，垂足为为P，且，且ABCD8，则则OP 的的长为长为()A3 B4 C3 D4C同同类变式式6【中考中考贵贵港港】如如图图所示，所示，AB是是 O的弦，的弦，OHAB于点于点H，点

8、，点P是是优优弧上一点，弧上一点，若若AB2 ，OH1，则则APB的度数是的度数是_6遇直径巧加直径所对的圆周角遇直径巧加直径所对的圆周角方法方法7如如图图，在，在ABC中，中，ABBC2，以，以AB为为直径的直径的 O分分别别交交BC，AC于点于点D，E，且点，且点D是是BC的中点的中点(1)求求证证：ABC为为等等边边三角形三角形(1)如如图图，连连接接AD，AB是是 O的直径，的直径，ADB90.点点D是是BC的中点，的中点，AD是是线线段段BC的垂直平分的垂直平分线线 ABAC.ABBC，ABBCAC，ABC为为等等边边三角形三角形证证明明：(2)求求DE的的长长(2)如如图图，连连接

9、接BE.AB是直径，是直径，AEB90，BEAC.ABC是等是等边边三角形，三角形，AEEC，即，即E为为AC的中点的中点 D是是BC的中点，故的中点，故DE为为ABC的中位的中位线线 DE AB 21.解解：7遇切线巧作过切点的半径遇切线巧作过切点的半径方法方法8如如图图，O是是RtABC的外接的外接圆圆，ABC90，点点P是是圆圆外一点，外一点，PA切切 O于点于点A，且，且PAPB.(1)求求证证：PB是是 O的切的切线线；(1)如如图图，连连接接OB，OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA.即即PAOPBO.又又PA是是 O的切的切线线，PAO90.P

10、BO90.OBPB.又又OB是是 O的半径，的半径，PB是是 O的切的切线线证证明明：(2)已知已知PA ，ACB60，求，求 O的半径的半径(2)如如图图，连连接接OP，PAPB，点点P在在线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线上上 OAOB，点点O在在线线段段AB的垂直平分的垂直平分线线上上 OP为线为线段段AB的垂直平分的垂直平分线线解解：又又BCAB，POBC.AOPACB60.由由(1)知知PAO90.APO30.PO2AO.在在RtAPO中，中，AO2PA2PO2，AO23(2AO)2.又又AO0，AO1，O的半径的半径为为1.8巧添辅助线计算阴影部分的面积巧添辅助线计算阴影部分的面

11、积方法方法9【中考中考自自贡贡】如如图图所示，点所示，点B，C，D都在都在 O上，上，过过点点C作作ACBD交交OB的延的延长线长线于点于点A，连连接接CD，且且CDBOBD30，DB6 cm.(1)求求证证：AC是是 O的切的切线线；(1)如如图图，连连接接CO，交，交DB于点于点E，O2CDB60.又又OBE30，BEO180603090.ACBD，ACOBEO90.即即OCAC.又又点点C在在 O上，上，AC是是 O的切的切线线证证明明：(2)求由弦求由弦CD，BD与与BC所所围围成的阴影部分的面成的阴影部分的面积积 (结结果保留果保留)(2)OEDB，EB DB3 cm.在在RtEOB中，中，OBD30，OE OB.EB3 cm，由勾股定理可求得由勾股定理可求得OB6 cm.解解：又又CDBDBO，DEBE，CEDOEB，CDEOBE.SCDESOBE.S阴影阴影S扇形扇形OCB 626(cm2)