【教学课件】第三章线性代数方程组.ppt

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1、第三章第三章 线性代数方程组线性代数方程组 3.1 问题概述问题概述 3.2 直接法直接法 3.3 迭代法迭代法 3.4 稀疏矩阵稀疏矩阵 3.5 其他特殊形式的矩阵其他特殊形式的矩阵 浙江大学研究生学位课程1 3.1 问题概述问题概述 问题提出问题提出 线性代数方程组系数矩阵系数矩阵未知向量未知向量右顶端右顶端浙江大学研究生学位课程2 当M=N时，如果A非奇异，则方程组（3-1）存在唯一解。3.1.2 矩阵的存储与结构矩阵的存储与结构 1.1.存储方式存储方式 a.满存方式 N2个实数 b.部分存储方式 非零元素个数 稀疏矩阵、对称矩阵、块状矩阵 2.2.存储结构存储结构 数组在计算机内存中

2、总是一维存放的 但是它的顺序在不同的高级语言中不 一定相同。浙江大学研究生学位课程3 例如，FORTRAN语言中的矩阵是按列 存放的：3.存储方式与存储结构是不同的两个概念 4.矩阵的逻辑维数与物理维数 逻辑维数逻辑维数：实际参与计算的矩阵阶数 物理维数物理维数：该矩阵可能出现的最大阶数 例如例如，调用一个子程序，计算一个44矩阵 的转置，调用形式为：CALL MATINV（A,AI,NL,NP）这里，NL是逻辑维数，=4。而NP是物理 维数，即数组A的实际定义维数。浙江大学研究生学位课程4 假定NP=6，则44矩阵存放于66矩阵中：NLNP NL=4,NP=6 NP,NP Dimension

3、 A(6,6)A内存放 44矩阵 NLNL 求A(i,j)1 i,j 4 但地址是：（j-1）NP+i浙江大学研究生学位课程5 向量范数、矩阵范数向量范数、矩阵范数 定义定义1.对于任一向量是 ，按照一定 规则确定一个实数与它对应。该实数记为 ，若 满足下面三个性质：那么实数 称为向量x的范数。设 ，则它常用的几 种范数有：浙江大学研究生学位课程6 可以验证，以上定义的几种范数均满足 三个范数的性质。它们的几何意义见图3.1 从向量范数出发可以定义矩阵范数。定义定义2：设A为nn阶矩阵。定义浙江大学研究生学位课程7|x|2 图3.1 向量范数的几何意义浙江大学研究生学位课程8 这样定义的矩阵范

4、数具有性质：显然，这样定义的矩阵范数与向量范数 的定义方法有关。前面三种常用的向量范数相应的矩阵范数是浙江大学研究生学位课程9 另外，关于范数有一个很重要的等价定理：定理：有穷线性空间上的一切范数都是 等价的。即对任意两种范数 有关系式：浙江大学研究生学位课程10 3.1.4 线性代数方程组的性态线性代数方程组的性态 线性方程组(3-2)的解完全由A和b确定。在实际问题中:由于各种原因，A和b是有误差 研究A和b的微小摄动对解x的影响十分重要的 这种影响的大小反映了问题的“性态”。在（3-2）中，如果A-1存在，则解可表示为 x=A-1b 又设 为A,b的微小摄动，而 是由 此而使x产生的误差

5、。即浙江大学研究生学位课程11 示例示例 在在4位字长的计算机上解方程组位字长的计算机上解方程组 浙江大学研究生学位课程12 现给出一般情形的估计式现给出一般情形的估计式 设 则可以证明以下估计式 其中 可见，可见，k(A)近似表示了方程组求解的误差的近似表示了方程组求解的误差的 相对放大率相对放大率浙江大学研究生学位课程13 换言之，的大小 表示问题的病态程度 k(A)称为计算问题（称为计算问题（3-2）的条件数）的条件数 Condition Number 现在再看前例：浙江大学研究生学位课程14 可见计算对象（3-10）是病态的。应当指出：应当指出：1.det(A)的值小未必会引起的值小未

6、必会引起A病态病态 例如：det(A)=0.02，而A是好条件的。2.严格来说，估计式只给出了好条件严格来说，估计式只给出了好条件 的充分条件，但不是必要条件。的充分条件，但不是必要条件。3.由于数据误差在线性系统中引起由于数据误差在线性系统中引起 的固有的不可靠的使得任何过分的固有的不可靠的使得任何过分 精度要求的企图都是徒劳的。精度要求的企图都是徒劳的。浙江大学研究生学位课程153.2 3.2 直接法直接法3.2.1 直接三角分解法直接三角分解法（LU分解）分解）考虑 AX=b A非奇异 在 Gauss 消去法中，每一步消元过程 相当于对A作一次初等变换。即左乘一个初 等变换矩阵T。第一步

7、第一步：浙江大学研究生学位课程16 第第k步步 到k步以后A化为 当k=n-1时，A化为上三角阵U，即 因此浙江大学研究生学位课程17 其中 为下三角矩阵，称（3-17）为A的三角分解。由Ti性质，可以知浙江大学研究生学位课程18 Gauss 消去法的基本步骤消去法的基本步骤浙江大学研究生学位课程19 所作的初等变换为所作的初等变换为 T1 *A =A1 T2 *A1 =A2 u 例例：设浙江大学研究生学位课程20 则，它的则，它的LU分解为分解为：浙江大学研究生学位课程21 如果有了LU分解。则解方程组就 变得非常容易了。因为 由于L,U都是三角矩阵，则Y,X 都可以很 容易从上面两式中求得

8、。如果预先知道A存在LU分解，则我 们可以直接把这种分解求出来。浙江大学研究生学位课程22浙江大学研究生学位课程23 但是 Gauss 消去法并不是对任何 非奇异矩阵都能顺利进行。如如 我们有这样的结果：我们有这样的结果：任何非奇异的nn阶矩阵A，总存 在一个排列矩阵P，使PA能进行LU分 解。上述结果表明表明，非奇异矩阵总是 能进行选主元的Gauss消去法消去法。浙江大学研究生学位课程24浙江大学研究生学位课程25 为使 LU 分解标准化。把 U 改换成 DU 是可行的。其中 D 是非奇异对角矩阵。而 U 则为单位上三角矩阵。如 称 A=LDU 为矩阵 A 的 LDU 分解。定理：定理：设设

9、浙江大学研究生学位课程26 表示 A 的各阶主子矩阵。那么，A 存在 唯一的 LDU 分解的充分必要条件充分必要条件是：Ak（k=1,2,.,n）都是非奇异。如 A 为对称正定，或者对角占优，则 A 的各阶主子矩阵均非奇异。现在我们直接从 A 求 LU 分解：设设矩阵 A 有 LDU 分解。记 LD=L。则则 A=LU，L为下三角矩阵，U为单位上三角。这种LU分解称为 Crout 分解分解。浙江大学研究生学位课程27浙江大学研究生学位课程28浙江大学研究生学位课程29关于关于L,U元素的存放元素的存放 从（从（3-22），（），（3-23）可以看出。）可以看出。A的元的元素素aij在计算出在计

10、算出 或或 以后就不再有用了以后就不再有用了。浙江大学研究生学位课程30 故L,U的非零元素便可以存放在矩阵A中的相应位置上了。最后，A所存放的元素是：容易证明：容易证明：1.即是Gauss消去法消去法中各次的主元素。浙江大学研究生学位课程31 2.如果 A 的各阶主子矩阵均非奇异，上述过程可以一直进行到底。矩阵 A 除了以上介绍的 LU 分解以外，还有一种重要的分解方法可以用于求解 线性方程组。即 QR 分解。定理定理：任意矩阵 A，总是以分解成正交 矩阵 Q 与上三角矩阵 R 的乘积：如果 A 是非奇异的，则在规定R的对角元 素的符号下，分解式是唯一的。如果如果 ，则则 Q 是正交矩阵浙江

11、大学研究生学位课程32 常见的有 Householder 正交三角分解 有了正交三角分解以后，解方程组 就变得非常简单：用 Householder 变换进行分解。从而 求解线性方程组的过程是非常稳定的。也 不必选主元。特别在方程性质不太好时，更显其优越性，但计算量大。Householder 正交三角分解还有其他用途。浙江大学研究生学位课程33 PROGRAM EXAMPLE DIMENSION A(5,5),B(3),IND(3),C(3)DATA B/5.0,3.0,4.0/A(1,1)=4.0 A(3,3)=3.0 N=3 NP=5 CALL LUDCMP(A,N,NP,IND,D)CAL

12、L LUBKSB(A,N,NP,IND,B)WRITE(*,*)B C(1)=1.C(2)=2.C(3)=3.CALL LUBKSB(A,N,NP,IND,C)WRITE(*,*)C STOP END浙江大学研究生学位课程34浙江大学研究生学位课程35程序手稿原程序文件目标程序执行程序输出结果编辑（WS）编译（F77）连结（LINK）执行（程序名）库修改图3.2 程序调试流程图浙江大学研究生学位课程363.2.2 迭代改进迭代改进 由前面讨论，我们知道，由于各种原因，特别是方程组本身的病态，将会导致解与真 解之间的误差不能达到令人满意的程度。有 各种处理病态方程组的方法。这里介绍一种 简单实用

13、的方法。它还可以用于一般方程组 的高精度求解。该方法的基本思想是利用迭该方法的基本思想是利用迭 代逐步改善解的精度代逐步改善解的精度（关键在于在迭代过程 中有些运算需用双精度进行）迭代改善过程的框图如下：浙江大学研究生学位课程37是否图 3.3 迭代改善过程浙江大学研究生学位课程38 由上图可知，迭代改进的计算，只要 在开始时作一次三角分解。以后只是反复 求解三角方程组就可以获得解的改善。关于解的改善的程度有以下结论：关于解的改善的程度有以下结论：假设在浮点数的尾数是 t 位（二进制）的 计算机上用消去法计算。A 的条件数为 一般可设 则：经过一次迭代，解的精度近似地改善 了 t-p 位。因此

14、迭代次数 k 满足 k(t-p)t 就够了。或近似地用估算式：浙江大学研究生学位课程393.2.3 奇异值分解奇异值分解（SVD）解方程组时，常常会出现奇异或十分 接近于奇异的情况。用通常的Gauss消去法 或者LDU分解法难以得到满意的解。对这 类问题，我们有一个有效的方法，它叫奇奇 异值分解法异值分解法 Singular Value Decomposition 它不但可以诊断出问题所在，而且有时能 给出一个有用的数值结果。SVD方法基于下面这个线性代数定理，由于定理本身不是我们研究的重点，这里 不加证明。浙江大学研究生学位课程40 定理：对任意MN矩阵A，这里MN，它都可以分解成下列形式：

15、A=UWVT其中：U是MN列正交矩阵；V是NN 正交矩阵；W是NN对角矩阵。且对角元素非负。即：浙江大学研究生学位课程41 由于V是方阵，故它还是行正交即 不管矩阵A是否奇异。SVD分解都能做到。而且它“几乎”是唯一的。即允许U，V的列进行变换并进行W相应交换的前提下是唯一的。如果A是NN方阵，则U，V，W都是方阵。且分解式可写为：浙江大学研究生学位课程42但是，如果其中有一些 或十分接近于0，即A奇异或接近奇异，那么A-1就难以求得。因此，SVD分解可以通过判断 的大小来分析A的性态。当A是奇异时，我们就考虑在某种意义下的解。浙江大学研究生学位课程43 由代数知识，有 当 rank(A)0;

16、秩N;但可以证明：零度秩零度秩。现在再看看分解的意义。浙江大学研究生学位课程45分解事实上分别构造了的零空间和域的各一组正交基。由所有 对应的的第j列向量是张成域的一组正交基。由所有对应的的第j列向量是张成零空间的一组正交组。现在考虑（3-24）的解。如果 的域，则方程有无穷解。因为零空间的任何向量的浙江大学研究生学位课程46 故任意的域中向量b可以由 线性表示，即这样的 张成域的一组基。（1）浙江大学研究生学位课程47（2）浙江大学研究生学位课程48浙江大学研究生学位课程49浙江大学研究生学位课程50浙江大学研究生学位课程51以上讨论用图表示如下：A图图 3.4 解空间示意图解空间示意图浙江

17、大学研究生学位课程52浙江大学研究生学位课程53浙江大学研究生学位课程543.3 迭代法迭代法 迭代法适用于解高阶稀疏非病 态方程组。它只需要存储非零元素。但对有些问题，迭代可能发散 或收敛很慢。3.3.1 Jacobi 迭代法迭代法 设有方程组 其中A是NN非奇异矩阵。故有唯一解。把（3-26）改写成迭代形式浙江大学研究生学位课程55 于是设X(0)是一个任意的初始迭代向量。代入（3-27）的右边，得到新的向量记为X(1)：一般地有：我们得到向量序列 如果 收敛于 X，即：则向量 X 是（3-27）的解。现讨论解的求法及收敛性浙江大学研究生学位课程56 设矩阵A的对角元素 。记 则D非 奇异

18、。将A表示成和式 其中：浙江大学研究生学位课程57 利用（3-29）式的矩阵符号。Jacobi 法可以 表示成：这里B 是 Jacobi 迭代矩阵。其定义为 Jacobi 方法收敛的充要条件是：迭代矩阵B的谱半径浙江大学研究生学位课程58浙江大学研究生学位课程59 现在讨论一下Jacobi方法的收敛速度 的快慢及影响速度的因素。浙江大学研究生学位课程60 （3-34）式可作为误差估计式，并且说 明|B|越小，x(k)收敛越快。（3-35）式说 明了只要|B|不是很小，当相邻两次迭代向 量x(k)和 x(k-1)很接近时，解 x*和 x(k)也是很 接近的。因此，可以用|x(k)-x(k-1)|

19、作为 迭代终止的判别式。这个结论对逐次逼 近法也成立。特别，应该指出，以上讨论的收敛性 及收敛速度均是对一般迭代式（3-27）而 言。因此，其结论对以后要讨论的G-S迭 代法和SOR法也成立。浙江大学研究生学位课程61 Jacobi 迭代法的计算步骤：迭代法的计算步骤：浙江大学研究生学位课程623.3.2 Gauss-Seidel 迭代法迭代法。G-S迭代法的基本思想来自Jacobi 迭代法。只是迭代矩阵B不同。浙江大学研究生学位课程63 这就是 Gauss-Seidel 迭代格式，它 也可写为：若用（3-29）式记号，则G-S迭代式可 表示为：或 其中浙江大学研究生学位课程64 有关收敛性和

20、收敛速度的讨论完全 与 Jacobi 方法相同，只是迭代阵为L。3.3.3 逐次超松弛（逐次超松弛（SOR）法）法 SOR法定义为法定义为：浙江大学研究生学位课程65浙江大学研究生学位课程66浙江大学研究生学位课程67 三种迭代法的比较：三种迭代法的比较：1.一般情况下，J方法与G-S方法比较 并无优劣。收敛情况与速度均不一定。例：浙江大学研究生学位课程68 2.但是具有相容次序的矩阵，在相同 精度要求下，迭代次数分别为：Jacobi 方法：1154 G-S 方法：578 SOR 方法：59 可见对这类矩阵，G-S 法比J方法快一倍，而 SOR 法的收敛速度可提高一个数量级。最后介绍一类对于三

21、种方法都收敛的最后介绍一类对于三种方法都收敛的 矩阵。矩阵。先定义可约矩阵和对角占优矩阵：浙江大学研究生学位课程69 (1).称n阶方阵为可约矩阵，如果存在n阶 排列阵P，使得 其中A11为r阶方阵，A22为（n-r）阶方阵 不是可约矩阵就是不可约矩阵 (2).称 n 阶方阵A是对角占优矩阵，如果 若上式严格不等号成立，则称A为严格对角 占优矩阵。浙江大学研究生学位课程70 (3).称A是不可约对角占优矩阵。如果A是不可 约的且对角占优，而（3-42）式中至少对一 个 i 有严格不等号成立。我们有如下结论我们有如下结论：1.若A是严格对角占优或不可约对角占优 矩阵，则A非奇异。2.若线性方程组

22、系数A是上述矩阵，则：1）J方程和G-S方法都收敛。2）当 SOR方法收敛。浙江大学研究生学位课程71 3.4 稀疏矩阵稀疏矩阵 前面介绍了直接法和迭代法。但是实 践中如何选择计算方法是一个很复杂的问 题。需要考虑的因素很多，主要有：1.方程组的性质；（病态、对角占优、正定等）2.相类似问题出现的次数；3.方程组的阶数；4.计算机的容量、字长、运算速度等；5.系数矩阵的结构；（稀疏、三对角等）6.对结果的精度要求。浙江大学研究生学位课程723.4 迭代法迭代法是解超高阶线性代数方程组 的重要方法之一，但是它也有缺点：不适合解病态问题；精度不高；收敛速度依赖于加速因子的选取；收敛性不能保证；所需

23、乘除运算量大。在这些方面，相对来说，直接法运算 步骤一定，运算次数有限，精度高。对解 大型稀疏矩阵问题可以利用和保持系数矩 阵的稀疏性来降低存储容量和缩短计算时 间。浙江大学研究生学位课程73 但是，为了保持系数矩阵的稀疏性。必须 使用特殊的计算方法和高级程序设计技术。近年来在这方面有较大的发展。其优越性 大大超过了迭代法。在这一节里，不详细介绍计算方法，只给出一些常用的标准稀疏矩阵形式。同 时给出一种一般稀疏矩阵的存储结构。这 一节里还给出一个有效的计算公式。浙江大学研究生学位课程74 3.4.1 稀疏矩阵的结构和存储稀疏矩阵的结构和存储 从本质上讲，解稀疏问题的方法与 一般Gausss消去

24、法LU分解法并没有什么 不同，只不过前者更注重于运算过程中 对零元素填入量的控制。稀疏系数矩阵问题的直接法必定依 赖于矩阵的稀疏形状，下面列举的是常 见的标准的稀疏矩阵。1.稀疏矩阵的结构浙江大学研究生学位课程75带 对 角块三角阵块三角阵单边块对角双边块对角eacdb单边块三角f图图 3.5?浙江大学研究生学位课程76双边带三角单边带对角双边带对角其他其他kgijh图图 3.6 稀疏矩阵的形式稀疏矩阵的形式浙江大学研究生学位课程77 2.稀疏矩阵的存储稀疏矩阵的存储 一般矩阵的存储方式有两种：满存和 部分存储。稀疏矩阵则采用后一种方式。稀疏矩阵的种类不同，所采用的存储 方法也不一样，但是不论

25、采用什么方法，它 的标准有两条：1）节省存储空间；2）存取方便，即节省存取时间。存储方法的选择一般要根据矩阵的 种类和对程序的要求在上述两个标准之间 权衡。浙江大学研究生学位课程78(1)带对角矩阵的存储带对角矩阵的存储图图 3.7 带对角矩阵的存储方式带对角矩阵的存储方式浙江大学研究生学位课程79(2)块三角型矩阵的存储块三角型矩阵的存储 H1i1iLil+1N1H2 N2 Hl+1aijHl NlID2LiL图图 3.8 块三角型矩阵的存储形式块三角型矩阵的存储形式浙江大学研究生学位课程80(3)一般稀疏矩阵的存储一般稀疏矩阵的存储B：一维存储非零元素（按行）一维存储非零元素（按行）（m）

26、（m）JA：B中相应元素所在的列号（中相应元素所在的列号（A中）中）IA：每行第一个非零元素在每行第一个非零元素在B中的下标。中的下标。（n）浙江大学研究生学位课程81 例如：图图 3.9 矩阵矩阵A非零元素存放非零元素存放的一般形式的一般形式浙江大学研究生学位课程82 (4)对称矩阵的存储对称矩阵的存储 因为 故只要存储 即可。任何形状的矩阵，包括稀疏的 和非稀疏的，只要是对称的。均可节省将近一半的存储量。浙江大学研究生学位课程83 Sherman-Morrison&Woodburg 公式公式 我们知道，矩阵求逆问题等价于解 一个线性方程组。如果我们已经得到矩 阵A 的逆矩阵A-1。现在想在

27、A上作个小 小变动。如：一个元素、一行、一列，或者部分元素，那么是否可以不再做复 杂的求逆运算，而只是在原来的A-1的基 础上作些适当的运算就可得到变动后的 矩阵的逆呢？回答是肯定的。假定矩阵变化为：浙江大学研究生学位课程84 附带复习一下内积，外积的定义：内积、外积均有结合律（叉积）（点积）(或：uv)浙江大学研究生学位课程85 这里 uv 是外积，它表示A的变动。Sherman-Morrison公式给出了一个计算 的方法：这里 从（3-44）（3-45）式可以看出，给了 A-1和u，v只需作矩阵的乘积运算和一 个向量的加法：浙江大学研究生学位课程86 Sherman-Morrison公式可

28、以直接应用 于一类稀疏线性方程组上。如果我们已经 有一个有效的算法得到矩阵A的逆（如A 是三对角阵。或者其他标准稀疏形状的 矩阵），那么要解A的稍作变动的矩阵 决定的方程组，只要运用一次或多次 Sherman-Morrison 公式即可。但对有些稀疏问题，这个公式并不能 直接运用。理由很简单，因为A-1不可能在 机器内部全部都储存着。在实际运用中这 个公式还有变化。浙江大学研究生学位课程87 变化一：变化一：求解求解线性系统问题：求解求解线性系统问题：首先可以对A用有效的方法解两个辅助 问题：得到了向量y和z后，（3-48）的解既是：浙江大学研究生学位课程88浙江大学研究生学位课程89 变化二

29、变化二.即即Woodbury 公式公式 当在标准稀疏矩阵上添加的元素不只 是一行或一列时，我们就不能简单地重复 上述过程。因为新的 A-1 并没有存储下来。这时要用 Woodbury 公式：（3-51）式主要是计算 因此可以看到，（3-51）式把一个NN阵求 逆问题转化为一个P P阵的有求逆问题。由 于 PN,故问题得以大大简化。浙江大学研究生学位课程90 Woodbury公式和连续地运用Sherman-Morrison公式的联系在于：如果记则有则有浙江大学研究生学位课程91 上式表明，如果已经求得A-1，计算 的方法有两种：（1）利用（3-51），计算一个 PP 的逆矩阵。（2）利用（3-4

30、7），执行P次。如果A-1没有存储，则解下列问题 的步骤是 (1)解P个辅助方程组：得矩阵浙江大学研究生学位课程92 (2)计算PP矩阵的逆 (3)再解辅助方程组 (4)得方程组（3-53）的解 因为：浙江大学研究生学位课程932.5 特殊矩阵特殊矩阵 在很多问题中，我们会遇到特殊类型 的矩阵。对于这些具有特殊性质的矩阵，不仅存储方式上应予研究并很好利用其性 质以节省存储，在计算方法上也要利用它 们的好的性质以减少运算量和提高算法稳 定性。在这一节里，我们研究几种特殊矩阵，对称、正定、带状，和三对角矩阵。由第二节的定理知，若 的各阶主子式浙江大学研究生学位课程943.5 同样我们可以证明，若对

31、称矩阵的各阶主子式其中是单位下三角阵，为对角矩阵。这个分解叫做对称矩阵的分解。对一般非奇异对称矩阵，则存在排列矩阵，使故可通过选主元方式达到分解。解线性问题可转化为解三个简单的线性问题：浙江大学研究生学位课程953.5如果是正定矩阵，则是对称的并且的各阶主子式不等于。因此，存在且故可令：从而 这里是下三角矩阵。这种分解叫做对称 正定矩阵的平方根分解。浙江大学研究生学位课程963.5浙江大学研究生学位课程973.5 平方根分解的算法如下：平方根分解的算法如下：浙江大学研究生学位课程983.5这个算法的另一个优越性是不用选主元不用选主元。但是从（3-60）知道，这个算法在求 要进行平方根运算。为了

32、避免开方运算，有时我们仍要用分解。在 3.5 中，引入了带宽为2m+1的带状矩阵。他们满足：当 带状矩阵当 mn 时才有意义。带的宽度依赖于方程组未知量的次序和方程的顺序。浙江大学研究生学位课程993.5 例如，m=1 的三对角方程的矩阵若的相邻任意两行交换一下，则带宽从增加到。对带状矩阵，有以下定理：浙江大学研究生学位课程1003.5我们在上述定理中假定的分解存在。事实上未必总是如此，可能需要交换方程。这就可能要增加带的宽度。但不可能增大倍。但有些实际问题中遇到的带型矩阵性质是比较好的，并不需要选主元。三对角矩阵（m=1）在带状矩阵中占有重要的位置。若（3-62）中的各阶主子式，则可用追赶法很方便求解Axb。所幸的是实际应用中，有很大一类矩阵是对角占优矩阵，因而各主子式。浙江大学研究生学位课程101第三章习题浙江大学研究生学位课程102浙江大学研究生学位课程103浙江大学研究生学位课程104浙江大学研究生学位课程105