【教学课件】第二节可测函数的收敛性.ppt

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1、第二节 可测函数的收敛性第四章 可测函数一一.几乎成立的命几乎成立的命题题如：狄利克雷函数是几乎连续的，但不是几乎处处连续.二二.可测函数列的几种收敛定义可测函数列的几种收敛定义一致收敛:记作注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛:记作几乎处处收敛几乎处处收敛:记作记作 (almost everywhere (almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛几乎一致收敛:记作记作 (almost uniformly)

2、(almost uniformly)依测度收敛依测度收敛:记作记作注：从定义可看出，注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）测度集外）依测度收敛并不依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过点在于误差超过 的点所成的集的测度应随的点所成的集的测度应随n n趋于无穷趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何而趋于零，而不论点集的位置状态如何不依测度收敛不依测度收敛依测度收敛依测度收敛三三.可测函数各种收敛之间的关系可测函数各种收敛之间的关系1.1.几乎处处收敛与几乎

3、一致收敛的关系几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系注:定理1表明几乎一致收敛比几乎处处收敛强证明：例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn定理定理2 2：(叶果洛夫叶果洛夫(Egoroff)(Egoroff)定理定理)证明：首先证明一个引理.引理：证明这个引理要用到下面的结论由于 为零测度集，故不妨令 fn，f在E上处处有限，从而有：下面证明引理关于N单调减小下证下证 Egoroff Egoroff 定理定理注：如：结合定理

4、1和定理2，我们有下面结论结论：注：这个结论也为后面的L积分与极限交换只要求函数列几乎处处收敛提供了理论基础，也进一步说明L积分比R积分优越.2.2.几乎一致收敛与依测度收敛的关系几乎一致收敛与依测度收敛的关系证明：注:定理3表明几乎一致收敛比依测度收敛强3.3.几乎处处收敛与依测度收敛的关系几乎处处收敛与依测度收敛的关系定理4：(黎斯(Riesz)定理)注:黎斯定理只是说明依测度收敛的函数列存在几乎处处收敛的子函数列，并不能保证整个函数列几乎处处收敛，而且我们完全可以找到一个依测度收敛但不是几乎处处收敛的函数列.如教材P92 RieszRiesz定理的证明定理的证明证明：对对RieszRiesz定理证明定理证明的说明：其实从的说明：其实从证明中的证明中的(*)(*)式我式我们可看出们可看出从而可取得n1 n2 n3 nk0，,有定理定理5 5：（：（LebesgueLebesgue定理）定理）证明：由定理2和定理3即得叶果叶果洛夫洛夫逆定逆定理理(Egoroff定理)存在几乎一致收敛的子列(Lebesgue定理)存在几乎处处收敛的子列(Riesz定理)总结：三种收敛之间的关系，可以列出图表如下：