等差数列的证明和最值.ppt

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1、考查等差数列的定义，多以证明题的形式出现，要证明一个数列是等差数列的基本方法是证明an1and(nN*，d为常数)或2an1anan2成立对于实际问题，要结合题目的具体特点，灵活选取解答方法得2(n1)an(n1)an1(n1)an1，n2，n10.2anan1an1.数列an为等差数列点评：(1)是利用等差数列的定义进行证明；(2)是通过等差中项进行证明体会两种方法各自的特点由下列各表达式给出的数列anSna1a2ann2；Sna1a2ann21；a2n+1anan2；2an1anan2(nN*)其中表示等差数列的是()A B C D答案：A规律总结：1.判断或证明数列an为等差数列，常见的

2、方法有以下几种：(1)利用定义：an1and(nN*)或anan1d(nN*，n2)，其中d为常数；(2)利用等差中项：2an1anan2；(3)利用通项公式：若数列an的通项公式为andnc(d、c为常数)，则数列an为等差数列(当d0时，数列的通项公式是关于n的一次函数，该数列an为等差数列；当d0时，数列an为常数列，也是等差数列)；(4)利用前n项和公式：若数列an的前n项和公式为Snan2bn(a、b为常数)，则数列an为等差数列但要注意，证明数列为等差数列必须用定义或等差中项去证明；在选择题和填空题中，可用其他方法判断2若要证数列an不是等差数列，可证明2a2a1a3.此题型常见有

3、两类，一类是求数列中某项的最值问题；一类是求数列前n项和Sn的最值问题需要结合不等式、函数等知识综合解答【例4】在等差数列an中，a125，S9S17，问此数列前几项的和最大？分析一：本题以数列为核心知识，在考查等差数列基本知识的同时，考查了数列求最值的方法由已知列方程，得出d，从而将Sn转化为关于n的二次函数求最值解法三：由a125，S9S17，知此数列必递减，且a10a11a12a170，又由等差数列性质有a10a17a11a16a12a15a13a14，4(a13a14)0，数列递减，a13a14，a130a14，故此数列前13项和S13最大分析四：先求出d，然后利用an0，an10解n

4、.解法四：同解法一求得d2，由an0且 an10得13n0且为递减数列时，前n项和Sn有最大值；当a10得n0，S130，a1a2a120，即a12a11a10.以上两式相加得(a1a12)(a2a11)(a12a1)0，由等差数列性质知，12(a1a12)0，即a6a70.同理，由S130得a70，a70.以下同方法二方法四：等差数列前n项和可表示为SnAn2Bn(A0)，又由第(1)问可知：d0，S130，A0，如图所示，设抛物线与x轴交于x0，则x0(12,13)，其对称轴为x(6,6.5)因此，当n(6,6.5)时取最大值，又nN*，n6时，Sn最大1如果pqrs，则apaqaras，一般地，apaqapq.必须是两项相加，当然可以是aptapt2ap.2等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d0.3等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列