p4转动惯量表要点.ppt

《p4转动惯量表要点.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《p4转动惯量表要点.ppt（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、圆环圆环(转轴沿几何轴转轴沿几何轴)R圆环圆环(转轴转轴沿直径沿直径)圆柱圆柱细棒细棒圆盘和圆柱圆盘和圆柱圆盘圆盘(转轴转轴沿直径沿直径)(转轴转轴过中心与过中心与几何轴线垂直几何轴线垂直)(转轴转轴过中心与棒垂直过中心与棒垂直)(转轴过端点与棒垂直转轴过端点与棒垂直)球壳球壳(转轴转轴沿直径沿直径)球体球体(转轴转轴沿直径沿直径)RRLLLL2R2RR2R1圆圈和圆筒圆圈和圆筒R2R1R常见物体的转动惯量常见物体的转动惯量(转轴沿几何轴转轴沿几何轴)(转轴沿几何轴转轴沿几何轴)细棒细棒LL(转轴转轴过中心过中心与板面垂直与板面垂直)及薄板及薄板薄板薄板N 试求质量为试求质量为M,长和宽分别为

2、长和宽分别为L和和N的匀质矩形的转动惯量的匀质矩形的转动惯量,其转轴其转轴是是L边的中垂线边的中垂线.解解矩形的面积为矩形的面积为 S=LN,取一矩形面积元取一矩形面积元 dS=Ndx,矩形元的转动惯量为矩形元的转动惯量为 dJ=x2dm=Nx2dx,质量的面密度为质量的面密度为 =M/S=M/LN.其质量为其质量为 dm=dS=Ndx,矩形的转矩形的转动惯量为动惯量为M 讨论讨论:(1)转动惯量与转动惯量与N边的大小无关边的大小无关,当当N边边很小的时候很小的时候,矩形就变成细棒矩形就变成细棒,转动惯量不变转动惯量不变.LNyodSxdx (2)如果转轴是如果转轴是N边的边的中垂线中垂线,则

3、转动轴量为则转动轴量为L 试求质量为试求质量为M,长和宽分别为长和宽分别为L和和N的匀质矩形的转动惯量的匀质矩形的转动惯量,其转轴其转轴通过中心且与板面垂线通过中心且与板面垂线.解解矩形的面积为矩形的面积为S=LN,质量的面密度为质量的面密度为=M/S=M/LN.在矩形上取一矩形面积元在矩形上取一矩形面积元 dS=dxdy,质量元的转动惯量为质量元的转动惯量为dJ=r2dm=(x2+y2)dxdy,其质量为其质量为 dm=dS=dxdy,矩形绕矩形绕z轴的轴的转动惯量为转动惯量为yoMdSLNxr 方法一方法一:质点法质点法.z 在矩形上取一质量元在矩形上取一质量元dm,绕绕z轴的转动惯量为轴

4、的转动惯量为dJ=r2dm=(x2+y2)dm=x2dm+y2dm,矩形绕矩形绕z轴的轴的转动惯量为转动惯量为yoMdmLNxr 方法二方法二:正交轴定理正交轴定理.z其中其中x2dm是是dm绕绕y轴的转动惯量轴的转动惯量dJy,y2dm是是dm绕绕x轴的转动惯量轴的转动惯量dJx,所以所以dJ=dJy+dJx,而矩形绕而矩形绕x轴的转动惯量为轴的转动惯量为Jx=MN2/12,因此因此J=Jx+Jy,矩形绕矩形绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 Jy=ML2/12,在矩形上取一长为在矩形上取一长为N,宽为宽为dx的面积元的面积元dm,yoMdSLNx 方法三方法三:平行轴定理平行轴定理.z根据平

5、行轴定理根据平行轴定理,面积元绕面积元绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为矩形绕矩形绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为绕绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为其面积为其面积为 dS=Ndx,其质量为其质量为 dm=dS,z试求质量为试求质量为M,半径为半径为R的匀质圆环的转动惯量的匀质圆环的转动惯量,其转轴沿着直径其转轴沿着直径.解解方法一方法一:质点法质点法.圆环的周长为圆环的周长为C=2R,在圆环上取一弧元在圆环上取一弧元,长度为长度为 ds=Rd,弧元的转动惯量为弧元的转动惯量为dJ=D2dm=R2cos2Rd质量的线密度为质量的线密度为 =M/C=M/2R;其质量为其质量为 dm=ds=Rd,整个

6、圆环绕直径整个圆环绕直径的转动惯量为的转动惯量为RDoMds弧元到轴线的距离为弧元到轴线的距离为 D=Rcos,=R3cos2d,方法二方法二:正交轴定理正交轴定理.由于对称由于对称,圆环绕圆环绕x轴和绕轴和绕y轴的转动惯轴的转动惯量相等量相等,即即Jx=Jy,其中其中x2dm是是dm绕绕y轴的转动惯量轴的转动惯量dJy,y2dm是是dm绕绕x轴的转动惯量轴的转动惯量dJx,所以所以dJz=dJy+dJx,而圆环绕而圆环绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为Jz=MR2,在圆环上取一质量元在圆环上取一质量元dm,绕绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为dJz=R2dm,由于由于R2=x2+y2,可得可得d

7、Jz=(x2+y2)dm=x2dm+y2dm,所以圆环绕所以圆环绕x轴或轴或y轴的转动惯量为轴的转动惯量为这就是圆环绕直径的转动惯量这就是圆环绕直径的转动惯量.RoMdmxyz因此因此Jz=Jx+Jy=2Jx=2Jy,试求质量为试求质量为M,半径为半径为R的均匀圆盘的转动惯量的均匀圆盘的转动惯量,其转轴沿着直径其转轴沿着直径.解解圆盘的面积为圆盘的面积为S=R2,方法一方法一:质点法质点法.在圆盘上取一面元在圆盘上取一面元,面积为面积为dS=rddr,质量元的转动惯量为质量元的转动惯量为 dJ=D2dm=cos2dr3dr质量的面密度为质量的面密度为=M/S=M/R2.其质量为其质量为 dm=

8、dS=rddr,整个圆盘绕直径整个圆盘绕直径的转动惯量为的转动惯量为DoMdS质量元到轴线的距离为质量元到轴线的距离为D=rcos,r 方法二方法二:圆环法圆环法.在圆盘上取一细圆环在圆盘上取一细圆环,面积为面积为dS=2rdr,其质量为其质量为 dm=dS=2rdr,圆环的转动惯量为圆环的转动惯量为dJ=r2dm/2=rdr,圆盘的转圆盘的转动惯量为动惯量为RoMdSr 讨论讨论:在质点法中在质点法中,质量质量元的转动惯量可表示为元的转动惯量可表示为对圆括号中的对圆括号中的从从0到到2的的积积分分值为值为,方括号中就是圆环的面积方括号中就是圆环的面积dS,这时这时dJ表示圆环的转动惯量表示圆

9、环的转动惯量,可见可见:圆环法的基础仍然是质点法圆环法的基础仍然是质点法.R 方法三方法三:细棒法之一细棒法之一.在圆盘上取一平行于轴的细棒在圆盘上取一平行于轴的细棒,其长度为其长度为l=2Rsin,RloMdSyx由于由于x=Rcos,其宽度为其宽度为|dx|=Rsind,其质量为其质量为 dm=dS=2R2sin2d,细棒的转动惯量为细棒的转动惯量为圆盘绕直径的转动惯量为圆盘绕直径的转动惯量为其面积为其面积为 dS=l|dx|=2R2sin2d,方法四方法四:细棒法之二细棒法之二.在圆盘上取一垂直在圆盘上取一垂直于轴的细棒于轴的细棒,其长度为其长度为l=2Rcos,其质量为其质量为 dm=

10、dS=2R2cos2d,细棒的转动惯量为细棒的转动惯量为圆盘绕直径的转动惯量为圆盘绕直径的转动惯量为RloMdS由于由于y=Rsin,其宽度为其宽度为dy=Rcosd,y其面积为其面积为 dS=ldy=2R2cos2d,根据公式根据公式可得可得xn为偶数为偶数.方法五方法五:正交轴定理正交轴定理.圆盘绕圆盘绕x轴和绕轴和绕y轴的转动惯量相等轴的转动惯量相等Jx=Jy,可得可得dJz=(x2+y2)dm=dJy+dJx,因此得因此得Jz=Jy+Jx=2Jx=2Jy,而圆盘绕而圆盘绕z轴的轴的转动惯量为转动惯量为在圆盘上取一质量元在圆盘上取一质量元dm,绕绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为dJz=r

11、2dm,y由于由于r2=x2+y2,xR oMrz所以圆盘绕所以圆盘绕x轴或轴或y轴的转动惯量为轴的转动惯量为这就是圆盘绕直径的转动惯量这就是圆盘绕直径的转动惯量.dm试求质量为试求质量为M,半径为半径为R的均匀球壳的转动惯量的均匀球壳的转动惯量,其转轴沿着直径其转轴沿着直径.解解球壳的面积为球壳的面积为S=4R2,方法一方法一:质点法质点法.在球壳上取一面积元在球壳上取一面积元,其大小为其大小为质量的面密度为质量的面密度为=M/S=M/4R2.oMdSzyRx转动惯量为转动惯量为 dJ=D2dm=R4dsin3d,到转动轴到转动轴z的距离为的距离为 D=Rsin,球壳绕球壳绕z轴的的转动惯量

12、为轴的的转动惯量为 dS=R2sindd,其质量为其质量为 dm=dS=R2sindd,D方法二方法二:圆环法之一圆环法之一.在球壳上取一细圆环在球壳上取一细圆环,其轴线是球壳的转动轴其轴线是球壳的转动轴.细环的转动惯量为细环的转动惯量为dJ=r2dm=2R4sin3d,其质量为其质量为 dm=dS=2R2sind,球壳绕直径的球壳绕直径的转动惯量为转动惯量为RroMdSd其弧宽为其弧宽为 ds=Rd,其面积为其面积为 dS=2rds=2R2sind,细环半径为细环半径为 r=Rsin,ds方法三方法三:圆环法之二圆环法之二.在球壳上取一细圆环在球壳上取一细圆环,其轴线与转动轴垂直其轴线与转动

13、轴垂直.RroMdSD细环绕过半径的转动惯量为细环绕过半径的转动惯量为 dJc=r2dm/2,根据平行轴定理得根据平行轴定理得 dJ=dJc+D2dm由于左右对称由于左右对称,球壳绕球壳绕直径的转动惯量为直径的转动惯量为其质量为其质量为 dm=dS=2R2cosd,其弧长为其弧长为 ds=Rd,其面积为其面积为 dS=2rds=2R2cosd,细环半径为细环半径为 r=Rcos,细环到轴线的距离为细环到轴线的距离为 D=Rsin,=R4cos3d+2R4sin2cosd=R4(1+sin2)cosd,方法四方法四:正交轴定理正交轴定理.在球壳上取一质量元在球壳上取一质量元dm,绕过绕过z轴的转

14、动惯量为轴的转动惯量为 dJz=D2dm=(x2+y2)dm,即即dJo=dJz+dJy+dJx/2,所以所以Jo=(Jx+Jy+Jz)/2.由于由于dJo=(x2+y2+z2)dmoMdmzyRxD同理同理,绕过绕过y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dJy=(z2+x2)dm,绕过绕过x轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dJx=(y2+z2)dm.该质量元绕该质量元绕o点的转动惯量为点的转动惯量为 dJo=R2dm,积分得球壳绕积分得球壳绕o点的转动惯量为点的转动惯量为Jo=MR2.=(x2+y2)dm+(y2+z2)dm+(z2+x2)dm/2,由对称可得由对称可得Jx=Jy=Jz,所以所以Jo

15、=3Jz/2.因此因此Jz=2Jo/3,即即这种方法避免了积分运算这种方法避免了积分运算.试求质量为试求质量为M,半径为半径为R的均匀球体的转动惯量的均匀球体的转动惯量,其转轴沿着直径其转轴沿着直径.解解球体的体积为球体的体积为V=4R2/3,方法一方法一:质点法质点法.在球体中取一体积元在球体中取一体积元,其体积为其体积为转动惯量为转动惯量为 dJ=D2dm=dsin3dr4dr,质量的体密度为质量的体密度为=M/V.到转动轴到转动轴z的距离为的距离为 D=rsin,球体的转动惯量为球体的转动惯量为oMdvdv=r2sinddrd,rzyRx其质量为其质量为 dm=dv=r2sinddrd,

16、D方法二方法二:圆盘法之一圆盘法之一.在球体上取一薄圆盘在球体上取一薄圆盘,其轴线是球体的转动轴其轴线是球体的转动轴.圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为dJ=y2dm/2=R5sin5d/2,其质量为其质量为 dm=dv=R3sin3d,球体的转动惯量为球体的转动惯量为oMdv由于由于z=Rcos,其厚度为其厚度为|dz|=Rsind,其体积为其体积为 dv=y2|dz|=R3sin3d,圆盘的半径为圆盘的半径为 y=Rsin,yRzy设设u=cos,则则du=-sind,可得转动惯量可得转动惯量注注:利用积分公式可以直接计算转动惯量利用积分公式可以直接计算转动惯量:n是奇数是奇数.方法三方法三

17、:圆盘法之二圆盘法之二.在球体上取一薄在球体上取一薄圆盘圆盘,其轴线与球体的转动轴垂直其轴线与球体的转动轴垂直.其质量为其质量为 dm=dv=R3cos3d,由于对称由于对称,可得球体的转动惯量为可得球体的转动惯量为oMdv由于由于y=Rsin,其厚度为其厚度为 dy=Rcosd,其体积为其体积为 dv=z2dy=R3cos3d,圆盘的半径为圆盘的半径为 z=Rcos,zRzyy圆盘绕半径的转动惯量为圆盘绕半径的转动惯量为 dJc=z2dm/4,根据平行轴定理得圆盘的转动惯量根据平行轴定理得圆盘的转动惯量 dJ=dJc+y2dm,即即:方法四方法四:球壳法球壳法.在球体上取一半径为在球体上取一

18、半径为r,厚度为厚度为dr薄球壳薄球壳,其质量为其质量为 dm=dv=4r2dr,球体的转动惯量为球体的转动惯量为oMdvRzy球壳绕半径的转动惯量为球壳绕半径的转动惯量为其体积为其体积为 dv=4r2dr,r由此可见由此可见:用球壳法求球体的转动惯量最简单用球壳法求球体的转动惯量最简单.方法五方法五:正交轴定理正交轴定理.在球体内取一体积元在球体内取一体积元dv,绕过绕过z轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dJz=d2dm=(x2+y2)dm,即即dJo=dJz+dJy+dJx/2,所以所以Jo=(Jx+Jy+Jz)/2.由于由于dJo=(x2+y2+z2)dm=(x2+y2)dm+(y2+z2

19、)dm+(z2+x2)dm/2,同理同理,绕过绕过y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dJy=(z2+x2)dm,绕过绕过x轴的转动惯量为轴的转动惯量为 dJx=(y2+z2)dm.该质量元绕该质量元绕o点的转动惯量为点的转动惯量为 dJo=r2dm,积分得球壳绕积分得球壳绕o点点的转动惯量为的转动惯量为由对称可得由对称可得Jx=Jy=Jz,所以所以Jo=3Jz/2.因此因此Jz=2Jo/3,即即这种方法避免了这种方法避免了繁杂的积分运算繁杂的积分运算.oMdvrzyRxD即即dJo=r4sinddrd,其质量为其质量为 dm=dv=r2sinddrd,试求质量为试求质量为M,半径为半径为R,长为

20、长为L的匀质的匀质圆柱体的转动惯量圆柱体的转动惯量,其转轴垂直轴线其转轴垂直轴线.解解圆柱体的体积为圆柱体的体积为V=R2L,质量的体密度为质量的体密度为=M/V=M/R2L.方法一方法一:质点法质点法.在圆柱体内取一厚度为在圆柱体内取一厚度为dx的体积元的体积元,到到y轴的距离为轴的距离为r,则则r2=x2+z2;到到x轴的距离为轴的距离为r,则则z=rcos.绕绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为其质量为其质量为 dm=dv=rddrdx,整个圆柱体绕整个圆柱体绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为其体积为其体积为 dv=rddrdx,dJ=r2dm=(x2+z2)dmRMLxrzyro=(x2+r

21、2cos2)rddrdx,方法二方法二:平板法平板法.在圆柱上取一垂直于在圆柱上取一垂直于y轴的薄板轴的薄板,其长为其长为L,宽为宽为2z,厚厚为为dy,其体积为其体积为dv=2Lzdy.绕绕y轴的轴的转动惯量为转动惯量为其质量为其质量为 dm=dv=2LR2cos2d,整个圆柱体绕整个圆柱体绕y轴轴的转动惯量为的转动惯量为利用积利用积分公式分公式RMLxzyo 由于由于y=Rsin,所以所以dy=Rcosd;又由于又由于z=Rcos,可得可得dv=2LR2cos2d.yzon为偶数为偶数.R过板的中心且垂直过板的中心且垂直y轴有一轴轴有一轴,过此轴的过此轴的转动惯量为转动惯量为dJc=L2d

22、m/12,整个圆柱体绕整个圆柱体绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为根据平行轴定理根据平行轴定理,薄板绕薄板绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为 方法三方法三:平行轴定理之一平行轴定理之一.在圆柱上取一垂直于在圆柱上取一垂直于z轴的薄板轴的薄板,其长为其长为L,宽为宽为2y,厚厚为为dz,其体积为其体积为dv=2Lydz.其质量为其质量为 dm=dv=2LR2sin2d,由于由于z=Rcos,所以所以dz=-Rsind;又由于又由于y=Rsin,可得可得dv=2LR2sin2d.RMLxzyoyzoRdJc 方法四方法四:平行轴定理之二平行轴定理之二.在圆柱上取一在圆柱上取一圆盘圆盘,其体积为其体积为

23、dv=R2dx,绕半径的转动惯量为绕半径的转动惯量为其质量为其质量为 dm=dv=R2dx,整个圆柱体绕整个圆柱体绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为R根据平行轴定理根据平行轴定理,圆盘绕圆盘绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为MLxdxydJc 方法五方法五:正交轴定理正交轴定理.在圆柱体内取一厚度为在圆柱体内取一厚度为dx的体积元的体积元,到到y轴的距离为轴的距离为r,则则 r2=x2+z2;绕绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为dJy=r2dm=(x2+z2)dm,其质量为其质量为 dm=dv=rddrdx,其体积为其体积为 dv=rddrdx,同理可得绕同理可得绕z轴的转动惯量为轴的转动惯量为dJz=(x2+y2)dm,RMLxrzyro 到到x轴的距离为轴的距离为r,则则 r2=y2+z2.两式相加得两式相加得 dJy+dJz=(y2+z2)dm+2x2dm,其中其中,积分得积分得 Jy+Jz=Jx+2Jyz,Jx是圆柱体绕是圆柱体绕x轴的转动惯量轴的转动惯量,Jyz是圆柱体绕是圆柱体绕yz平面的转动惯量平面的转动惯量.由对称性可知由对称性可知:Jy=Jz,所以所以圆柱体绕圆柱体绕y轴的转动惯量为轴的转动惯量为: