9压杆稳定new解析.ppt

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1、材料力学材料力学9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念9-2 9-2 两端铰支细长杆的临界压力两端铰支细长杆的临界压力9-3 9-3 其他支座条件下细长杆的其他支座条件下细长杆的临界压力临界压力9-4 9-4 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 经验公式经验公式9-5 9-5 压杆的稳定校核压杆的稳定校核9-6 9-6 提高提高压杆稳定的措施压杆稳定的措施 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2/28/2023材料力学材料力学 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念轴向受压轴向受压轴向受压轴向受压(拉拉拉拉)强度计算强度计算强度计算强度计算2/28/2023材料力学材料力学 9-1 9

2、-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念图示一图示一300mm300mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力，其横截面积为力，其横截面积为20mm20mm1mm1mm。许用应力为许用应力为196GPa196GPa，求钢，求钢板尺能承受的荷载板尺能承受的荷载.实际上，将钢尺竖立，实际上，将钢尺竖立，当压力不到当压力不到40N40N时，时，就被明显压弯就被明显压弯2/28/2023材料力学材料力学由例子可以得到结论：由例子可以得到结论：（1 1）钢尺承载能力钢尺承载能力并不取决于轴向压缩的压缩强度，而并不取决于轴向压缩的压缩强度，而是是与钢尺受压时变弯有关与钢尺

3、受压时变弯有关。（2 2）压杆的弯曲刚度与杆横截面的弯曲刚度有关。）压杆的弯曲刚度与杆横截面的弯曲刚度有关。（3 3）压杆正常工作需要满足）压杆正常工作需要满足强度条件强度条件和和稳定性条件稳定性条件。9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念2/28/2023材料力学材料力学一、稳定平衡与不稳定平衡的概念一、稳定平衡与不稳定平衡的概念 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 当当 F小于某一临界值小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线轴线将恢复其原来的直线平衡形态平衡形态，压杆在直线形压杆在直线形态下的平衡是态下的平衡是稳定平衡稳定平衡。FF

4、(a)Q(b)2/28/2023材料力学材料力学FF(a)Q 当当 F F增大到一定的临增大到一定的临界值界值F Fcrcr，撤去横向力后，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态，来的直线平衡形态，压杆在原来直线形态压杆在原来直线形态下的平衡是下的平衡是 不稳定平衡不稳定平衡。9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念2/28/2023材料力学材料力学 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念2/28/2023材料力学材料力学 9-1 9-1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念2/28/2023材料力学材料力学9-

5、29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力简化：简化：（1 1）剪切变形的影响可以忽略不计。）剪切变形的影响可以忽略不计。（2 2）不考虑杆的轴向变形。）不考虑杆的轴向变形。本本节以节以两端球形铰支两端球形铰支(简称两端简称两端铰支铰支)的细长中心受压杆件的细长中心受压杆件为例，导为例，导出求临界力的欧拉出求临界力的欧拉(L.EulerL.Euler)公式公式2/28/2023材料力学材料力学 对于理想中心压杆来说对于理想中心压杆来说,临界力就是临界力就是杆能保持微弯状态时的轴向压力杆能保持微弯状态时的轴向压力。任意任意x截面的挠度截面的挠度(侧向位移侧向位移)为为w，该该截

6、面上的弯矩为截面上的弯矩为9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力vcrFx2llmmyByx2/28/2023材料力学材料力学9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力压杆任一压杆任一 x 截面沿截面沿 y 方向方向的位移为的位移为 y=f(x)该截面的弯矩为该截面的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程为杆的挠曲线近似微分方程为mmyByx2/28/2023材料力学材料力学其中其中 I I 为压杆横截面的为压杆横截面的最小形心主惯性矩最小形心主惯性矩。令令则有二阶常系数线性微分方程则有二阶常系数线性微分方程mmyByx9-29-2两端铰支细长压杆的临界压

7、力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学其通解为其通解为A A，B B，k k 三个待定常数由该挠三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。曲线的三个边界条件确定。9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学边界条件：边界条件：得得B=09-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学B=0 ，边界条件：边界条件：9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学要想压杆在微弯状态下要想压杆在微弯状态下平衡只有平衡只有要想

8、压杆在微弯要想压杆在微弯状态状态下下平衡只有平衡只有9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学其最小解为其最小解为 n=1 n=1 的解的解9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学即即得得这就是这就是两端绞支两端绞支等截面细长中心等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）（欧拉公式）9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学B=0可见此时的可见此时的挠曲线为挠曲线为半波正弦曲线半波正弦曲线。当当

9、x=l/2 时时 w=d dA=d d亦即对应于亦即对应于Fcr=p p2EI/l 2，挠曲线方程为，挠曲线方程为9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力需要指出的是，尽管上面得到了需要指出的是，尽管上面得到了A=A=d d，但但因因为杆在任意微弯状态下保持平衡时为杆在任意微弯状态下保持平衡时d d为为不确定的值，故不能说未知量不确定的值，故不能说未知量A A已确定已确定。事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中事实上，在推导任何杆端约束情况的细长中心压杆欧拉临界力时，挠曲线

10、近似微分方程心压杆欧拉临界力时，挠曲线近似微分方程的通解中，的通解中，凡与杆的弯曲程度相关的未凡与杆的弯曲程度相关的未知量总是不确定的。知量总是不确定的。2/28/2023材料力学材料力学9-29-2两端铰支细长压杆的临界压力两端铰支细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学欧拉公式欧拉公式当杆端约束当杆端约束条件改变，条件改变，欧拉公式？欧拉公式？9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学1两端绞支两端绞支2一端固定另端绞支一端固定另端绞支C为拐点为拐点 l crPl7.09-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临

11、界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学3两端固定两端固定C，D为为拐点拐点 l crPD2l9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学4一端固定另端自由一端固定另端自由crPll9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力 表表9-1中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长中心受压直杆的欧拉公式。

12、从表中可见，细长中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，杆端约束越强，压杆的临界力也就越高。压杆的临界力也就越高。表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：式中，式中，m m 称为压杆的长度因数称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关；，它与杆端约束情况有关；m m l l 称为压杆的相当长度称为压杆的相当长度，它表示某种杆端约束情况下几它表示某种杆端约束情况下几何长度为何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端铰支压杆的两端铰支压杆的临界力。的临界力。2/28/2023材料力学材料力学表表9-1 9-1

13、各种支承约束条件下等截面细长压杆各种支承约束条件下等截面细长压杆 临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 两端铰支两端铰支一端固定另端绞支一端固定另端绞支两端固定两端固定一端固定另端自由一端固定另端自由支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式长度系数长度系数 =1 =0.7 =0.5 =29-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学 为长度系数为长度系数 l 为相当长度为相当长度（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I1若杆端在若杆端在各个各个方向的约束情况相同（球形绞等），则方向的约束情

14、况相同（球形绞等），则 I应取最小的形心主惯性矩。应取最小的形心主惯性矩。2/28/2023材料力学材料力学2若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对为其相应的对中性轴的惯性矩。中性轴的惯性矩。2/28/2023材料力学材料力学例例1 1：图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，能承受的压力最大，哪一根的最小？哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界

15、压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学例例9-3-1：图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受的压力最大，的压力最大，哪一根的最小？哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因为因为又又可知可知（1）杆承受的压力最小，最先失稳；）杆承受的压力最小，最先失稳；（3）杆承受的压力最大，最稳定。）杆承受的压力最大，最稳定。9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学F aAB a2c例例2 2：已知：图示压杆已知：图示压杆EI,EI,且杆在

16、且杆在B B支承处不能转动支承处不能转动 求：临界压力求：临界压力9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学F aAB a2c解解：故取故取例例9-3-2：已知：图示压杆已知：图示压杆EI,且杆在且杆在B支承处不能转动支承处不能转动 求：临界压力求：临界压力9-9-3 3其它支座条件下细长压杆的临界压力其它支座条件下细长压杆的临界压力2/28/2023材料力学材料力学9-9-4 4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 经验公式经验公式.欧拉公式应用范围欧拉公式应用范围 在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在推导细

17、长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公欧拉公式只可应用于式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限例极限s sp p的情况。的情况。按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力按照抽象的概念，细长中心压杆在临界力F Fcrcr作用时可在作用时可在直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按直线状态下维持不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按 crcrF Fcrcr/A/A来计算，亦即来计算，亦即2/28/2023材料力学材料力学惯性半径惯性半径 l/i为压

18、杆的相当长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比或柔度长细比或柔度，记作，即 cr称为临界应力临界应力 越越大大，cr越小，越小，压杆越容易失稳压杆越容易失稳2/28/2023材料力学材料力学称为称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度压杆的长度，杆端约束杆端约束，截面尺寸和形状截面尺寸和形状对对临界应力的影响。临界应力的影响。9-9-4 4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 经验公式经验公式2/28/2023材料力学材料力学只有在只有在 crcr P P 的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力计算压杆的临界力 F

19、Fcrcr（临界应力临界应力 crcr ）。）。或或9-9-4 4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 经验公式经验公式2/28/2023材料力学材料力学 当当 1 1（大柔度压杆或细长压杆）时，才大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。能应用欧拉公式。当当 1 1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。用经验公式用经验公式9-9-4 4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 经验公式经验公式对于对于Q235Q235钢，按照钢，按照 E E206 206 GPaGPa，p p 200 200 MPaMPa，有有A 3 钢钢 (=0123)16 锰锰 钢钢(=0

20、102)2/28/2023材料力学材料力学经验公式经验公式压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图9-9-4 4欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 经验公式经验公式2/28/2023材料力学材料力学解：解：圆形截面杆：圆形截面杆：例例9-4-1 截面为圆形，直径为截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。求两杆的长度之比及临界力之比。圆形圆形截面截面杆：杆：2/28/2023材料力学材料力学所以所以正方形截面杆：正方形截面杆：

21、由由 1=2 得得2/28/2023材料力学材料力学2/28/2023材料力学材料力学F Fcrcr 压杆的临界压力压杆的临界压力nst 压杆的稳定安全系数压杆的稳定安全系数压杆稳定条件：压杆稳定条件：F F工作压力工作压力9-9-5 5压杆的稳定校核压杆的稳定校核或或n压杆的工作安全系数（临界压力与实际工压杆的工作安全系数（临界压力与实际工作压力之比）作压力之比）2/28/2023材料力学材料力学 ：稳定系数稳定系数,主要与柔度主要与柔度有关有关 压杆的强度条件压杆的强度条件 (强度许用应力强度许用应力)压杆的稳定性条件压杆的稳定性条件 (稳定许用应力稳定许用应力)2/28/2023材料力学

22、材料力学例例3 3 一连杆尺寸如图，材料为一连杆尺寸如图，材料为 A3 A3 钢，承受的轴向钢，承受的轴向压力为压力为 P=120KNP=120KN，取稳定安全系数取稳定安全系数 n nstst=2=2，校核连校核连杆的稳定性。杆的稳定性。在在 xy 面内失稳连杆两端为面内失稳连杆两端为铰支，长度铰支，长度 l=940mm。在在 xz 面内失稳近似两端固定面内失稳近似两端固定，长度长度 l 1=880mm。zyxb=25h=609-9-5 5压杆的稳定校核压杆的稳定校核2/28/2023材料力学材料力学在在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，面内失稳连杆两端为绞支，长度长度 l=940。zyxb=

23、25h=60解：解：(1)求柔度求柔度 2/28/2023材料力学材料力学在在 xz 面内失稳近似两端固定面内失稳近似两端固定，长度长度 l 1=880。zyxb=25h=60杆在杆在 xz 面内先失稳，应用面内先失稳，应用 y 计算临界力。计算临界力。2/28/2023材料力学材料力学zyxb=25h=60（2）求临界力，作稳定校核）求临界力，作稳定校核因为因为 y=61 123，用经验公式计算用经验公式计算压杆是稳定的压杆是稳定的2/28/2023材料力学材料力学zyxb=25h=60（3）如果要求连杆在两平面内）如果要求连杆在两平面内 失稳时的临界力相等失稳时的临界力相等2/28/202

24、3材料力学材料力学9-9-6 6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施提高压杆承载能力的主要途径：提高压杆承载能力的主要途径：（1）选择合理的截面形状）选择合理的截面形状 压杆将在刚度最小的平面内弯曲压杆将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截这时如果只增加截面某个方向的惯性矩面某个方向的惯性矩,并不能提高压杆的承载能力。并不能提高压杆的承载能力。最经济的办法是将截面设计成空的最经济的办法是将截面设计成空的,且且尽量加大截面的尽量加大截面的惯性矩惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同.2/28/2023材料力学材料力学正方形截面较矩形截面正方形截面较矩

25、形截面合理；合理；（a a）当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相）当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时同的约束条件时面积相等面积相等空心圆截面较实心圆截空心圆截面较实心圆截面更合理面更合理9-9-6 6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施2/28/2023材料力学材料力学组合截面其两个槽钢的组合截面其两个槽钢的形心间距离形心间距离h h以能使以能使I Iy y等等于或稍大于于或稍大于I Iz z者为合理。者为合理。（a a）当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相）当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时同的约束条件时9-9-6 6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措

26、施2/28/2023材料力学材料力学 应采用最大与最小惯性矩不等的截面应采用最大与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束小的平面内具有较强刚性的约束.（b b）当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时）当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时使压杆在各纵向平面内的柔度使压杆在各纵向平面内的柔度l l相同或接近相同。相同或接近相同。9-9-6 6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施2/28/2023材料力学材料力学（2）改变压杆的约束条件）改变压杆的约束条件 支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷

27、越大大。如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈数倍增加。载荷将呈数倍增加。（3）合理选择材料）合理选择材料 在其他条件均相同的情况下，选用弹性模量大在其他条件均相同的情况下，选用弹性模量大的材料，的材料，可以提高细长压杆的承载能力。可以提高细长压杆的承载能力。9-9-6 6提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施2/28/2023材料力学材料力学 （1 1）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（）和（）和（）对临界压力的综合影响。）对临界压力的综合影响。填空：填空：选择：选择：(

28、2)(2)由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其（）。A.A.稳定性提高，强度不变；稳定性提高，强度不变；B.B.稳定性不变，强度提高；稳定性不变，强度提高；C.C.稳定性和强度都提高；稳定性和强度都提高；D.D.稳定性和强度都不变。稳定性和强度都不变。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2/28/2023材料力学材料力学B.B.稳定性不变，强度提高；稳定性不变，强度提高；第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 （1 1）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（截面形状截面形状）和（）和（约束约束）对临界压力的综合影响。）对临

29、界压力的综合影响。填空：填空：选择：选择：(2)(2)由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化后，其（B B ）。2/28/2023材料力学材料力学(3)(3)图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（）。）。A.A.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIy y/L/L2 2，挠曲挠曲线位于线位于xyxy面内；面内；B.B.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIy y/L/L2 2，挠曲挠曲线位于线位于xzxz面内；面内；C.C.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIz z/L/L2 2，挠曲挠曲线位于线位于xyxy面内；面内；D.D.临界压力临界压力F Fcrcr2 2EIEIz z/L/L2 2，挠曲挠曲线位于线位于xzxz面内。面内。第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2/28/2023材料力学材料力学(3)(3)图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（B B B B ）。）。B.临界压力临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于挠曲线位于xz面内；面内；第九章第九章 压杆稳定压杆稳定2/28/2023