2.1.2椭圆的简单几何性质(1).ppt

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1、2.1.2椭圆的简单几何性质(1)一、一、复习：复习：1.椭圆的定义椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2|）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：椭圆的标准方程是：3.椭圆中椭圆中a,b,c的关系是的关系是:a2=b2+c2当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时2二、二、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质 -axa,-byb 知知 oyB2B1A1A2F1F21、范围：、范围：椭圆落在椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中3椭圆顶点坐标为：2.顶点与长短轴顶点与长短轴 椭圆和

2、它的对称轴的四个交点椭圆的顶点.回顾：A1(a，0)、A2(a，0)、B1(0，b)、B2(0，b)焦点坐标(c，0)oxyA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)B2(0,b)B1(0,-b)4长轴：线段长轴：线段A1A2；长轴长长轴长|A1A2|=2a短轴：线段短轴：线段B1B2；短轴长短轴长|B1B2|=2b焦焦 距距|F1F2|=2ca a和和b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；长半轴长和短半轴长；焦点必在长轴上；焦点必在长轴上；a a2 2=b=b2 2+c+c2 2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bacaF2

3、F1|B2F2|=a；注意注意注意注意53.椭圆的对称性椭圆的对称性 oxy在方程中，把换成，方程不变，说明：椭圆关于轴对称；椭圆关于轴对称；椭圆关于 点对称；坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心x-xxY Y(0,0)(0,0)Y -YY -YX X -X-X Y Y -Y-Y Q(-x,y)P(x,y)M(x,-y)N(-x,-y)6想一想椭圆的对称轴一定是轴和轴吗？对称中椭圆的对称轴一定是轴和轴吗？对称中心一定是原点吗？心一定是原点吗？oxyF2F1说明椭圆的对称性不随位置的改变说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变而改变7123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2

4、3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 8问题2：圆的形状都是相同的，而椭圆却有圆的形状都是相同的，而椭圆却有些比较些比较“扁扁”，有些比较，有些比较“圆圆”，用什么样的，用什么样的量来刻画椭圆量来刻画椭圆“扁扁”的程度呢？的程度呢？94、椭圆的离心率、椭圆的离心率离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就

5、越接近 a，从而，从而 b就越小，椭圆就越扁就越小，椭圆就越扁因为因为 a c 0，所以，所以0e baba2=b2+c2|x|b,|y|a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前同前同前同前12 它的长轴长是：。短轴长是：。焦距是 。离心率等于：。焦点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：。例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400108680分析：椭圆方程转化为标准方程为：a=5 b=4 c=3 oxy ox y题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质13已知椭圆方程为已知椭圆方程为6x6x2 2

6、+y+y2 2=6=6它的长轴长是：它的长轴长是：。短轴是：。短轴是：。焦距是：焦距是：.离心率等于：离心率等于：。焦点坐标是：焦点坐标是：。顶点坐是：。顶点坐是：。外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于：。2例例2 2.题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质题型一：利用椭圆方程，研究其几何性质14例例2 2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；长轴长等于长轴长等于2020，离心率，离心率3/53/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经过点解：解：方法一：方法一：设方程为设方程为m

7、x2ny21（m0，n0，mn），），注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定位；定位；定量定量题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程将点的坐标方程，求出将点的坐标方程，求出m1/9,n1/4。15例例2 2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；长轴长等于长轴长等于2020，离心率，离心率3/53/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经过点解：解：(1)方法二：利用椭圆的几何性质方法二：利用椭圆的几何性质 题型二：

8、利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，交点就是椭圆的顶点，于是焦点在于是焦点在x轴上，且点轴上，且点P、Q分别是分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，椭圆长轴与短轴的一个端点，故故a3，b2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 16例例2 2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；长轴长等于长轴长等于2020，离心率，离心率3/53/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经

9、过点题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程17例例2 2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(P(3,0)3,0)、Q(0,Q(0,2)2)；长轴长等于长轴长等于2020，离心率，离心率3/53/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成:的两部分的两部分,且经过点且经过点题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程18(a,0)a(0,b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c1、有关椭圆的一些重要结论有关椭圆的一些重要结论F2F1xy19有关椭圆的一些重要结论有关椭圆的一些重要结论203.3.焦点相

10、同的椭圆系焦点相同的椭圆系有关椭圆的一些重要结论有关椭圆的一些重要结论211.1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。根据下列条件，求椭圆的标准方程。长轴长和短轴长分别为长轴长和短轴长分别为8 8和和6 6，焦点在，焦点在x x轴上轴上 长轴和短轴分别在长轴和短轴分别在y y轴，轴，x x轴上，经过轴上，经过P(-2,0)P(-2,0)，Q(0,-3)Q(0,-3)两点两点.一焦点坐标为（一焦点坐标为（3 3，0 0）一顶点坐标为（）一顶点坐标为（0 0，5 5）两顶点坐标为（两顶点坐标为（0 0，66），且经过点（），且经过点（5 5，4 4）焦距是焦距是1212，离心率是，离心率是0.60.6

11、，焦点在，焦点在x x轴上。轴上。题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程题型二：利用椭圆的几何性质求标准方程22练习练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为则其离心率为 。题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题 3、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率则其离心率e=_ 4、若椭圆、若椭圆 +=1的离心率为的离心率为 0.5，则：，则：k=_23D题型三：椭圆的离

12、心率问题题型三：椭圆的离心率问题24题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题25例例3：(1)椭圆椭圆 的左焦点的左焦点 是两个顶点，如果到是两个顶点，如果到F1直线直线AB的的距距 离为离为 ，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率e=.题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题26例例3：(2)设设M为椭圆为椭圆 上一点，上一点，为椭圆的焦点，为椭圆的焦点，如果如果 ，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题27题型三：椭圆的离心率问题题型三：椭圆的离心率问题281.1.（5 5分）椭圆分）椭圆 (ab0)(ab0)和和 （ab0,ab0,且

13、且k k0 0）具有（）具有（）（A A）相同的长轴）相同的长轴 （B B）相同的焦点）相同的焦点（C C）相同的顶点）相同的顶点 （D D）相同的离心率）相同的离心率【解析】【解析】选选D.D.由已知得由已知得 的离心率的离心率e e1 1=而而 的离心率的离心率故故e e1 1=e=e2 2.2930314.4.（20102010湛江高二检测）设椭圆湛江高二检测）设椭圆C C：（a ab b0 0）的离心率为）的离心率为e=,e=,点点A A是椭圆上的一点，是椭圆上的一点，且点且点A A到椭圆到椭圆C C两焦点的距离之和为两焦点的距离之和为4.4.（1 1）求椭圆）求椭圆C C的方程；的方

14、程；（2 2）椭圆）椭圆C C上一动点上一动点P P（x x0 0,y,y0 0）关于直线）关于直线y=2xy=2x的对称点的对称点为为P P1 1（x x1 1,y,y1 1）,求求3x3x1 1-4y-4y1 1的取值范围的取值范围.32【解析】【解析】（1 1）依题意知，）依题意知，2a=4,a=2.2a=4,a=2.所求椭圆所求椭圆C C的方程为的方程为 .（2 2）点点P P（x x0 0,y,y0 0）关于直线）关于直线y=2xy=2x的对称点为的对称点为P P1 1（x x1 1,y,y1 1）,解得：解得：3x3x1 1-4y-4y1 1=-5x=-5x0 0.又又-2x-2x

15、0 02,-10-5x2,-10-5x0 010,10,3x3x1 1-4y-4y1 1的取值范围为的取值范围为-10-10，1010.337.7.（20102010新乡高二检测）椭圆的中心在原点，焦新乡高二检测）椭圆的中心在原点，焦点在点在x x轴上，焦距为轴上，焦距为2 2，且经过点，且经过点P P（-1-1，）；）；（1 1）求满足条件的椭圆方程；）求满足条件的椭圆方程；（2 2）求该椭圆的顶点坐标，长轴和短轴长，离心率）求该椭圆的顶点坐标，长轴和短轴长，离心率.34【解析】【解析】（1 1）设椭圆方程为）设椭圆方程为 （a ab b0 0）,则则c=1,c=1,焦点坐标为焦点坐标为F

16、F1 1（-1-1，0 0），），F F2 2（1 1，0 0），），2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|=b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=3,=3,椭圆方程为椭圆方程为 ;（2 2）顶点坐标：（）顶点坐标：（22，0 0），（），（0 0，）；长轴长：）；长轴长：4 4；短轴长：短轴长：；离心率；离心率e=.e=.35小结：小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个了解了研究椭圆的几个基本量基本

17、量a a，b b，c c，e e及顶点、及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握握数与形数与形的联系。在本节课中，我们运用了的联系。在本节课中，我们运用了几何性几何性质质，待定系数法待定系数

18、法来求解椭圆方程，在解题过程中，来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了准确体现了函数与方程函数与方程以及以及分类讨论分类讨论的数学思想。的数学思想。36例例5 5 点点M M（x,y)与定点与定点F F（4 4，0 0）的距离和它到定直线）的距离和它到定直线l:的距离的比为的距离的比为 ，求点，求点M M的轨迹的轨迹.37例例5、解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：由此得由此得：这是一个椭圆的标准方程，所以点这是一个椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短的轨迹是长轴、短轴分别是轴分别是2a、2b的椭圆。的椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比是常数求求M点的轨迹。点的轨迹。平方，化简得平方，化简得：38椭圆的准线与离心率椭圆的准线与离心率离心率离心率：椭圆的准线椭圆的准线：oxyMLLFF离心率的范围离心率的范围：相对应焦点相对应焦点F（c,0），准线是：），准线是：相对应焦点相对应焦点F（-c,0），准线是：），准线是：39汇报结束谢谢大家!请各位批评指正