函数项级数-幂级数分解.ppt

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1、函函 数数 项项 级级 数数函数项级数的函数项级数的处处收敛性处处收敛性 收敛点收敛点，收敛点的全体称为，收敛点的全体称为收敛域收敛域。类似地。类似地有发散点和发散域的定义。有发散点和发散域的定义。幂幂 级级 数数定义定义:定理定理1(1(AbelAbel定理定理)几何说明几何说明绝对收敛区域绝对收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域幂级数收敛区间关于原点对称！幂级数收敛区间关于原点对称！定理定理2 2定义定义1 1幂级数的幂级数的收敛域收敛域可能包含端点（而可能包含端点（而收敛区间只能收敛区间只能是开区间是开区间）：规定：规定：定理定理3 3定理定理3 3性质性质定理定理4 4定理定理5(

2、5(内闭一致收敛性内闭一致收敛性)定理定理6 6逐项求导或积分后所得到幂级数逐项求导或积分后所得到幂级数收敛半径不变收敛半径不变。但在收敛区间端点处的敛散性可能改变。但在收敛区间端点处的敛散性可能改变。例例 1 1例例 2 2例例 3 3 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与 收敛域收敛域:例例 4 4 求幂级数的收敛域及和函数求幂级数的收敛域及和函数例例 5 5 求级数的和求级数的和函数展开成幂级数函数展开成幂级数Taylor级数级数函数函数 f(x)展开成幂级数展开成幂级数是指存在幂级数在其是指存在幂级数在其收敛域内以收敛域内以 f(x)为和函数为和函数.定

3、义定理定理1(函数能展开成函数能展开成Taylor级数的级数的充要条件充要条件)唯一性唯一性:若若f(x)可展开为可展开为 x 的幂级数，则它的幂级数，则它 的展开式必的展开式必唯一，即为唯一，即为Maclaurin级数级数特别当特别当1.1.直接法直接法(Taylor(Taylor级数法级数法)第一步第一步第二步第二步函数展开成幂级数函数展开成幂级数第三步第三步第四步第四步2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过变量通过变量代换、代换、四则运算、恒等变形、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项求导、逐项积分等方法，求展开式逐项积分等方法，求展开式.常见的基本初等函数的常见的基本初等函数的Maclaurin展开式展开式例例 6例例 9例例 8例例 7例例 11例例 10例例 12例例 13例例 14