大学物理第3章刚体的定轴转动.ppt

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1、11 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述一一.刚体的运动刚体的运动 刚体的基本运动形式：刚体的基本运动形式：平动和转动平动和转动刚体刚体：在力的作用形状和体积均不发生形变的物在力的作用形状和体积均不发生形变的物体，理想化的模型。体，理想化的模型。平动平动：在运动过程中，其上在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平任意两点的连线始终保持平行的运动。行的运动。平动时可当作质点处理平动时可当作质点处理2转动转动:刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动这条直线称为转轴。这条直线称为转轴。定轴转动定轴转动（fix-axis rotation）：）：转轴固定不动的转动转轴

2、固定不动的转动二二.定轴转动刚体的角量描述定轴转动刚体的角量描述可用刚体上任一点可用刚体上任一点P作圆周运作圆周运动时的角量来描述刚体定轴转动时的角量来描述刚体定轴转动。动。3刚体的角速度、角加速度：刚体的角速度、角加速度：转动平面转动平面 方向方向:右手右手螺旋方向螺旋方向定轴转动时定轴转动时的方向的方向可以用正负来表示可以用正负来表示：方向与轴同向时取方向与轴同向时取正；反之取负。正；反之取负。44定轴转动刚体上任一点的速度和加速度：定轴转动刚体上任一点的速度和加速度：当当刚体做匀变速转动刚体做匀变速转动 与质点匀变速直线与质点匀变速直线运动公式相似运动公式相似5 刚体定轴转动定律刚体定轴

3、转动定律一一.刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律1 1、对轴的力矩、对轴的力矩 1）力在转动平面内力在转动平面内hA 2）力不在转动平面内力不在转动平面内 对轴的力矩为零对轴的力矩为零66r 说明说明在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平面在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平面内的分力对转轴的力矩。内的分力对转轴的力矩。同一个力对不同转轴的矩不一样；同一个力对不同转轴的矩不一样；通常规定通常规定:沿转轴方向沿转轴方向沿转轴反方向沿转轴反方向72.2.定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理firi设第设第i i个质元，受合个质元，受合外力外力切线方向切线方向同乘以同乘以 ri合内合内力力上式对

4、所有质元求和，有：上式对所有质元求和，有：内力矩之和内力矩之和外力矩之和外力矩之和为零为零88令令刚体绕刚体绕Z轴转动的转动惯量轴转动的转动惯量即即-刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律r 说明说明1.上式是矢量式（力矩只有两个方向）。上式是矢量式（力矩只有两个方向）。2.M M、J、是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。4.转动惯量转动惯量J J是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯性大小的量度。3.具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。93 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算转动惯量：转动惯量：质量连续分布的刚体：质量连续分布的刚体：转动惯量与下列因素有关：转动惯量与下

5、列因素有关：1）总质量）总质量 2）质量分布）质量分布3）转轴位置）转轴位置质量为线分布：质量为线分布：面分布：面分布：体分布：体分布：1010 J J与质量分布有关：与质量分布有关：例例 半径半径为为 R 质质量量为为 m 的的圆环圆环，绕绕垂直于垂直于圆环圆环平平面的面的质质心心轴转动轴转动，求，求转动惯转动惯量量J。分割质量元分割质量元 dm，圆环上圆环上各质量元到轴的各质量元到轴的距离距离相相等，等，解：解：1111oR例例 一质量为一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。rdr解解 设圆盘

6、面密度为设圆盘面密度为 ，在盘，在盘上取半径为上取半径为 r，宽为，宽为 dr的圆环的圆环12 J J与转轴位置有关：与转轴位置有关：例例 求长度为求长度为L，质量为，质量为m的均匀细棒的均匀细棒AB的转动惯量。的转动惯量。（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。1313 平行轴定理：平行轴定理：zdCMz刚体绕质心轴的平行轴的转动刚体绕质心轴的平行轴的转动惯量惯量 J J刚体绕质心轴的转动惯量刚体绕质心轴的转动惯量 J JC Cr 总结总结 1.计算计算 J 的方法：的方法：（1）叠加）叠加定理定

7、理:对同一转轴对同一转轴 J 有可叠加性有可叠加性（2）平行）平行轴定理轴定理:142.2.应记住的几个常用结果应记住的几个常用结果:（1）细圆环）细圆环（3）均匀圆盘、圆柱）均匀圆盘、圆柱（2）均匀细棒）均匀细棒练习练习：写出下面刚体对：写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量轴（垂直屏幕）的转动惯量 RMO OmL15三三.刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用例例 定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌面水平光滑。已知面水平光滑。已知 m1,m2,m3，R.求：两侧绳拉力。求：两侧绳拉力。m1 m2 m3RT1o解解：如图建立直角坐标系

8、，选：如图建立直角坐标系，选垂直纸面向里为转轴正向，垂直纸面向里为转轴正向，无相对滑动：无相对滑动：16例例 一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长平轴转动。已知棒长l，质量，质量m，开始时棒处于水平，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：（位置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时）棒在任意位置时的角加速度；（的角加速度；（2）角为角为300，900时的角速度。时的角速度。解解:选垂直纸面向里为转轴正向选垂直纸面向里为转轴正向棒在任意位置时质元棒在任意位置时质元dm对对O轴轴的重力矩的重力矩drr1718例例 一匀质细杆，长

9、为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻阻。解：解：建立如图坐标，取质元建立如图坐标，取质元质元受阻力矩：质元受阻力矩：细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩1919例例 一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为水平面上。若它的初速度为 0，绕中，绕中O心旋转，问经心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）Or解：解：drR2020 定轴转动刚体的功和能定轴转动刚体的功和能一一.力矩的功力矩的功 设

10、刚体上设刚体上P点受到外力点受到外力 的作用，的作用，位移为位移为力矩：力矩：力矩对刚体所作的功：力矩对刚体所作的功：2121二二 .定轴转动动能定理定轴转动动能定理转动动能转动动能:（可对比质点的动能）（可对比质点的动能）定轴转动动能定理定轴转动动能定理.即即22三三 .刚体的重力势能刚体的重力势能 hc-质心的高度质心的高度 由于刚体仍是个质点系，所以对于包括刚体的由于刚体仍是个质点系，所以对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立.四四 .应用举例应用举例23求求:杆下摆到杆下摆到 角时，角时，角速度角速度？解解:“杆杆+地球地球”系统，系统，

11、E机机 守恒。守恒。已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m，长为，长为l，轴，轴o光滑，光滑，初始静止在水平位置。初始静止在水平位置。例例.EP重重=00CABl,ml/424 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律一一.定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量刚体上任一质元刚体上任一质元mi对对Z Z轴的角动轴的角动量为：量为：由于任一质元对由于任一质元对 Z 轴的角动量轴的角动量具有相同的方向具有相同的方向2525 由质点系的角动量定理可得由质点系的角动量定理可得:二、定轴转动的角动量定理二、定轴转动的角动量定理刚体定轴转动刚体定轴转动的角动量定理的角动量定理刚体定轴

12、转动的角动量守恒定律：刚体定轴转动的角动量守恒定律：即外力对某轴的力矩之和为零，则物体对同一轴的即外力对某轴的力矩之和为零，则物体对同一轴的角动量守恒角动量守恒2626角动量守恒定律举例：角动量守恒定律举例：例如：花样滑冰运动员的例如：花样滑冰运动员的“旋旋”动作动作 质点与刚体的碰撞时，可以把质点和刚体质点与刚体的碰撞时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞期间，系统所受的合外看成一个系统，在碰撞期间，系统所受的合外力矩为零，对系统应用角动量守恒定律。力矩为零，对系统应用角动量守恒定律。2727例例 一长为一长为l，质量为，质量为m0的杆可绕支点的杆可绕支点O自由转动。一自由转动。一质量为质

13、量为m，速度为，速度为v的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为a的棒内。若的棒内。若棒偏转角为棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。问子弹的初速度为多少。解：解：角动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：oalv30302828例例 质量质量 m 长长 l 的均匀细杆可绕过其中点处的水平的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴光滑固定轴 0 转动，如果一质量为转动，如果一质量为 m的小球以速度的小球以速度 u竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。求：碰后小球的速度及杆的角速度。求：碰后小球的速度及杆的角速度。lm mo解：解：杆的角速

14、度杆的角速度 肯定如图，肯定如图，假设小球碰后瞬时的速假设小球碰后瞬时的速 度向上，如图所示。度向上，如图所示。系统系统：小球：小球+杆，杆，M外外=0 角动量守恒角动量守恒29因为弹性碰撞因为弹性碰撞，动能守恒动能守恒联立联立(1)(2)解得解得讨论讨论 当当 m 3m 时时,v 0（向上）（向上）当当 m=3m 时时,v=0（瞬时静止）（瞬时静止）当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）3030例例 泥球质量为泥球质量为 m,半径为半径为R的均质圆盘质量为的均质圆盘质量为 M=2m,它可绕水平光滑轴它可绕水平光滑轴o轴转动轴转动.泥球与泥球与 它正下方的圆盘它正下方的圆盘上的上的P点距离为点距离为 h，=60。求求:（1）碰撞后的瞬碰撞后的瞬间间 m、M 共同角速度共同角速度（2）P点转到点转到 x 轴时角速度轴时角速度 和角加速度。和角加速度。解：解：（1）机械能守恒：）机械能守恒：3131 碰撞过程碰撞过程:对对“m+M”系统，系统，冲力远大于重力，重力对冲力远大于重力，重力对0的力的力矩可忽略，矩可忽略，故角动量守恒：故角动量守恒：转动过程：转动过程：对对“m+M+地球地球”系统，系统，E机机守恒守恒