大数定理与中心极限定理.ppt

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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理本章要解决的问题本章要解决的问题 1.为何能以某事件发生的频率为何能以某事件发生的频率2.作为该事件的作为该事件的 概率的估计概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体为何能以样本均值作为总体3.期望的估计？期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占为何正态分布在概率论中占4.有极其重要的地位有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础大样本统计推断的理论基础5.是什么？是什么？ANSWER大数大数定律定律中心极中心极限定理限定理 大数定律和中心极限定理是概率论的重要基本理大数定律和中心极限定理是概率论的重要基本理大数定律和中心极限定理是

2、概率论的重要基本理大数定律和中心极限定理是概率论的重要基本理论，它们揭示了随机现象的重要统计规律，在概率论，它们揭示了随机现象的重要统计规律，在概率论，它们揭示了随机现象的重要统计规律，在概率论，它们揭示了随机现象的重要统计规律，在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要论与数理统计的理论研究和实际应用中都具有重要的意义。的意义。的意义。的意义。迄今为止迄今为止迄今为止迄今为止,人们已发现很多大数定律人们已发现很多大数定律人们已发现很多大数定律人们已发现很多大数定律(laws of large nu

3、mbers)(laws of large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。画。画。画。本章仅介绍几个最基本的大数定律。下面，先介绍一个本章仅介绍几个最基本的大数定律。下面，先介绍一个本章仅介绍几个

4、最基本的大数定律。下面，先介绍一个本章仅介绍几个最基本的大数定律。下面，先介绍一个重要的不等式。重要的不等式。重要的不等式。重要的不等式。设非负随机变量设非负随机变量 X 的期望的期望 E(X)存在，存在，则对于任意实数则对于任意实数 0,马尔可夫（马尔可夫（MarkovMarkov）不等式不等式 重要不等式重要不等式 5.1 5.1 切尔谢夫不等式切尔谢夫不等式设随机变量设随机变量 X 的方差的方差 D(X)存在，存在，则对于任意实数则对于任意实数 0,推论推论 2 2 切贝雪夫（切贝雪夫（chebyshevchebyshev ）不等式不等式或或示意图ExEx+eEx-ej(x)xDx/e2

5、 例例1 1 设设x x是掷一颗骰子所出现的点数是掷一颗骰子所出现的点数,若给定若给定e e=1,2,=1,2,实际计算实际计算P P(|(|x x-E Ex x|e e),),并验证切贝并验证切贝谢谢夫不等式成立夫不等式成立.解解 因因P P(x x=k k)=1/6,()=1/6,(k k=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6)例例2 设有一大批种子，其中良种占设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计试估计 在任选的在任选的 6000 粒种子中粒种子中,良种所占比例与良种所占比例与 1/6 比较上下小于比较上下小于1%的概率的概率.解解 设设 X 表示表示 6000 粒种子中的良

6、种数粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)-注：二项分布注：二项分布实际精确计算实际精确计算：用用Poisson Poisson 分布近似计算分布近似计算：取取 =1000例例3 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是的概率是0.7,而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在时开着的灯数在6800与与7200之间的概率之间的概率.（p105）解解 设设 X 表示夜晚同时开灯的数目表示夜晚同时开灯的数目X B(10000,0.7)-注：二项分布注：二项分布例例4 设每次试验中，事件设每次试验

7、中，事件 A 发生的概率为发生的概率为 0.75,试用试用 Chebyshev 不等式估计不等式估计,n 多大时多大时,才才 能在能在 n 次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件 A 出现的出现的 频率在频率在0.74 0.76 之间的概率大于之间的概率大于 0.90?解解 设设 X 表示表示 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 发生发生 的次数的次数,则则X B(n,0.75)要使要使，求，求 n事件A发生的概率即即即即由由 Chebyshev 不等式不等式，=0.01n,故故令令解得解得 切比雪夫不等式说明，切比雪夫不等式说明，切比雪夫不等式说明，切比雪夫不等式说明，DX

8、DXDXDX越小，则越小，则越小，则越小，则越小，越小，越小，越小，越大，也就是说，随机变量越大，也就是说，随机变量越大，也就是说，随机变量越大，也就是说，随机变量X X X X取值基取值基取值基取值基本上集中在本上集中在本上集中在本上集中在EXEXEXEX附近，这进一步说明了方差的意义。附近，这进一步说明了方差的意义。附近，这进一步说明了方差的意义。附近，这进一步说明了方差的意义。同时当同时当同时当同时当EX EX EX EX 和和和和DX DX DX DX 已知时，切比雪夫不等式给出了概率已知时，切比雪夫不等式给出了概率已知时，切比雪夫不等式给出了概率已知时，切比雪夫不等式给出了概率 的一

9、个上界，该上界并不涉及随机变的一个上界，该上界并不涉及随机变的一个上界，该上界并不涉及随机变的一个上界，该上界并不涉及随机变X X X X的具体概率分布，而只与其方差的具体概率分布，而只与其方差的具体概率分布，而只与其方差的具体概率分布，而只与其方差DXDXDXDX和和和和有关，因此，切比有关，因此，切比有关，因此，切比有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问出的是，虽然

10、切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。题中，由它给出的概率上界通常比较保守。题中，由它给出的概率上界通常比较保守。题中，由它给出的概率上界通常比较保守。5.2 大数定律大数定律在叙述大数定律之前，首先介绍两个基本概念。在叙述大数定律之前，首先介绍两个基本概念。在叙述大数定律之前，首先介绍两个基本概念。在叙述大数定律之前，首先介绍两个基本概念。定义定义定义定义5.15.15.15.1 设设设设 为一个随机变量序列，记为为一个随机变量序列，记为为一个随机变量序列

11、，记为为一个随机变量序列，记为 ，若对任何，若对任何，若对任何，若对任何n n n n2222，随机变量，随机变量，随机变量，随机变量 都相互独都相互独都相互独都相互独立，则称立，则称立，则称立，则称 是是是是相互独立的随机变量序列相互独立的随机变量序列相互独立的随机变量序列相互独立的随机变量序列。定义定义定义定义5.25.25.25.2 设设设设 为一随机变量序列，为一随机变量序列，为一随机变量序列，为一随机变量序列，X X X X为一随机变为一随机变为一随机变为一随机变量或常数，若对任意量或常数，若对任意量或常数，若对任意量或常数，若对任意0 0 0 0，有，有，有，有则称则称则称则称 依

12、概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于依概率收敛于X X X X,记为记为记为记为 或或或或 ，.下面是一个带普遍性结果的大数定律。下面是一个带普遍性结果的大数定律。下面是一个带普遍性结果的大数定律。下面是一个带普遍性结果的大数定律。大数定律大数定律贝努里（贝努里（BernoulliBernoulli）大数定律大数定律设设 nA 是是 n 次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 A 发生的发生的次数次数,p 是每次试验中是每次试验中 A 发生的概率，则发生的概率，则有有或或在概率的统计定义中，事件在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率发生的频率“稳定于稳定于”事件事件 A 在一次试验中发生的概

13、率是在一次试验中发生的概率是指：指：频频率率与与 p 有较大偏差有较大偏差是是小概率事件小概率事件,因而在因而在 n 足够大时足够大时,可以用频率可以用频率近似代替近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定这种稳定称为依概率稳定.贝努里（贝努里（BernoulliBernoulli）大数定律的意义：大数定律的意义：定义定义a 是一常数，是一常数，(或或则称随机变量序列则称随机变量序列依概率收敛依概率收敛于常数于常数 a,记作记作故故是一系列随机变量，是一系列随机变量，设设有有若若在在 Bernoulli 定理的证明过程中，定理的证明过程中，Y n 是相互是相互独立的服从独立的服从 0-1分布的随机变

14、量序列分布的随机变量序列 Xk 的的算术平均值算术平均值,Y n 依概率收敛于其数学期望依概率收敛于其数学期望 p.结果同样适用于服从其它分布的独立随结果同样适用于服从其它分布的独立随机变量序列机变量序列ChebyshevChebyshev 大数定律大数定律相互独立，相互独立，设随机变量序列设随机变量序列(指任意给定指任意给定 n 1,相互独立相互独立)，且，且具有相同的数学期望和方差具有相同的数学期望和方差则则有有或或算术平均值定理的意义定理的意义：当当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数足够大时，算术平均值几乎就是一个常数,可以用算术平均值近似地代替数学期望可以用算术平均值近似地代替

15、数学期望.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望算术平均值依概率收敛于数学期望.即即本结果由俄国数学家切比雪夫于本结果由俄国数学家切比雪夫于本结果由俄国数学家切比雪夫于本结果由俄国数学家切比雪夫于1866186618661866年证明，是关年证明，是关年证明，是关年证明，是关于大数定律的普遍结果，许多大数定律的古典结果于大数定律的普遍结果，许多大数定律的古典结果于大数定律的普遍结果，许多大数定律的古典结果于大数定律的普遍结果，许多大数定律的古典结果都是它的特例。都是它的特例。都是它的特例。都是它的特例。推论推论推论推论

16、1 1 1 1 设设设设 是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且 则对任意则对任意则对任意则对任意0 0 0 0，有，有，有，有 .推论推论推论推论1 1 1 1使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。如使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。如使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。如使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n n n

17、n次，得次，得次，得次，得n n n n个个个个测量值测量值测量值测量值 ，它们可以看成是，它们可以看成是，它们可以看成是，它们可以看成是n n n n个相互独立的随机个相互独立的随机个相互独立的随机个相互独立的随机变量变量变量变量,具有相同的分布、相同的数学期望具有相同的分布、相同的数学期望具有相同的分布、相同的数学期望具有相同的分布、相同的数学期望和方差和方差和方差和方差 ，由推论由推论由推论由推论1 1 1 1的大数定律知，只要的大数定律知，只要的大数定律知，只要的大数定律知，只要n n n n充分大，则以接近于充分大，则以接近于充分大，则以接近于充分大，则以接近于1 1 1 1的概率的

18、概率的概率的概率保证保证保证保证 这便是在这便是在这便是在这便是在n n n n较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律,故称为故称为故称为故称为“大数大数大数大数”定定定定律。律。律。律。比推论比推论比推论比推论1 1 1 1条件更宽的一个大数定律是条件更宽的一个大数定律是条件更宽的一个大数定律是条件更宽的一个大数定律是辛钦辛钦辛钦辛钦（KhintchineKhintchineKhintchineKhintchine）大数定律大数定律大数定律大数定律,它不需要推论它不需要推论它不需要推论它不需要推论1 1 1 1条件中条件中条件

19、中条件中“方差方差方差方差 存在存在存在存在”的限制，的限制，的限制，的限制，而在其它条件不变的情况下，仍有而在其它条件不变的情况下，仍有而在其它条件不变的情况下，仍有而在其它条件不变的情况下，仍有切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫式的结论。式的结论。式的结论。式的结论。辛钦大数定律辛钦大数定律-推论推论2 设设相互独立，服从同一相互独立，服从同一分布，且具有数学期望分布，且具有数学期望 E(X k)=,k=1,2,则对任意正数则对任意正数 0推论推论推论推论2 2 2 2（贝努利大数定律）设事件（贝努利大数定律）设事件（贝努利大数定律）设事件（贝努利大数定律）设事件A A A A发生的概率为发

20、生的概率为发生的概率为发生的概率为p p p p，在，在，在，在n n n n重重重重贝努利试验中贝努利试验中贝努利试验中贝努利试验中A A A A发生的频率为发生的频率为发生的频率为发生的频率为 ，则对任意的，则对任意的，则对任意的，则对任意的0 0 0 0，有，有，有，有 ,即，即，即，即，.这是历史上最早的大数定律，是贝努利在这是历史上最早的大数定律，是贝努利在这是历史上最早的大数定律，是贝努利在这是历史上最早的大数定律，是贝努利在1713171317131713年建立年建立年建立年建立的。概率论的研究到现在约有的。概率论的研究到现在约有的。概率论的研究到现在约有的。概率论的研究到现在约

21、有300300300300多年的历史，最终以事件多年的历史，最终以事件多年的历史，最终以事件多年的历史，最终以事件的频率稳定值来定义其概率。作为概率这门学科的基础，的频率稳定值来定义其概率。作为概率这门学科的基础，的频率稳定值来定义其概率。作为概率这门学科的基础，的频率稳定值来定义其概率。作为概率这门学科的基础，其其其其“定义定义定义定义”的合理性这一悬而未决的带根本性的问题的合理性这一悬而未决的带根本性的问题的合理性这一悬而未决的带根本性的问题的合理性这一悬而未决的带根本性的问题,由贝由贝由贝由贝努努努努利于利于利于利于1713171317131713年发表的这个年发表的这个年发表的这个年发

22、表的这个“大数定律大数定律大数定律大数定律”给予了解决，被称为概给予了解决，被称为概给予了解决，被称为概给予了解决，被称为概率论的第一篇论文率论的第一篇论文率论的第一篇论文率论的第一篇论文,为概率论的公理化体系奠定了理论基础。为概率论的公理化体系奠定了理论基础。为概率论的公理化体系奠定了理论基础。为概率论的公理化体系奠定了理论基础。之所以被成为之所以被成为之所以被成为之所以被成为“定律定律定律定律”,是这一规律表述了一种全人类多年是这一规律表述了一种全人类多年是这一规律表述了一种全人类多年是这一规律表述了一种全人类多年的的的的集体经验集体经验集体经验集体经验.因此，对尔后的类似定理统称为大数因

23、此，对尔后的类似定理统称为大数因此，对尔后的类似定理统称为大数因此，对尔后的类似定理统称为大数“定律定律定律定律”。5.3 中心极限定理 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到的大量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有特别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分特别重要的

24、地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分特别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分特别重要的地位。那么，如何判断一个随机变量服从正态分布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多工程测量中产生的误差工程测量中产生的误差工程测量中产生的误差工程测量中产生的误差X X X X都是服从正态分布的随机变量。分都是服从正态分布的随机变量。分都是服从正态分布的随机变量。分都是服从正态分布的随机变量。分析起来，造成误差的原因有仪器偏差

25、析起来，造成误差的原因有仪器偏差析起来，造成误差的原因有仪器偏差析起来，造成误差的原因有仪器偏差X X X X1 1 1 1、大气折射偏差、大气折射偏差、大气折射偏差、大气折射偏差X X X X2,2,2,2,温度变化偏差温度变化偏差温度变化偏差温度变化偏差X X X X3 3 3 3、估读误差造成的偏差、估读误差造成的偏差、估读误差造成的偏差、估读误差造成的偏差X X X X4 4 4 4等等，这些偏差等等，这些偏差等等，这些偏差等等，这些偏差XiXiXiXi 对总误差对总误差对总误差对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突的影响都很微小，没有一个起到特别突的影响都很微小，没有一个起到特

26、别突的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影响，虽然每个出的影响，虽然每个出的影响，虽然每个出的影响，虽然每个XiXiXiXi的分布并不知道，但的分布并不知道，但的分布并不知道，但的分布并不知道，但 却服从正态分布。类似的例子不胜枚举。却服从正态分布。类似的例子不胜枚举。却服从正态分布。类似的例子不胜枚举。却服从正态分布。类似的例子不胜枚举。设设设设 为一随机变量序列，其标准化随机变量为一随机变量序列，其标准化随机变量为一随机变量序列，其标准化随机变量为一随机变量序列，其标准化随机变量 在什么条件下，在什么条件下，在什么条件下，在什么条件下，,这是十八世纪以来概率论这是十八世纪以来概率论这是十

27、八世纪以来概率论这是十八世纪以来概率论研究的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究的中心课题，因而，从二十世纪二十年代开始，习惯上把研究随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为研究随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为研究随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为研究随机变量和的分布收敛到正态分布的这类定理称为中心极中心极中心极中心极限定理限定理限定理限定理（Central Limit TheoremsCentral Limit TheoremsCentral

28、Limit TheoremsCentral Limit Theorems）。这里仅介绍独立同分）。这里仅介绍独立同分）。这里仅介绍独立同分）。这里仅介绍独立同分布场合下的中心极限定理。布场合下的中心极限定理。布场合下的中心极限定理。布场合下的中心极限定理。5.2 5.2 中心极限定理中心极限定理定理定理1 1 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列设随机变量序列相互相互独立，服从同一分布，且有期望和方差：独立，服从同一分布，且有期望和方差：则对于任意实数则对于任意实数 x,本定理的证明在本定理的证明在本定理的证明在本定理的证明在20202020世纪世纪世纪世纪2020

29、2020年代由林德伯格和莱维给出，年代由林德伯格和莱维给出，年代由林德伯格和莱维给出，年代由林德伯格和莱维给出，因证明较复杂，在此从略。因证明较复杂，在此从略。因证明较复杂，在此从略。因证明较复杂，在此从略。由定理由定理由定理由定理5.25.25.25.2可知，当可知，当可知，当可知，当n n n n充分大时，充分大时，充分大时，充分大时，(5-8)(5-8)(5-8)(5-8)从而，从而，从而，从而，注：注：则则 Y n 为为的标准化随机变量的标准化随机变量.即即 n 足够大时，足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数随机变量的分布函数记记近似近似

30、近似服从近似服从定理定理2 2 李雅普诺夫李雅普诺夫(LiapunovLiapunov)定理定理 设随机变量序列设随机变量序列相互相互独立，且有有限的期望和方差：独立，且有有限的期望和方差：记记若若则对于任意实数则对于任意实数 x,定理定理3 3 德莫佛德莫佛 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-LaplaceDeMoivre-Laplace ）设设 Y n B(n,p),0 p 1,n=1,2,则对任一实数则对任一实数 x，有有即对任意的即对任意的 a b,Y n N(np,np(1-p)(近似近似)正态分布的概率密度的图形xmm+sm-s 二项分布的随机变量可看作

31、许多相互独立的0-1分布的随机变量之和,下面是当x-B(20,0.5)时,x的概率分布图 普阿松分布相当于二项分布中普阿松分布相当于二项分布中p p很小很小n n很大很大的分布的分布,因此因此,参数参数l l=npnp当很大时也相当于当很大时也相当于n n特别大特别大,这个时候普阿松分布也近似服从正态这个时候普阿松分布也近似服从正态分布分布,下面是下面是l l=30=30时的普阿松概率分布图时的普阿松概率分布图.例例1 设有一大批种子，其中良种占设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计试估计 在任选的在任选的6000粒种子中，良种所占比例与粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过比较上下

32、不超过1%的概率的概率.解解 设设 X 表示表示6000粒种子中的良种数粒种子中的良种数,则则X B(6000,1/6)近似比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果用中心极限定理用中心极限定理用二项分布用二项分布(精确结果精确结果)用用Poisson 分布分布用用Chebyshev 不等式不等式例例2 某车间有某车间有200台车床，每台独立工作，开工台车床，每台独立工作，开工 率为率为0.6.开工时每台耗电量为开工时每台耗电量为 r 千瓦千瓦.问供问供 电所至少要供给这个车间多少电力电所至少要供给这个车间多少电力,才能以才能以 99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足的概率保证这个车间不

33、会因供电不足 而影响生产？而影响生产？解解 设至少要供给这个车间设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力千瓦的电力设设 X 为为200 台车床的开工数台车床的开工数.X B(200,0.6),问题转化为求问题转化为求 a,使使X N(120,48)(近似近似)由于将由于将 X 近似地看成正态分布，故近似地看成正态分布，故反查标准正态函数分布表，得反查标准正态函数分布表，得令令解得解得(千瓦千瓦)例例3 检查员逐个地检查某种产品检查员逐个地检查某种产品,每检查一只每检查一只 产品需要用产品需要用10秒钟秒钟.但有的产品需重复检但有的产品需重复检 查一次，再用去查一次，再用去10秒钟秒钟.假设产品需要

34、重假设产品需要重 复检查的概率为复检查的概率为 0.5,求检验员在求检验员在 8 小时内小时内 检查的产品多于检查的产品多于1900个的概率个的概率.解解 检验员在检验员在 8 小时内检查的产品多于小时内检查的产品多于1900个个 即检查即检查1900个产品所用的时间小于个产品所用的时间小于 8 小时小时.设设 X 为检查为检查1900 个产品所用的时间个产品所用的时间(单位：单位：秒秒)设设 Xk 为检查第为检查第 k 个产品所用的时间个产品所用的时间(单位：秒单位：秒),k=1,2,1900 XkP 10 200.5 0.5相互独立相互独立,且同分布且同分布,解法二解法二 1900个产品中

35、需重复检查的个数个产品中需重复检查的个数例例5 售报员在报摊上卖报售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在已知每个过路人在报摊上买报的概率为报摊上买报的概率为1/3.令令X 是出售了是出售了100份份报时过路人的数目，求报时过路人的数目，求 P(280 X 320).解解 令令Xi 为售出了第为售出了第 i 1 份报纸后到售出第份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数份报纸时的过路人数,i=1,2,100(几何分布几何分布)相互独立,中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在实际问题中，若某随机变量可以看在实际问题中，若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分都很微小，则综合作用的结果服从正态分布布.