3.4基本不等式课件(人教A版必修5).ppt

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1、3.4基本不等式基本不等式课件件(人教人教A版必修版必修5)这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？探究探究1 1ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角

2、三角形的面积和面积和S=、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：SS即即问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？(ab)ADBCEFGHba猜想：猜想：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab(ab)(ab)思考：思考：你能你能给给出不等式出不等式 的的证证明明吗吗？证明：（作差法）证明：（作差法）重要不等式：重要不等式：一般地，一般地，对对于任意于任意实实数数a、b，总总有有 当且当且仅仅当当a=b时时，等号成立，等号成立文字叙述为文字叙述为:两数的平方和两数

3、的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍.适用范围：适用范围：a,b R替换后得到：替换后得到：即：即：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.分分析析法法证明不等式：证明不等式：特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中

4、，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数，的算术平均数，叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用

5、如何用a,b表示表示OD?OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数

6、不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式=(x+1)+-11x+1 f(x)=x+1x+1=1,2 (x+1)-11x+1 当且仅当当且仅当 取取“=”号号.当当 x=0 时时,函数函数 f(x)的最的最小小值是值是 1.x+1=,即即 x=0 时时,1x+1 解解:x-1,x+10.例例1.求函数求函数 f(x)=x+(x-1)的最小值的最小值.1x+1 配凑系数配凑系数分析分析:x+(1-2x)不是不是 常数常数.2=1为为 解解

7、:0 x0.12y=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=14当当 x=时时,函数函数 y=x(1-2x)的最大值是的最大值是 .1418例例2.若若 0 x0,y0,xy=24,求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值2 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值练习题：练习题：当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为48最小值为最小值为83.已知已知x0，求函数，求函数 的最大值的最大值.题型一分式形函数的最值求法题型一分式形函数的最值求法典例剖析典例剖析谢谢观赏谢谢观赏