数学史概论.ppt

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1、CH6解析几何解析几何第六章第六章 数学的转折点数学的转折点解析几何的产生解析几何的产生 近代数学本质上可以说成是变量数学。变量数学的近代数学本质上可以说成是变量数学。变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。第一个里程碑是解析几何的诞生。解析几何的基本思想解析几何的基本思想是在平面上引进所谓是在平面上引进所谓“坐标坐标”的概念，并借助这种坐标的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对在平面上的点和有序实数对(x x,y y)之间建立一一对应之间建立一一对应的关系。每一对实数的关系。每一对实数(x x,y y)都对应于平面上的一个点，都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标反之

2、，每一个点都对应于它的坐标(x x,y y)，以这种方，以这种方式可以将一个代数方程式可以将一个代数方程f f(x x,y y)=0)=0与平面上一条曲与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。解析几何：借助坐标系，用代数方法研究几何对象解析几何：借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。CH6解析几何解析几何 文艺复兴时期，由于机械的广泛使用、航海事业的迅文艺

3、复兴时期，由于机械的广泛使用、航海事业的迅速发展以及我国四大发明的西传，促使欧洲的生产发生了速发展以及我国四大发明的西传，促使欧洲的生产发生了大的飞跃。在生产的推动下，自然科学得到了迅猛的发展，大的飞跃。在生产的推动下，自然科学得到了迅猛的发展，数学也因此进行了一场大变革。正如恩格斯所说：数学也因此进行了一场大变革。正如恩格斯所说：“在中在中世纪的黑夜之后，科学以意想不到的力量重新兴起，并以世纪的黑夜之后，科学以意想不到的力量重新兴起，并以神奇的速度发展起来，我们要再次把这个奇迹归功于生产。神奇的速度发展起来，我们要再次把这个奇迹归功于生产。”“社会一旦有技术上的需要，则这种需要会比十所大学社

4、会一旦有技术上的需要，则这种需要会比十所大学更能把科学推向前进。更能把科学推向前进。”CH6解析几何解析几何 16 16、1717世纪，科学思想和科学方法也正处于一个变革世纪，科学思想和科学方法也正处于一个变革时期。在这个时期，到处是一片要求科学改革的呼声。比时期。在这个时期，到处是一片要求科学改革的呼声。比如，哲学家如，哲学家培根培根强调必须给人类的理智开辟一条与以前相强调必须给人类的理智开辟一条与以前相比完全不同的道路以结束中世纪以来知识状况既不景气又比完全不同的道路以结束中世纪以来知识状况既不景气又没有很大进展的现状。他提倡通过对自然现象进行观察和没有很大进展的现状。他提倡通过对自然现象

5、进行观察和实验来得出正确的结论。实验来得出正确的结论。伽利略伽利略进一步强调了在观察和实进一步强调了在观察和实验中运用数学方法的作用，强调科学必须通过测量而追求验中运用数学方法的作用，强调科学必须通过测量而追求定量的规律。他的实验定量的规律。他的实验数学方法，是划时代的思想。数学方法，是划时代的思想。当时的许多自然科学家都注意到数学在自然科学研究中的当时的许多自然科学家都注意到数学在自然科学研究中的重要性，这对数学的发展也起了巨大的促进作用。重要性，这对数学的发展也起了巨大的促进作用。由于实由于实践的需要和各门科学自身的发展，使自然科学转向对运动践的需要和各门科学自身的发展，使自然科学转向对运

6、动的研究、对各种变化过程及各种变化着的量之间依赖关系的研究、对各种变化过程及各种变化着的量之间依赖关系的研究。因此，研究运动成了自然科学的中心课题。的研究。因此，研究运动成了自然科学的中心课题。因而，因而，作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的反映，作为变化着的量的一般性质和它们之间依赖关系的反映，在数学中产生了变量和函数的概念。在数学中产生了变量和函数的概念。CH6解析几何解析几何 变量和函数的出现是数学史上的一个转折点，数学变量和函数的出现是数学史上的一个转折点，数学开始进入一个崭新的时期开始进入一个崭新的时期变量数学时期。这一时期变量数学时期。这一时期可以分为两个阶段：变量数学的建

7、立阶段（可以分为两个阶段：变量数学的建立阶段（1717世纪）和世纪）和发展阶段（发展阶段（18181919世纪世纪2020年代）。在变量数学建立阶段，年代）。在变量数学建立阶段，出现了数学史上划时代的事件：出现了数学史上划时代的事件：笛卡儿和费马创立解析笛卡儿和费马创立解析几何，费马、帕斯卡和荷兰的惠更斯开创了概率论，牛几何，费马、帕斯卡和荷兰的惠更斯开创了概率论，牛顿、莱布尼兹发明了微积分。顿、莱布尼兹发明了微积分。1717世纪虽然有长期的宗教世纪虽然有长期的宗教战争、严重的谷物欠收和数次瘟疫的大流行，但就数学战争、严重的谷物欠收和数次瘟疫的大流行，但就数学而言，而言，1717世纪却是史无前

8、例富于发现的时代，数学上硕世纪却是史无前例富于发现的时代，数学上硕果累累。因此，有人称赞：果累累。因此，有人称赞：1717世纪是数学史上的天才世世纪是数学史上的天才世纪。纪。CH6解析几何解析几何 解析几何的产生是数学史上一件划时代的大事，是变量解析几何的产生是数学史上一件划时代的大事，是变量数学建立中第一个决定性的步骤。解析几何是初等代数、初数学建立中第一个决定性的步骤。解析几何是初等代数、初等几何和一般变量相结合的产物，其创立是以代数与几何的等几何和一般变量相结合的产物，其创立是以代数与几何的高度发展为基础。高度发展为基础。6.1解析几何产生的背景解析几何产生的背景 1717世世纪纪欧欧洲

9、洲的的资资本本主主义义萌萌芽芽开开始始茁茁壮壮成成长长。航航海海中中如如何何确确定定地地球球的的经经纬纬度度、天天文文中中如如何何进进一一步步掌掌握握行行星星的的运运行行规规律律、力力学学中中怎怎样样才才能能准准确确分分析析物物体体的的受受力力情情况况、军军事事中中如如何何准准确确计计算算炮炮弹弹的的运运行行轨轨迹迹等等都都给给数数学学提提出出了了一一系系列列亟亟待待解解决决的的问问题题。上上述述这这些些问问题题都都难难以以在在常常量量数数学学的的范范围围内内获获得得解解决决，这这就促使人们寻求解决变量问题的新方法。就促使人们寻求解决变量问题的新方法。1.1.解析几何产生的外部条件解析几何产生

10、的外部条件CH6解析几何解析几何 从数学本身的发展来说，也具备了重要条件。几何学曾从数学本身的发展来说，也具备了重要条件。几何学曾在古希腊有较高的发展，特别是阿波罗尼奥斯对圆锥曲线作在古希腊有较高的发展，特别是阿波罗尼奥斯对圆锥曲线作过深入的研究。但是，过深入的研究。但是，古希腊的几何学仅是一种静态几何，古希腊的几何学仅是一种静态几何，它没有把曲线看作动点的轨迹，更没有给出它的一般表示方它没有把曲线看作动点的轨迹，更没有给出它的一般表示方法。法。这种局限性在这种局限性在1616世纪以前并没有引起人们的注意。因为世纪以前并没有引起人们的注意。因为实践没有向几何学提出这样的课题。文艺复兴运动之后，

11、开实践没有向几何学提出这样的课题。文艺复兴运动之后，开普勒发现了行星运动的三大定律。伽利略又证明了炮弹、石普勒发现了行星运动的三大定律。伽利略又证明了炮弹、石子等抛物体的运动轨迹是抛物线。这就使几乎被人们遗忘的子等抛物体的运动轨迹是抛物线。这就使几乎被人们遗忘的阿波罗尼奥斯研究过的圆锥曲线重新引起人们的重视。阿波罗尼奥斯研究过的圆锥曲线重新引起人们的重视。人们人们发现圆锥曲线不仅仅是依附在圆锥上的静态曲线，而且是与发现圆锥曲线不仅仅是依附在圆锥上的静态曲线，而且是与自然界物体运动有密切联系的曲线。自然界物体运动有密切联系的曲线。要计算行星运行的椭圆要计算行星运行的椭圆轨道，要求出炮弹飞行所走过

12、的抛物线，综合几何方法已无轨道，要求出炮弹飞行所走过的抛物线，综合几何方法已无能为力，仅靠古希腊的几何学已找不出解决这些问题的有效能为力，仅靠古希腊的几何学已找不出解决这些问题的有效方法。要想反映出这类运动的轨迹及性质，就必须从观点到方法。要想反映出这类运动的轨迹及性质，就必须从观点到方法都来一个变革，即需要建立一种方法都来一个变革，即需要建立一种在运动观点上的几何学。在运动观点上的几何学。2.解析几何产生的内部条件解析几何产生的内部条件CH6解析几何解析几何 古希腊的数学家们只重视几何学的研究，而忽视代数的古希腊的数学家们只重视几何学的研究，而忽视代数的方法。从古希腊起，在西方数学的发展过程

13、中，几何学一直方法。从古希腊起，在西方数学的发展过程中，几何学一直是至高无上的，就连一些简单的代数问题也往往用几何方法是至高无上的，就连一些简单的代数问题也往往用几何方法解决。代数方法在东方国家虽然有高度的发展，但又忽视了解决。代数方法在东方国家虽然有高度的发展，但又忽视了论证几何学的研究。因此，论证几何学的研究。因此，无论是在古代的欧洲，还是在东无论是在古代的欧洲，还是在东方国家，都不具备产生解析几何的条件。方国家，都不具备产生解析几何的条件。CH6解析几何解析几何 随随着着东东方方文文化化的的传传入入，东东方方高高度度发发展展的的代代数数进进入入了了欧欧洲洲。文文艺艺复复兴兴运运动动使使欧

14、欧洲洲数数学学在在古古希希腊腊几几何何学学和和东东方方代代数数学学的的基基础础上上有有了了巨巨大大的的发发展展。韦韦达达符符号号代代数数学学的的创创立立，使使代代数数学学从从一一个个过过去去以以分分别别解解决决各各种种特特殊殊问问题题侧侧重重于于计计算算的的数数学学分分支支转转变变成成一一门门研研究究一一般般类类型型问问题题和和方方程程的的学学科科。这这就就为为由由几几何何曲曲线线建建立立代代数数方方程程并并由由代代数数方方程程研研究究几几何何曲曲线线铺平了道路。铺平了道路。坐坐标标概概念念的的引引入入和和发发展展对对解解析析几几何何的的创创立立也也有有重重要要的的作作用用。文文艺艺复复兴兴时

15、时期期，随随着着航航海海事事业业的的发发展展，经经常常需需要要确确定定轮轮船船在在大大海海中中的的位位置置，这这就就推推动动了了坐坐标标法法的的发发展展。坐坐标标概概念念的的引引入入，实实现现了了平平面面的的算算术术化化，架架起起了了代代数数、几几何何融融合的桥梁，为解析几何的诞生奠定了基础。合的桥梁，为解析几何的诞生奠定了基础。CH6解析几何解析几何 对解析几何的诞生起至关重要作用的是对解析几何的诞生起至关重要作用的是天体运动和物体天体运动和物体运动。运动。开普勒发现行星绕日运动的轨迹是椭圆，伽利略指出开普勒发现行星绕日运动的轨迹是椭圆，伽利略指出各种抛物体的运动轨迹是抛物线，这就向数学提出

16、了用运动各种抛物体的运动轨迹是抛物线，这就向数学提出了用运动的观点去研究圆锥曲线和其他曲线的问题。由于几何图形表的观点去研究圆锥曲线和其他曲线的问题。由于几何图形表示了运动，这就启发了人们反过来把静止不变的几何图形看示了运动，这就启发了人们反过来把静止不变的几何图形看作是变量运动的轨迹。这样一来，就把变量引入了数学。作是变量运动的轨迹。这样一来，就把变量引入了数学。从从此，数学就发生了质的变化此，数学就发生了质的变化由研究常量的初等数学进入由研究常量的初等数学进入到研究变量的高等数学。到研究变量的高等数学。在初等几何和初等代数基本定型和在初等几何和初等代数基本定型和成熟的基础上，人们试图用代数

17、方法研究几何问题，于是产成熟的基础上，人们试图用代数方法研究几何问题，于是产生了一门崭新的数学分支生了一门崭新的数学分支解析几何。解析几何。CH6解析几何解析几何笛卡儿，法国数学家、哲学家和物理笛卡儿，法国数学家、哲学家和物理学家。出生于法国北部图朗郡的一个学家。出生于法国北部图朗郡的一个贵族之家。贵族之家。2 2岁丧母，深受父亲溺爱。岁丧母，深受父亲溺爱。他的父亲是一名律师，曾任议会议员，他的父亲是一名律师，曾任议会议员，有一份相当可观的地产。笛卡儿有一份相当可观的地产。笛卡儿8 8岁那岁那年，被送到法国当时最好的学校拉弗年，被送到法国当时最好的学校拉弗里舍镇的一所耶稣学校接受教育。里舍镇的

18、一所耶稣学校接受教育。8 8年年中这所学校给他打下的数学基础比当中这所学校给他打下的数学基础比当时在大多数大学中学到的还强的多。时在大多数大学中学到的还强的多。他父亲看到他身体虚弱，就专门与校他父亲看到他身体虚弱，就专门与校长协商，允许他每天早上可以睡到他长协商，允许他每天早上可以睡到他愿意起来上课时，这就使他养成了早愿意起来上课时，这就使他养成了早上躺在床上思考问题的习惯。上躺在床上思考问题的习惯。6.2笛卡儿与他的笛卡儿与他的几何学几何学1.笛卡儿生平简介笛卡儿生平简介CH6解析几何解析几何 1612 1612年，笛卡儿遵照父命去普瓦界大学攻读法律，年，笛卡儿遵照父命去普瓦界大学攻读法律，

19、4 4年年后毕业当了一名律师。在笛卡儿那个年代，欧洲正陷入战后毕业当了一名律师。在笛卡儿那个年代，欧洲正陷入战火之中。按当时的社会风气，有志之士不是致力于宗教，火之中。按当时的社会风气，有志之士不是致力于宗教，就是献身于打仗。于是，笛卡儿决定从军。就是献身于打仗。于是，笛卡儿决定从军。16171617年，他加年，他加入奥伦茨公爵的军队驻扎在荷兰。在那里，笛卡儿为了解入奥伦茨公爵的军队驻扎在荷兰。在那里，笛卡儿为了解决一张公开张贴的数学问题而激发出对数学的兴趣。决一张公开张贴的数学问题而激发出对数学的兴趣。16191619年年1111月月1010日，他做了三个生动的梦。他认为，这些梦如神日，他做

20、了三个生动的梦。他认为，这些梦如神奇的钥匙，打开了大自然的宝库。事实上，不是这些梦给奇的钥匙，打开了大自然的宝库。事实上，不是这些梦给了他启示，而是因为他苦思冥想才做了这些梦。这把神奇了他启示，而是因为他苦思冥想才做了这些梦。这把神奇的钥匙是什么呢？的钥匙是什么呢？即代数应用于几何。即代数应用于几何。CH6解析几何解析几何 1637 1637年，笛卡儿出版了年，笛卡儿出版了更好地指导推理和寻求真理更好地指导推理和寻求真理的方法论的方法论，简称，简称方法论方法论。在这本书中，有。在这本书中，有3 3个著名的个著名的附录：附录：几何学几何学、折光折光、气象气象。其中。其中几何学几何学包括了他关于坐

21、标几何和代数的思想，他首次明确提出包括了他关于坐标几何和代数的思想，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。数方程来表示和研究曲线。几何学几何学的问世，是解析几何产生的重要标志。的问世，是解析几何产生的重要标志。这这部部方法论方法论朴实无华，通俗易懂，不仅是重要的哲学著朴实无华，通俗易懂，不仅是重要的哲学著作，而且是法国文学史上杰出的散文。笛卡儿的哲学著作作，而且是法国文学史上杰出的散文。笛卡儿的哲学著作焕发着一股从柏拉图到当时的任何哲学家的作品中全然找焕发着一股从柏拉图到当时的任何哲学家的作品中

22、全然找不到的清新气息。他是近代哲学的开创者，虽然他也是近不到的清新气息。他是近代哲学的开创者，虽然他也是近代数学的开创者之一，但确切的说，他在数学和自然科学代数学的开创者之一，但确切的说，他在数学和自然科学上的成就，只是他哲学成果在科学上的表现。上的成就，只是他哲学成果在科学上的表现。CH6解析几何解析几何 几几何何学学作作为为笛笛卡卡儿儿哲哲学学著著作作方方法法论论的的附附录录，意意味味着着他他的的几几何何学学发发现现乃乃至至其其它它方方面面的的发发现现都都是是在在其其方方法法论论原原理理指指导导下下获获得得的的。其其方方法法论论原原理理的的本本旨旨是是寻寻求求发发现现真真理理的的一一般般方

23、方法法，他他认认为为在在一一切切领领域域中中可可以以建建立立一一种种普普适适的的推推证证真真理理的的方方法法，这这个个方方法法就就是是数数学学方方法法，称称之之为为“通通用用数数学学”。因因为为立立足足于于公公理理之之上上的的证证明明是是无无懈懈可可击击的的，而而且且数数学学方方法法超超乎乎其其对对象象，是是一一个个知知识识工工具具。同同时时他他认认为为，代代数数具具有有作作为为一一门门普普遍遍的的科科学学方方法法的的潜潜力力，强强调调了了代代数数的的一一般般性性以以及及它它在在推推理理程程序序机机械械化化和和减减小小解解题题工工作作量量方方面面的的价价值值。他他由由此此出出发发提提出出一种大

24、胆的计划，即：一种大胆的计划，即：任何的问题任何的问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程求解方程求解 当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切当然，笛卡儿的方法论著作并没有告诉人们，在将一切问题化归为代数方程问题后将如何继续，这还是问题化归为代数方程问题后将如何继续，这还是几何学几何学需要完成的任务。需要完成的任务。CH6解析几何解析几何 从从16411641年秋天起，笛卡儿一直住在荷兰境内靠近海牙的小村子里。年秋天起，笛卡儿一直住在荷兰境内靠近海牙的小村子里。16461646年，年，5050岁的笛卡儿已经闻名世界了。他在荷兰过着愉快的隐居生岁的笛卡儿已经闻名世界了。他在荷兰过着愉快

25、的隐居生活，与欧洲的学者经常保持着通信的联系。活，与欧洲的学者经常保持着通信的联系。16491649年，瑞典的克里斯蒂年，瑞典的克里斯蒂娜女王听到笛卡儿的盛名后，便打破了他的平静生活。要笛卡儿每天娜女王听到笛卡儿的盛名后，便打破了他的平静生活。要笛卡儿每天去给女王上课。女王请笛卡儿亲临她的宫廷，还派了一艘军舰去迎接。去给女王上课。女王请笛卡儿亲临她的宫廷，还派了一艘军舰去迎接。女王想每天听笛卡儿讲课，但除了早晨女王想每天听笛卡儿讲课，但除了早晨5 5点又抽不出其他时间。可冬点又抽不出其他时间。可冬天早晨的寒冷对于不习惯早起、体质又孱弱的笛卡儿来说简直是一种天早晨的寒冷对于不习惯早起、体质又孱弱

26、的笛卡儿来说简直是一种灾难。下午当笛卡儿想躺下休息时，又常常被瑞典皇家科学院的人从灾难。下午当笛卡儿想躺下休息时，又常常被瑞典皇家科学院的人从床上拖起来。不久，他得了肺炎，情况越来越糟。床上拖起来。不久，他得了肺炎，情况越来越糟。16501650年年2 2月月1111日，日，这位年仅这位年仅5454岁、终生未婚的科学家就病逝于瑞典斯德哥尔摩。由于教岁、终生未婚的科学家就病逝于瑞典斯德哥尔摩。由于教会的阻止，会的阻止，仅有几个友人为其送葬。他的著作在他死后也被列入梵仅有几个友人为其送葬。他的著作在他死后也被列入梵蒂冈教皇颁布的禁书目录之中。蒂冈教皇颁布的禁书目录之中。但是，他的思想的传播并未因此

27、而但是，他的思想的传播并未因此而受阻，笛卡尔成为受阻，笛卡尔成为1717世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一。法国大革命之后，笛卡尔的骨灰和遗物被送进法国历史博物匠之一。法国大革命之后，笛卡尔的骨灰和遗物被送进法国历史博物馆。馆。18191819年其骨灰被移入圣日耳曼圣心堂中。年其骨灰被移入圣日耳曼圣心堂中。在他的墓碑上，镌刻在他的墓碑上，镌刻着：着：笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为争取并保证理性权利的人。笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，第一个为争取并保证理性权利的人。CH6解析几何解析几何 笛卡儿的哲学名言是：笛卡儿的哲学名言是：“我思故我在

28、我思故我在”，他解释说：，他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能把所有的事要想追求真理，我们必须在一生中尽可能把所有的事物都来怀疑一次物都来怀疑一次”，而世界上唯一先需怀疑的是，而世界上唯一先需怀疑的是“我在我在怀疑怀疑”，因为，因为“我在怀疑我在怀疑”证明证明“我在思想我在思想”，说明我，说明我确实存在，这就是确实存在，这就是“我思故我在我思故我在”，成为笛卡儿唯理主，成为笛卡儿唯理主义的一面旗帜。它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒，义的一面旗帜。它虽然在物质与精神的关系上有所颠倒，但主张用怀疑的态度代替盲从和迷信，认为只有依靠理但主张用怀疑的态度代替盲从和迷信，认为只有依靠理性才

29、能获得真理，在当时不仅打击了经院哲学的教会权性才能获得真理，在当时不仅打击了经院哲学的教会权威，而且也为笛卡儿自己的科学发现开辟了一条崭新的威，而且也为笛卡儿自己的科学发现开辟了一条崭新的道路。道路。CH6解析几何解析几何 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有两个传说：关于笛卡儿创立解析几何的灵感有两个传说：笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思晨思”习惯，有习惯，有一天，笛卡儿在床上晨思时，看见一只蜘蛛在天花板上爬行，突然灵感一天，笛卡儿在床上晨思时，看见一只蜘蛛在天花板上爬行，突然灵感来了，他想到：如果能知道蜘蛛与相邻两个墙壁的距离之间的关系，

30、就来了，他想到：如果能知道蜘蛛与相邻两个墙壁的距离之间的关系，就能描述出蜘蛛的路线。这样，他就产生了解析几何的设想。能描述出蜘蛛的路线。这样，他就产生了解析几何的设想。另一个传说是，另一个传说是，16191619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕（村庄，在圣马丁节的前夕（1111月月1010日），他做了三个连贯的梦。笛卡儿日），他做了三个连贯的梦。笛卡儿后来说正是这三个梦向他揭示了后来说正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学一门奇特的科学”和和“一项惊人的发一项惊人的发现现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什

31、么，但，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为后来每本介绍解析几何诞生的著作必提的佳话，它给这三个梦从此成为后来每本介绍解析几何诞生的著作必提的佳话，它给解析几何的诞生蒙上了神秘色彩，当然未必可信。解析几何的诞生蒙上了神秘色彩，当然未必可信。实际上，笛卡儿之所以能创立解析几何主要是他勇于探索、勤于思实际上，笛卡儿之所以能创立解析几何主要是他勇于探索、勤于思考、运用科学方法同时批判地继承前人成就的必然结果。考、运用科学方法同时批判地继承前人成就的必然结果。灵感和直觉是灵感和直觉是勤奋努力的结果。勤奋努力的结果。CH6解析几何解析几何1）引入坐标观念）引入坐标观念

32、根据笛卡儿的思想，当满足方程的变数（根据笛卡儿的思想，当满足方程的变数（x，y）变化时，）变化时，坐标为（坐标为（x，y）的点画出的是曲线。）的点画出的是曲线。希腊人认为，线是点的集希腊人认为，线是点的集合。而笛卡儿却认为线是点运动的结果。因此，笛卡儿关于曲合。而笛卡儿却认为线是点运动的结果。因此，笛卡儿关于曲线的定义与希腊人的显著区别在于动与静。线的定义与希腊人的显著区别在于动与静。这种思维方法给后这种思维方法给后来的牛顿等人以莫大的影响。来的牛顿等人以莫大的影响。2.笛卡儿的工作笛卡儿的工作CH6解析几何解析几何 2 2）利利用用坐坐标标法法提提出出曲曲线线表表示示成成方方程程的的思思想想

33、及及用用方方程程表表示示曲线的思想曲线的思想 笛笛卡卡儿儿的的中中心心思思想想是是要要建建立立一一种种普普通通的的数数学学，使使算算术术、几几何何和和代代数数统统一一起起来来，他他认认为为：欧欧氏氏几几何何的的每每一一个个证证明明总总是是要要求求某某种种新新的的往往往往是是奇奇妙妙的的想想法法，他他批批评评希希腊腊人人的的几几何何过过于于抽抽象象且且过过多多的的依依赖赖于于图图形形以以至至它它只只能能使使人人在在想想象象力力大大大大疲疲乏乏的的情情况况下下去去练练习习理理解解力力。欧欧氏氏几几何何是是一一种种度度量量几几何何，只只关关心心长长度度、角角度度，其其方方法法是是综综合合的的，没没有

34、有代代数数的的介介入入。他他对对当当时时通通行行的的代代数数也也加加以以批批评评，说说它它完完全全受受法法则则和和公公式式的的控控制制，缺缺乏乏直直观观以以至至于于成成为为一一种种充充满满混混杂杂和和晦晦暗暗故故意意用用来来阻阻碍碍思思想想的的艺艺术术而而不不像像一一门门改改进进思思想想的的科科学学。他他主主张张采采取取代代数数和和几几何何中中一切最好的东西，取长补短，融合为一门新的科学。一切最好的东西，取长补短，融合为一门新的科学。CH6解析几何解析几何 他发现代数在提供广泛的方法方面要优于希腊人的几何他发现代数在提供广泛的方法方面要优于希腊人的几何方法，代数方法具有一般性，具有把推理程序机

35、械化和减少方法，代数方法具有一般性，具有把推理程序机械化和减少解题工作量的价值。笛卡儿预见到了代数具有作为一门普遍解题工作量的价值。笛卡儿预见到了代数具有作为一门普遍的科学方法的威力。他要把代数方法应用于解决几何问题。的科学方法的威力。他要把代数方法应用于解决几何问题。为了寻求能把代数应用到几何中去的新方法，笛卡儿思考了为了寻求能把代数应用到几何中去的新方法，笛卡儿思考了2020多年。多年。16191619年，他悟出了新方法的关键是借助坐标系建立年，他悟出了新方法的关键是借助坐标系建立起平面上的点与数之间的对应关系，进而可以用方程表示曲起平面上的点与数之间的对应关系，进而可以用方程表示曲线。他

36、提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有线。他提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。这样一来，笛卡儿就把变数的代数方程来表示和研究曲线。这样一来，笛卡儿就把以前对立着的数与形统一了起来，并在数学中引入了变量的以前对立着的数与形统一了起来，并在数学中引入了变量的思想，从而开拓了变量数学的领域。思想，从而开拓了变量数学的领域。恩格斯高度评价了笛卡恩格斯高度评价了笛卡儿的新思想。他说：儿的新思想。他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；了变数，运动进入了数学；有了变数，辩

37、证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要，而它们也就立刻有了变数，微分和积分也就立刻成为必要，而它们也就立刻产生了。产生了。”CH6解析几何解析几何 笛笛卡卡儿儿在在解解析析几几何何的的创创建建中中作作出出了了重重大大贡贡献献，其其成成就就在在于于：他他用用代代数数语语言言表表示示几几何何性性质质，从从而而使使他他获获得得了了许许多多几几何何定定理理的的简简单单证证明明，而而用用综综合合几几何何的的方方法法证证明明就就很很困困难难。笛笛卡卡儿儿的的方方法法可可以以把把疑疑难难命命题题的的证证明明归归结结为为一一种种代代数数技技巧巧，这这种种技巧的掌握不需要多大才智。技巧的掌握不需要

38、多大才智。CH6解析几何解析几何 和笛卡儿分享创立解析几何荣誉的人是其同胞费马。和笛卡儿分享创立解析几何荣誉的人是其同胞费马。费马是法国费马是法国1717世纪最伟大的数学家之一。在微积分、数论、世纪最伟大的数学家之一。在微积分、数论、概率论和解析几何等数学分支中都有开创性的贡献。由于他概率论和解析几何等数学分支中都有开创性的贡献。由于他不是职业数学家，数学研究只是他的业余爱好，故他被称为不是职业数学家，数学研究只是他的业余爱好，故他被称为“业余数学家之王业余数学家之王”。6.3费马的工作费马的工作CH6解析几何解析几何费马其人费马其人费马CH6解析几何解析几何费马其人费马其人生平生平费费马马（

39、PierredeFermat,1601-1665）,1601年年8月月20日日出出生生于于法法国国南南部部图图卢卢兹兹附附近近的的博博蒙蒙-德德洛洛马涅马涅一个皮革商人家庭。一个皮革商人家庭。大大学学法法律律系系毕毕业业后后在在地地方方法法院院当当律律师师，业业余余时时间间研研究究数数学学，30岁岁以以后后，对对数数学学痴痴迷迷，几几乎乎把把全部业余时间投入数学研究。全部业余时间投入数学研究。CH6解析几何解析几何德、行、能力德、行、能力p费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于费马为人谦逊，淡泊名利，勤于思，慎于言，潜心钻研，厚积薄发。言，潜心钻研，厚积薄发。p他精通法语、意大利语、西班牙语、拉

40、丁他精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语等，为他博览众书奠定了良好语、希腊语等，为他博览众书奠定了良好的基础。的基础。p费马曾经深入地研究过费马曾经深入地研究过韦达韦达、阿基米德阿基米德、丢番图丢番图等人的著作。等人的著作。CH6解析几何解析几何成就成就费费马马在在解解析析几几何何、微微积积分分、概概率率论论和和数数论论等等方方面面，都都做做出出了了开开创创性性的的贡贡献献，是是解解析析几几何何、微微积积分分与与概概率率论论的的先先驱驱，并并被被誉誉为为近近代代数数论论之之父，成为父，成为1717世纪欧洲最著名的数学家之一。世纪欧洲最著名的数学家之一。CH6解析几何解析几何1.他是牛顿

41、、莱布尼兹大体完成微积分之前为微积分的创他是牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前为微积分的创立作出贡献最多的一个；立作出贡献最多的一个；2.他和荷兰的惠更斯、法国的帕斯卡一起被誉为概率论的他和荷兰的惠更斯、法国的帕斯卡一起被誉为概率论的创始人；创始人；3.17世纪的数论几乎是费马的世界，费马大定理直到世纪的数论几乎是费马的世界，费马大定理直到350多多年后的年后的1995年才由怀尔斯解决；年才由怀尔斯解决；4.费马与笛卡儿共享创建解析几何的美誉。费马与笛卡儿共享创建解析几何的美誉。CH6解析几何解析几何p费马在世时，没有一部完整的著作问世，费马在世时，没有一部完整的著作问世，他的大部分研究成果都是

42、批注在阅读过的他的大部分研究成果都是批注在阅读过的书籍上，或者记录于与友人的通信中。书籍上，或者记录于与友人的通信中。p费马去世后，在众多数学家的帮助下，费费马去世后，在众多数学家的帮助下，费马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整马的儿子将其笔记、批注以及书信加以整理，汇编成两卷理，汇编成两卷数学论文集数学论文集分别于分别于1670年和年和1679年在年在图卢兹图卢兹出版，费马的成出版，费马的成果才得以广泛流传果才得以广泛流传。CH6解析几何解析几何 1629 1629年，费马年，费马平面和立体轨迹引论平面和立体轨迹引论150150年后才出版。年后才出版。生前费马没有公开出版过书籍，直到去世后的

43、生前费马没有公开出版过书籍，直到去世后的1414年，他的儿年，他的儿子将其手稿汇集以子将其手稿汇集以数学论集数学论集为名出版，在这本著作中，为名出版，在这本著作中，费马提出了解析几何中的两个概念：坐标概念及通过坐标把费马提出了解析几何中的两个概念：坐标概念及通过坐标把代数方程与曲线相联系的概念。代数方程与曲线相联系的概念。虽然笛卡儿和费马之间发生过谁先发现解析几何的争论，虽然笛卡儿和费马之间发生过谁先发现解析几何的争论，但历史公正的评价是：他们分别用不同的方法各自独立地差但历史公正的评价是：他们分别用不同的方法各自独立地差不多同时创立了解析几何。他们应共享创建解析几何的美誉。不多同时创立了解析

44、几何。他们应共享创建解析几何的美誉。CH6解析几何解析几何1.数学的研究方向发生了一次重大转折：使古代以几何学为主导的数学数学的研究方向发生了一次重大转折：使古代以几何学为主导的数学转变为以代数和分析为主导的数学。转变为以代数和分析为主导的数学。2.以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，使得人们借助于以常量为主导的数学转变为以变量为主导的数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，从而为微积分的诞生奠数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，从而为微积分的诞生奠定了基础。常量数学像解剖学，研究死的躯体；而变量数学像生理学，研定了基础。常量数学像解剖学，研究死的躯体；

45、而变量数学像生理学，研究活的身体。前者只涉及固定和有限，而后者却包含运动、变化和无限。究活的身体。前者只涉及固定和有限，而后者却包含运动、变化和无限。3.使代数和几何融为一体，实现了几何图形的数字化。使代数和几何融为一体，实现了几何图形的数字化。4.代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚，帮助人们代数的几何化和几何的代数化，使人们摆脱了现实的束缚，帮助人们从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间。如由从现实空间进入虚拟空间，从三维空间进入更高维的空间。如由考虑考虑，进而，进而。由类比，从三维空间进入到高维空间。由类比，从三维空间进入到高维空间。6.4解析几何的伟大意义解析

46、几何的伟大意义CH6解析几何解析几何 19 19世纪后，解析几何发展得已相当完备，现代数学中的世纪后，解析几何发展得已相当完备，现代数学中的泛函分析和代数几何是解析几何的直接延续。本来，解析几泛函分析和代数几何是解析几何的直接延续。本来，解析几何应称为代数几何，但何应称为代数几何，但1919世纪的代数与解析同义。解析专指世纪的代数与解析同义。解析专指代数方法，所以代数方法，所以1919世纪给这一学科命名时，解析几何便作为世纪给这一学科命名时，解析几何便作为一种标准名称沿用至今。一种标准名称沿用至今。CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解

47、析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何CH6解析几何解析几何1、近近代代数数学学本本质质上上可可以以说说是是变变量量数数学学，第第一一个个里里程程碑碑是是解解析析几几何何的的发明，主要归功于法国的两位数学家发明，主要归功于法国的两位数学家笛卡儿笛卡儿和和费马费马。2、笛卡儿的、笛卡儿的“通用数学思路通用数学思路”是是任何问题任何问题转化为转化为数学问题数学问题转化为转化为代数代数问题问题转化为转化为方程求解方程求解。3、简述笛卡儿对解析几何的贡献。、简述笛卡儿对解析几何的贡献。(P138)