31关于实数的基本定理分析.ppt

《31关于实数的基本定理分析.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《31关于实数的基本定理分析.ppt（48页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第三章、关于实数基本定理及闭区间上连续函数性质的证明第二部分、极限续论3/6/20231确界原理单调有界性定理区间套定理聚点原理与致密性定理柯西收敛准则有限覆盖定理第一节 关于实数的基本定理3/6/20232一 子列 3/6/20233定理定理1 1 若数列若数列xn收敛于收敛于a,则它的任何子列则它的任何子列a 也收敛于也收敛于a,即即 证明：证明：由由 可知可知 ，取取K=N,于是当于是当kK 时，有时，有 因而成立因而成立推论推论：若存在数列：若存在数列xn的两个子列的两个子列 分别分别收敛于不同的极限，则数列收敛于不同的极限，则数列xn必定发散必定发散.3/6/20234例例1 1 证

2、明数列证明数列 发散发散.证明：取证明：取则则由上述推论由上述推论 子列子列 推论即函数极限并归原则的必要性推论即函数极限并归原则的必要性(已证明已证明).).3/6/20235定义定义1 1当当S既有上界又有下界既有上界又有下界,称称S是是有界集有界集,否则称否则称S无界无界.二 上确界和下确界 3/6/20236 MM2M1上确界上界 m2mm1下确界下界确界确界 先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界,记作supS;的一个下界，称为该数集的下确界,记作infS 同样,若数集S有下界,有无穷多个下界,其中最大3/6/2023

3、7定义定义2 2若若是数集是数集S 的上界的上界:确界的精确定义确界的精确定义3/6/20238例例2 考察下列数集的上确界与下确界考察下列数集的上确界与下确界 3/6/20239事实上事实上:）是）是I的一个上界：的一个上界：，有，有）任何小于的数）任何小于的数不是不是I的上界，的上界，使得使得因此因此bax同理可证同理可证证证例例3 数集数集I=x axb,即即 I=(a,b),a与与 3/6/202310定理定理3(确界原理确界原理)非空有上界的数集必有上确界；非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界非空有下界的数集必有下确界.数集有上（下）确界数集有上（下）确界,则上（下

4、）则上（下）确界是唯一的确界是唯一的.定理定理2 23/6/202311 不妨设数列不妨设数列 单调增加且有上界，根据确单调增加且有上界，根据确（1）（2）界存在定理，由界存在定理，由 构成的数集必有上确界构成的数集必有上确界 满足：满足：定理定理4 4 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.证明证明:(:(应用确界原理证明应用确界原理证明)3/6/202312因而因而于是于是几何解释几何解释:3/6/202313定义(区间套):具有如下性质设闭区间列 三 区间套定理 则称该闭区间列为闭区间套,或简称区间套.3/6/202314 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭区间的端

5、点满足不等式:.1 2 2 1 b b b a a a n n L L L 说明:3/6/202315定理定理5(5(区间套定理区间套定理)或若有且则3/6/202316注意注意:1.区间套定理中各个区间应是闭区间区间套定理中各个区间应是闭区间,若若是开区间定理不一定成立是开区间定理不一定成立例如(1,1/n)显然一个套一个，且但不存在一个公共点属于所有开区间由条件（由条件（1）可知）可知 证明证明:（应用单调有界定理）（应用单调有界定理）显然，显然，3/6/202317由定理由定理4设设 3/6/202318则有则有.x x x x=故有故有 证毕证毕.下面证明满足题设条件的下面证明满足题设

6、条件的是唯一的是唯一的 设设也满足也满足:推论3/6/202319四 聚点定理与致密性定理 定义 设S为数轴上的无穷点集,若的任何邻域内都含有S 中无穷多个点,为定点,(它可以属于S,也可以不属于S)则称为S的一个聚点.3/6/202320说明:聚点概念与下列两个说法等价.3/6/202321 定理 (Weierstrass聚点定理)实轴上任一有界无限点集 ,至少有一个聚点.证明:(应用区间套定理证明)3/6/2023223/6/202323证毕.3/6/202324证明：证明：于是存在实数于是存在实数a a 1 1,b,b1 1 成立成立定理定理6(6(致密性定理致密性定理)任一有界数列必有

7、收敛子列任一有界数列必有收敛子列.致密性定理 3/6/202325将闭区间将闭区间 等分为两个小区间等分为两个小区间 则其中至少有一个含有数列则其中至少有一个含有数列xn中的中的与与无穷多项，无穷多项，把它记为把它记为 ，再将闭区间，再将闭区间等分等分 为两个小区间为两个小区间 与与 ，同样其中至少有一个区间含有同样其中至少有一个区间含有 数列数列xn中的无穷多项，把它们记为中的无穷多项，把它们记为3/6/202326都含有数列都含有数列xn中的无穷多项中的无穷多项.根据闭区间套定理，根据闭区间套定理，存在实数存在实数满足满足 现在我们证明数列现在我们证明数列xn必有一子列收敛于实数必有一子列

8、收敛于实数 .个闭区间套个闭区间套 ，其中每一个闭区间，其中每一个闭区间 中中这样的步骤可以一直做下去这样的步骤可以一直做下去.于是得到一于是得到一3/6/202327 首先在首先在 中选取中选取xn中的某一项中的某一项,记它为记它为 然后，因为在然后，因为在 中含有数列中含有数列xn中的无穷多项，中的无穷多项，可以选取位于可以选取位于 后的某一项，记它为后的某一项，记它为 ，继续，继续这样做下去，在选取这样做下去，在选取 后，因为在后，因为在中仍含有中仍含有xn中的无穷多项中的无穷多项,可以选取位于可以选取位于 后的某后的某 因为在因为在 中含有数列中含有数列xn中的无穷多项，中的无穷多项，

9、3/6/202328一项，记它为一项，记它为 ，这样就得到了数列这样就得到了数列xn的一个子列的一个子列 ，满足，满足 由由利用极限的夹逼性得利用极限的夹逼性得 3/6/2023293/6/202330具有以下特性：Cauchy列：列：如果数列则称数列是一个基本数列.五 柯西收敛原理 3/6/2023313/6/202332柯西收敛准则的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起.x1 x2 x3 x4 x5 3/6/202333证明：证明：3/6/202334由致密

10、性定理，在数列由致密性定理，在数列xn中中 必有必有收敛子列收敛子列.3/6/202335 因为因为xn是基本数列是基本数列 在上式中取在上式中取 ，其中，其中k充分大充分大,满足满足 ，并令并令 ,于是得到于是得到 即即xn收敛收敛.3/6/2023363/6/2023373/6/202338证明：取，对任意正整数n,取m=2n,有例4设所以，原数列发散3/6/202339六 有限覆盖定理 3/6/202340则H覆盖E.则H覆盖E.例如,E=(0,1)例如,E=0,23/6/202341定理定理8(Heine-Borele 有限覆盖定理有限覆盖定理)注意注意:1.若被覆盖的区间是开区间若被

11、覆盖的区间是开区间,定理不一定定理不一定成立成立;2.用来覆盖的区间族应是开区间用来覆盖的区间族应是开区间,否则定否则定理不一定成立理不一定成立.3/6/202342则H覆盖E,但不存在有限个开区间覆盖E.例如,E=(0,1),3/6/202343H1不能覆盖E.解:若存在有限个开区间覆E=(0,1),令令则则3/6/202344证明:(应用区间套定理证明)3/6/2023453/6/2023463/6/202347确界存在定理确界存在定理 单调有界数列收敛定理单调有界数列收敛定理BolzanoWeierstrass定理定理闭区间套定理闭区间套定理 Cauchy收敛原理收敛原理 有限复盖原理有限复盖原理上述六个定理是等价的，例如可证：上述六个定理是等价的，例如可证：3/6/202348