定积分概念性质.ppt

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1、 定积分的概念 微积分基本公式 17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。前前 言言 4.1定积分概念一、定积分的引入一、定积分的引入曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法注：此注：此“面积面积”一定是以一定是以x轴为一边的曲边梯形；轴为一边的曲边梯形；yxbaAy=f(x)例如：求曲线例如：求曲线y=x2、直线、直线x=0、x=1和和y=0所围成的面积？所围成的面积？如图所示如图所示此问题的难点是图形有

2、一边是曲此问题的难点是图形有一边是曲的，如何求它的面积呢？的，如何求它的面积呢？研究此问题的基础是已知矩形的面积公式研究此问题的基础是已知矩形的面积公式S=长长*宽宽=a*b，那么，那么研究方法是研究方法是“无限细分，以直代曲无限细分，以直代曲”，将曲边图形分划为若干个小，将曲边图形分划为若干个小矩形，用小矩形面积矩形，用小矩形面积 Si矩矩近似代替近似代替小曲边梯形面积小曲边梯形面积 Si曲曲，即即:xyy=x21A0如果右边的和式有极限（如果右边的和式有极限（n），则极限值即为整个曲），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：边梯形的面积，即：如图所示：如图所示：1）将区间）将区间0,1n等分

3、。等分。其分点分别为：其分点分别为：2）得）得n个小条形，每个小条形的宽均为个小条形，每个小条形的宽均为高则分别高则分别 取区间右端点取区间右端点xi(i=1,2,n)的函数值的函数值3）相乘为第）相乘为第i个小矩形面积：个小矩形面积：xy0 x2x3xn=1xn-1y=x2x0 x14）第）第i个小曲边梯形面积近似：个小曲边梯形面积近似：5）曲边梯形面积）曲边梯形面积S曲曲近似：近似：xy010y=x2x01若取若取n=10容易发现容易发现n越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，越大（即区间分得越细）则此面积误差越小，6）直到用极限方法令）直到用极限方法令n，得曲边梯形的精确值：，得曲边梯

4、形的精确值：总结：求曲边梯形面积总结：求曲边梯形面积总结：求曲边梯形面积总结：求曲边梯形面积的步骤的步骤的步骤的步骤 引例引例引例引例11曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积（演示演示演示演示）其中其中设物体的运动速度设物体的运动速度设物体的运动速度设物体的运动速度引例引例引例引例22变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程变速直线运动的路程分割区间分割区间取近似值取近似值作和作和取极限取极限（1）细分区间）细分区间ti-1ti(2)取近似值取近似值 （3）作和）作和（4）取极限）取极限 T1T2vt曲边梯形面积曲边梯形面积A：变速运动的路程变速运动的路程 S

5、：记为记为记为记为二、二、二、二、定积分的概念（定积分的概念（定积分的概念（定积分的概念（演示演示演示演示）定积分定义定积分定义 如果当最大的子区间的长度如果当最大的子区间的长度 时，此和式有极时，此和式有极限，则此极限叫作限，则此极限叫作f(x)在在 a，b上的定积分，上的定积分，记为：记为：即即在定积分在定积分 中中其中“”为积分号（把字母s拉长），a，b为积分下限和上限，即积分变量x的范围：axb，又叫积分区间；f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。上例曲边图形的面积用定积分表示注意注意：据定义有如下说明：据定义有如下说明:(1)定积分是特殊和式极限定积分是特殊和式极限,它是一

6、个定数它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间定积分的大小仅与区间a,b和被积函数和被积函数f(x)有关；有关；(3)规定：规定：1.1.若函数若函数若函数若函数 在在在在 上连续，上连续，上连续，上连续，2.2.若函数若函数若函数若函数 在在在在 上上上上有界有界有界有界，且只有有限个间断点且只有有限个间断点且只有有限个间断点且只有有限个间断点，三、三、三、三、定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件则则则则 在在在在 上可积上可积上可积上可积。则则则则 在在在在 上可积上可积上可积上可积。有界是函数在区间有界是函数在区间a,b上可积的必要条件。上可积

7、的必要条件。表示曲线表示曲线 与与 x 轴围成的图形面积的轴围成的图形面积的代数和代数和。表示曲线表示曲线 与与 x 轴围成的图形面积。轴围成的图形面积。四、四、四、四、定积分的几何意义（定积分的几何意义（定积分的几何意义（定积分的几何意义（演示演示演示演示）abA1A2A3（1）（2）（2）若）若 是奇函数，则是奇函数，则（1 1）若）若）若）若 是偶函数，则是偶函数，则是偶函数，则是偶函数，则a-a五、五、五、五、定积分的几何性质定积分的几何性质定积分的几何性质定积分的几何性质-aa由由由由定积分几何意义可得：定积分几何意义可得：定积分几何意义可得：定积分几何意义可得：补充规定补充规定：a

8、bxx+dx定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用14281730 xy-33把区间把区间分成分成n等份，每份长等份，每份长，各分点是：，各分点是：解解 因为因为 在在 上连续，所以上连续，所以 存在存在例例例例 用定义求定积分用定义求定积分用定义求定积分用定义求定积分=规定规定：abxx+dx六、六、六、六、定积分的基本性质定积分的基本性质定积分的基本性质定积分的基本性质无论无论 a,b,c 的相对位置如何，（的相对位置如何，（3）式均成立。）式均成立。可推广至有限个函数的代数和的情形。可推广至有限个函数的代数和的情形。可推广至有限个函数的代数和的情

9、形。可推广至有限个函数的代数和的情形。bcaacb定积分的基本性质定积分的基本性质定积分的基本性质定积分的基本性质.则有推推论论1设 ，对对任意任意babadxxgdxxf)()(（5）对对任意任意)0，则有(xf.性质6（介值定理）：设f(x)在a,b上可取得最大值M和最小值m，于是，由性质5有.几何意义也很明显几何意义也很明显再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得 如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)S=S(t)，则在时间，则在时间，则在时间，则在时间段段段段TT1 1,T,T2 2

10、内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为内所发生的位移变化为S(TS(T2 2)-S(T)-S(T1 1)如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为如果物体的运动方程为V=V(t)V=V(t)，则由定积分可知，则由定积分可知，则由定积分可知，则由定积分可知 连续函数连续函数连续函数连续函数 在区间在区间在区间在区间 上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个上的定积分等于它的一个原函数原函数原函数原函数 在积分区间上的增量在积分区间上的增量在积分区间上的增量在积分区间上的增量微积分基本公式微积分基本公式而而？微积分基本公式（一）微积

11、分基本公式（一）变上限的积分定理变上限的积分定理axb证明思路证明思路 参见书参见书 例例1 例例2 解：用分点0插分区间x,-2x例例3例例4设设设设 在区间在区间在区间在区间 上上上上连续连续连续连续，是它的是它的是它的是它的任意一个原函数，任意一个原函数，任意一个原函数，任意一个原函数，则有则有则有则有微积分基本公式（二）微积分基本公式（二）牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式证明思路证明思路 记作记作 例例例例2 2 求下列定积分求下列定积分求下列定积分求下列定积分解解 因为因为 在在 上连续，上连续，是它的一个原函数是它的一个原函数 所以所以 或或或或解解 原式原式 几何意义几何意义 解

12、解 原式原式 几何意义几何意义 解解 原式原式 解解 原式原式 合理应用对称区间上合理应用对称区间上奇偶函数的积分性质，奇偶函数的积分性质，简化定积分的计算。简化定积分的计算。解解设设，求，求分段函数的积分分段函数的积分计算，应分区间计算，应分区间选取相应的函数选取相应的函数函数在函数在x=1处间断处间断exit引例曲边梯形的面积引例曲边梯形的面积 exit定积分的定义定积分的定义 exit定积分的几何意义定积分的几何意义 exit估值定理估值定理 exit积分中值定理积分中值定理 牛顿牛顿牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式 返回返回返回返回 若若 是奇函数，则是奇函数

13、，则若若若若 是偶函数，则是偶函数，则是偶函数，则是偶函数，则a-a定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义是偶函数，是偶函数，是奇函数。是奇函数。-aa偶函数偶函数 奇函数奇函数 广义积分*定义定义 假设对假设对 在在a,b a,b 有定义且可积，有定义且可积，(1)(1)对于对于a,+a,+上的无穷积分上的无穷积分 如果如果 存在，我们称存在，我们称 收敛，收敛，且定义：且定义：否则，称否则，称 发散。发散。(2)对于对于-，bb的无穷积分的无穷积分 如果如果 存在，我们称存在，我们称 收敛，收敛，且定义：且定义：否则，称否则，称 发散发散。广义积分*（3 3）对于区间（）对于区间（-，+）的无穷积分）的无穷积分 如果如果 =A+B.=A+B.如果右边每一个无穷积分都存在，我们称如果右边每一个无穷积分都存在，我们称 收敛，收敛，如果其中之一不存在如果其中之一不存在 ，则则 发散发散。广义积分*例例1 1 求 解解 首先我们考察求 广义积分*例2 讨论广义积分 的敛散性。例例3 3 求广义积分求广义积分 。